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【优化方案】2012高考数学总复习 第1章第1课时集合与常用逻辑用语精品课件 文 新人教A版


第1 章

集合与常用逻辑用语

第1课时

集合的概念

温故夯基·面对高考

第 1 课 时 集 合 的 概 念

考点探究·挑战高考

考向瞭望·把脉高考

温故夯基·面对高考

1.集合与

元素 确定性 、 ________ 互异性 、 (1) 集合中元素的特性: ________ 无序性 . ________ (2)集合与元素的关系 a∈ A ①a属于集合A,用符号语言记作______. a?A ②a不属于集合A,用符号语言记作______.

(3)常见集合的符号表示

自然数 数集 集非负 整数集 符号
N ___

正整 数集 N*或N+ _______

整数 集
Z ___

有理 数集
Q ___

实数集 R ___

列举法 、________ 描述法 、Venn图 (4)集合的表示法:_______ 法.

2.集合间的基本关系 表示 关系 相等 子集 文字语言 符号语言

集合A与集合B中的所有 A=B 元素都相同 A中任意一个元素均为B B?A _____ A?B 或_____ 中的元素

表示

关系

文字语言

符号语言

真子集

A中任意一个元素均为 B中的元素,且B中至 少有一个元素不是A中 的元素
空集是任何集合A的子 集,是任何非空集合B 的真子集

A B或B A ___________

空集

??A , ______ ? B(B≠?) __________

思考感悟 ?、{0}、{?}三者之间有怎样的关系?
提示:? {0},若把?当元素,有?∈{?},若 {?}.

把?当集合,有?

考点探究·挑战高考

考点突跛

集合的基本概念 解决集合概念相关问题常用到集合元素的互异 性,一可以作为解题的依据和突破口解决问题, 二可以检验所求结果是否正确.
例1 (2011 年广州质检)设 a, b∈R, 集合{a,

b 2 2011 2011 , 1} = { a , a + b, 0} ,求 a + b 的值. a

【思路分析】 根据 a 在分母上,知 a≠0,从 b 而 =0,故 b=0,进而知 a2=1,可求 a,b. a
b 【解】 由已知得 a≠0 ,∴ =0, a ∴b=0.则在集合{a2,a+b,0}中,a2=1. ∴a=± 1. 又 a=1 时,不合题意. ∴a=-1. ∴a2011+b2011=(-1)2011=-1.

【规律小结】

(1) 解决此类题目,应利用集合

相等的定义,首先分析已知元素与另一个集合
中的哪一个元素相等,有几种情况等,然后列

方程组,求解.本例中从元素“ 0” 着手分析,
问题变得简单.

(2) 对于含有字母的集合,在求出字母的值后,
要注意检验集合是否满足互异性.

互动探究 1 本例中若集合{1, a+b, a}={0, b ,b},则 a2011+b2011 的值是多少? a
解:由已知得 a≠0, ∴a+b=0. b ∴ =-1. a ∴b=1,从而 a=-1. ∴a2011+b2011=(-1)2011+12011=0.

集合间的基本关系 研究两个集合之间的关系时,应该从分析构成集

合的元素入手.因为不同集合之间的关系,可以
以元素为桥梁找到它们之间的联系.

处理这类问题时,要注意融汇其他知识,充分借
助于Venn图或数轴的直观性来发现它们之间的包

含关系,往往是解题的突破口.

1 ={x|- <x≤2}. 2 (1)若 A?B,求实数 a 的取值范围. (2)A、B 能否相等?若能,求出 a 的值;若 不能,试说明理由.

例2 已知集合 A={x|0<ax+1≤5},集合 B

【思路分析】 在确定集合A时,需对x的系数 a 进行讨论.利 用数轴 分析 , 使问题 得到解 决.

【解】 A 中不等式的解集应分三种情况讨论: ①若 a=0,则 A=R; 4 1 ②若 a<0,则 A={x| ≤x<- }; a a 1 4 ③若 a>0,则 A={x|- <x≤ }. a a (1)当 a=0 时,若 A?B,此种情况不存在. 当 a<0 时,若 A?B,如图:

? ?4>-1 ?a 2 则? ? 1 -a≤2 ? ?

?a<-8 ? ,∴? 1 ?a≤- 2 ?

,∴a<-8.

当 a>0 时,若 A?B,如图:

? ?-1≥-1 ? a 2 则? ?4 ≤2 ? ?a

?a≥2 ,∴? .∴a≥2. ?a≥2

综上知,当 A?B 时,a<-8 或 a≥2.

(2)若 A=B,由(1)知 a>0. ? ?-1=-1 ? a 2 当 a>0 时,由? , ?4 =2 ? a ? 解得 a=2,即 a=2 时满足 A=B. 综上,若 A=B,a 的值为 2.

【规律方法】 已知两集合间的关系求参数时, 关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系, 进而转化为参数满足的关系式.解决这类问题常 常要合理利用数轴、Venn图帮助分析.

互动探究 2

若将本例中的集合 A 改为 A = {x|a

+1≤x≤2a-1},其他条件不变,第 (1)题如何 求解?

解:若 A? B,则 A=?或 A≠?; 当 A=?时,则 a+1>2a-1, 解得 a<2. 当 A≠?时,若 A? B,
?2a-1≥a+1 ? ? 1 则?a+1>- 2 ? ?2a-1≤2 ?

,无解.

综上,若 A? B,则 a 的取值范围为{a|a<2}.

利用集合间的关系求参数 利用集合相等或者包含关系,可待定集合中的 字母参数. 例3 (2011 年 汕 尾 调 研 ) 已 知 集 合 A = {x| - 3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1},且B?A.求

实数m的取值范围.

【思路分析】

讨论集合B → 列不等式?组?

→ 求m的取值范围 【解】 ∵B?A, (1)当 B=?时,m+1≤2m-1,解得 m≥2. ?-3≤2m-1 ? (2)当 B≠?时,有?m+1≤4 , ? ?2m-1<m+1 解得-1≤m<2,综上得 m≥-1.

【名师点评】
简化每个集合.

(1)分析集合关系时,首先要分析、

(2)此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各 个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验 证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表

示,不含“=”用空心点表示.
(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”,尤其是集 合中含有字母参数时,初学者会想当然认为非空集 合而丢解.因此分类讨论思想是必须的.

互 动 探 究 3 本 例 中 , 若 将 “B ? A” 改 为 “A ? B”,其他条件不变,则实数 m 的取值范 围是什么?

解:显然 A≠?,又 A?B,∴B≠?,

如图所示, ?2m-1<m+1 ? ∴?2m-1<-3 ? ?m+1>4

,解得 m∈?.

方法感悟

方法技巧 1.集合的元素与集合的子集的区别
对象 区别 意义上区别 关系上区别 符号表示上 区别 举例 集合的元素 是元素 从属关系 ∈或? m∈{m,n} 集合的子集 是集合 包含关系 ?、 {m} 、= {m,n}

2. A?B,且 A≠B,则 A A=B 和 A B 两种情况.

B,所以 A?B 包括

3.关于空集?:空集是不含任何元素的集合,不 能认为?={0},也不能认为{?}=?.诸如{x|x +1 =0,x∈R},{边长为 3,5,9 的三角形}等都表示 空集.
2

4.突破集合问题的关键 (1) 明确集合的元素的意义,它是什么类型的对 象(如数、点、方程、图形等). (2) 弄清集合由哪些元素组成,这就需要我们把 抽象的问题具体化、形象化,也就是善于对集合 的三种语言(文字、符号、图形)进行相互转化, 同时还要善于将多个参数表示的符号描述法 {x|P(x)}的集合化到最简形式. (3) 要善于运用数形结合、分类讨论、化归与转 化等数学思想方法来解决集合的问题.

失误防范
1 .空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的

子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空
集的讨论,防止漏掉. 2 .解题时注意区分两大关系:一是元素与集合 的从属关系;二是集合与集合的包含关系.

考向瞭望·把脉高考

考情分析
集合的概念和集合间的基本关系是集合的重要内 容之一,也是基础内容.在高考中以两种形式出 现,一是以小题为主,二是在以其他知识为背景 的综合题中,渗透集合思想或以集合间的基本关 系做为工具,体现了基础性和应用性. 预测 2012 年广东高考题中集合的概念作为小题出 现的几率比较大,考查学生对基本知识的掌握程 度.

真题透析 (2009 年高考广东卷 ) 已知全集 U = R ,则 正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关 系的韦恩(Venn)图是( )


【解析】 由N={x|x2+x=0}, 得N={-1,0}, ∵M={-1,0,1}, ∴N?M,故选B. 【答案】 B 【名师点评】 本题主要考查用韦恩图表示集 合之间的关系及集合的子集等基础知识,在分 析集合之间的关系时,首先要分析、简化每个 集合,数形结合.

名师预测 1.若以正实数x,y,z,w四个元素构成集合A, 以A中四个元素为边长构成的四边形可能是( A.梯形 C.菱形 B.平行四边形 D.矩形 )

答案:A

2.集合A={一条边长为1,一个角为40°的等 腰三角形}中有元素( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个 解析:选C.正确分类是解本题的关键.(1)当腰 长为1时,底角为40°或顶角为40°.(2)当底边 长为1时,底角为40°或顶角为40°,所以共有 4个三角形.

3.设A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A 则a的取值范围是( A.a≥2 ) B.a≤1

B,

C.a≥1

D.a≤2

解析:选 A.A = {x|1<x<2} , B = {x|x<a} , 要使 A

B,则应有a≥2.

4.集合{0,1}的子集有(
A.1个

)
B.2个

C.3个

D.4个

解析 : 选 D. 子 集 有 ? , {0} , {1} , {0,1} , 共 4

个.


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