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2013届高考数学知识点复习测试题18


第十五章 综合检测
一、选择题(第小题 5 分,共 40 分)
i z2 ? z1 5

1.1.已知 z1=2-i,z2=1+3i,则复数 A.1 答案: C 解: B.-1

的虚部为( D.-i



C.i

i z2 i 1 ? 3 i i( 2 ?

i) 1 ? 3 i ? 1 ? 2 i 1 ? 3 i ? ? ? ? ? ? ? z1 5 2 - i 5 5 5 5 5

=i.

2.(1-i)2·i 等于( A.2-2i

) B.2+2i C.-2 D.2

答案:D 解:(1-i)2·i=(1-2i+i2)·i=(1-2i-1)·i=-2i·i=(-2)×(- 1)=2. 3. 复数 z1=3+i,z2=1-i, z=z1· 在复平面内的对应点位于 则 z2 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

答案: D 解:z1·z2=(3+i)·(1-i)=4-2i. 4.已知复数 z 与(z+2)2-8i 均是纯虚数,则 z 等于( A.2i B.-2i C.i ) D.-i

答案:B 解:设 z=bi(b∈R 且 b≠0),则(z+2)2-8i=(bi+2)2-8i=b2i2+4bi+4
?4 ? b 2 ? 0, ?b ? ?2, ? ? -8i=(4-b2)+(4b-8)i.∴ ?4b ? 8 ? 0. ∴ ?b ? 2.

∴b=-2.∴z=-2i.

a b z 1 ? ad ? bc ? ?1 ? 2i c d z 满足 ?i i 5.定义: .若复数 ,则 z 等于

A. 1 ? i 答案:A

B. 1 ? i

C. 3 ? i

D. 3 ? i

6. Z ?C ,若 z ? z ? 1? 2i A.2i D. ?2 答案:A

4 ? 3i 则 z

的值是(

) C. 2

B. ?2i

7.设复数 A.-2i

z?

1? i ? (1 ? i)2 7 1? i ,则 (1 ? z) 展开式的第五项是(



B.-21i

C.35

D.-35i 答案:C

8.设 有( A.8 个

1? i 1? i f(n)=( 1 ? i )n+( 1 ? i )n,n∈N,如果

A ? {f(n)},则满足条件的集合 A

) B.7 个 C.3 个 D.无穷多个

答案: A 解:∵f(n)=(
?2,    当n ? 4k , k ? N, ? ?0,    当n ? 4k ? 1, k ? N, ? ?? 2,   当n ? 4k ? 2, k ? N, ?0,    当n ? 4k ? 3, k ? N, ?

1? i 1? i 1 ? i )n+( 1 ? i )n=in+(-i)n(n∈N)=

∴{f(n)}={0,2,-2}.∵A ? {f(n)}={0,2,-2}, ∴A 的个数是 23=8.

二、填空题(第小题 5 分,共 30 分,其中 13~15 是选做题,选做两 题)
5?i 9. 1 ? i 的值等于__________.
5 ? i (5 ? i )(1 ? i ) (5 ? 1) ? (5 ? 1)i ? ? 2 解: 1 ? i (1 ? i)(1 ? i)

=2+3i.

10. (a ?2 i) i 若

? ? b i

, 其中 a , b ? R , i 是虚数单位, a+b=__________ 则

答案:3 提示:利用复数相等可得。

11.已知复数 z = (1 – i)(2 – i),则| z |的值是 答案: 10



12.已知实数 x,y 满足条件 则 | z ? 1 ? 2i | 的最小值是 2 答案: 2 的最小值。

?x ? y ? 5≥ 0 ? ?x ? y ≥ 0 ?x ≤ 3 ?

, z ? x ? yi ( i 为虚数单位) ,



提示:几何意义是可行域上的点到定点(1,-2)的距离

13. (选做题) z=log2(m2-3m-3)+i log2(m-3) (m∈R), 若 z 对应点在 设 直线 x-2y+1=0 上, 则 m 的值是 .

[解析]: 设 z=log2(m2-3m-3)+i log2(m-3) (m∈R), 若 z 对应点在直线 x-2y+1=0 上, 则 log2(m2-3m-3)-2 log2(m-3)+1=0 故 2(m2-3m-3)=(m-3)2 ∴m= 15 或 m=- 15 (不适合) 14. (选做题)若 a≥0, 且 z|z|+az+i=0, 则复数 z = [解析]: 虚数, 设 z = yi (y ? R)
a ? a2 ? 4 2

若 a≥0, 且 z|z|+az+i=0, 则 z(|z|+a)+i=0, |z|+a>0,故 z 为纯

,

则 (|y|+a)yi+i=0 故 y2-y-1=0

y=

a ? a2 ? 4 i 2 z=
t 1? t ? i t 的模的取值范 15. (选做题)若 t∈R, t≠-1, t≠0 时,复数 z = 1 ? t

围是

.
t 1? t ? i t 的模为|z| 若 t∈R, t≠-1, t≠0 时,复数 z = 1 ? t t 2 1? t 2 ) ?( ) ?2 1? t t 则|z|2= (

[解析]:

故 z 的模的取值范围是 ? 2 ,??? 三、解答题(共 80 分) 16. (本题满分 13 分)已知复数(2k2-3k-2)+(k2-k)i 在复平面内对 应的点在第二象限,则实数 k 的取值范围. 解:∵复数对应的点在第二象限,

? 1 ?? ? k ? 2, ? 2 ?2k ? 3k ? 2 ? 0, ? 2 ? 2 ? ?k ? k ? 0, ∴? 即 ?k ? 0或k ? 1. …………12



∴k

1 的取值范围为(- 2 ,0)∪(1,2).

…………13 分

1 17. (本题满分 13 分)已知集合 A={z||z-2|≤2},B=|z|z= 2 z1i+b,z1

∈A,b∈R}. (1)若 A∩B=Φ ,求 b 的取值范围; (2)若 A∩B=B,求 b 的值.
1 解 : 由 B 中 元 素 z= 2 z1i+b , 得 z1=-i(2z-2b) , ∵ z1 ∈ A , ∴

|z-2|=|-i(2a-2b)-2|≤2,即|z-b-i|≤1,∴集合 B 是圆心在(b,1),半径为 1 的圆面,而 A 是圆在(2,0) ,半径为 2 的圆面. 若 A∩B=Ф,则圆面 A 和圆面 B 相离,∴(b-2)2+1>9,∴b<2-2 2 或 b>2+2 2 .………6 分 若 A∩B=B,∴B ? A,∴(b-2)2+1≤1,∴b=2.…………13 分 18. (本题满分 13 分)已知复平面上正方形的三个顶点是 A(1,2) 、 B(-2,1) 、C(-1,-2) ,求它的第四个顶点 D 对应的复数. 解:设 D(x,y),则
AD ? OD ? OA 对应的复数为(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i

BC ? OC ? OB 对应的复数为:

(-1-2i)-(-2+i)=1-3i…………6 分 ∵ AD ? BC ∴(x-1)+(y-2)i=1-3i

?x ? 1 ? 1 ? ∴ ? y ? 2 ? ?3 ?x ? 2 ? 解得 ? y ? ?1

∴D 点对应的复数为 2-i. …………13 分 19. (本题满分 14 分)已知
a?i z= 1 ? i

(a>0,a∈R),复数ω =z(z+i)的虚部

3 减去它的实部所得的差是 2 ,求复数ω .

解:把

a?i z= 1 ? i

a?i a?i 代入,得ω = 1 ? i ( 1 ? i

+i)

a ? i a ? i ? i ?1 a ?1 = 1 ? i ( 1 ? i )= 2 (1+ai). a ?1 a ?1 3 ? 于是 2 ·a- 2 2 ,即
3 ∵a>0,∴a=2,ω = 2 +3i.

…………7 分

a2=4.

…………14 分

20. (本题满分 14 分) 在复数范围内解方程 单位). 解: 原方程化简为 设
z ? ( z ? z )i ? 1 ? i
2

z ? ( z ? z )i ?
2

3?i 2 ? i (i 为虚数

,

z=x+yi(x 、 y ∈ R), 代 入 上 述 方 程 得

x2+y2+2xi=1-i, …………4 分
1 3 ∴x2+y2=1 且 2x=-1,解得 x=- 2 且 y=± 2 , 1 3 ∴原方程的解是 z=- 2 ± 2 i. …………14 分

21. (本题满分 12 分)若虚数 z 同时满足下列两个条件:
5 ①z+ z 是实数;

②z+3 的实部与虚部互为相反数. 这样的虚数是否存在?若存在,求出 z;若不存在,请说明理由. 解: 设 z=a+bi(a、b∈R 且 b≠0), 则
5 5 z+ z =(a+bi)+ a ? bi

5 =a(1+ a ? b 2
2

5 )+b(1- a ? b 2
2

)i∈R.

又 z+3=a+3+bi, ……………6 分
5 ? ) ? 0, ?b(1 ? 2 a ? b2 ? ? 依题意,有 ?a ? 3 ? ?b.

又由于 解之得

?a 2 ? b 2 ? 5, ? b≠0,因此 ?b ? ?a ? 3. ……………8
?a ? ?1, ? ?b ? ?2 ?a ? ?2, ? ?b ? ?1.





……………11 分

∴z=-1-2i 或-2-i. ……………12 分


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