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高三数学一轮复习学案:正弦定理、余弦定理


高三数学一轮复习学案:正弦定理、余弦定 理 一、考试要求:了解利用向量知识推导正弦定理和余 弦定理;掌握正弦定理、 余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题 二、知识梳理: 1. 正弦定理: _______________ _____. a ? __ R ( R sin A 为 ?ABC 的外接圆半径) ; (3)每个等式可视为一个方程:知三求一; (4)公式的变形:① a ?

2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ; 强调几个问题: (1)正弦定理适合于任何三角形; (2)可以证明 a b c ,sin B ? ,sin C ? 2R 2R 2 R ;③ sin A : sin B : sin C ? a : b : c . ② (5)三角形面积公式: S ?ABC ? ____ ____=______ ___=_____ ___. (6)正弦定理的应用范围: ① 已知两角和任一边,求其它两边和一角。 ②已知两边和其中一 边的对角,求另一边的对角。 2. 余弦定理: a 2 ? _____________________; b 2 ? ____________________; c 2 ? _____________________. 强调几个问题:(1)熟悉定理的结构,注意“平方” “夹角” “余弦”等;(2)知 三求一 ;(3)当夹角为 90 时,即三角形为直角三角形时即为勾股定理(特例) ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b ?c ?a a ?c ?b a ?b ?c cos B ? cosC ? (4)变形: cos A ? . 2bc 2ac 2ac (5)余弦定理的应用范围:①已知三边,求三个角;②已知两边和它 们的夹角, 求第三边和其他两个角. 3. 解斜三角形(1).两角和任意一边,求其它两边和一角;(2).两边和其中一 边对角, 求另一边的对角, 进而可求其它的边和角。 (见图示) 已知 a, b 和 A, 用 正弦定理求 B 时的各种情况: ①若 A 为锐角时: sin A ? 无解 ?a ? b sin A ? 一解(直角) ?a ? bsinA ? ?bsinA ? a ? b 二解(一锐, 一钝) ?a ? b 一解(锐角) ? 已知边a,b和?A C a A H a<CH=bsinA 无解 B a=CH=bsinA 仅有一个解 b a A b a a A a?b H B C b C a C b A B1 H B2 CH=bsinA<a<b 有两个解 仅有一个解 ?a ? b 无解 ②若 A 为直角或钝角时: ? ?a ? b 一解 (锐角) 三、基础检测:1. 在 中, ,则 等于( ) A. B. C. D. 2. 若 A.等边三角形 C.等腰直角三角形 3. 在 , 是 ( ) B.有一内角是 30° D.有一内角是 30°的等腰三角形 面积 ,则 BC 长为( ) A. B.75 C.51 D.49 4.在 中,已知角 A.15° B.75° C.105° 则角 A 的值是( D.75°或 15° ) 5. 中,sinB= 1 3 ,则 a:b:c 为( , sin C ? 2 2 ) A.1: 3 :2 B.1:1: 3 C.1:2: 3 D.2:1: 3 或 1:1: 3 6. 如图, 在△ ABC 中,D 是边 AC 上的点, 且 AB ? CD, 2 AB ? 3BD, BC ? 2B

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