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初等数学与高等数学的融合




卷 第 年




荆 州 师 专 学 报 自然科 学 版



初 等 数 学 与 高 等 数 学 的融 合
刘先忠
数学系

摘要
关键 词

本 文 从 高 等 数学 对 初 等数 学 的 渗 透 高 观 点 下 的初 等数 学 高 等数 学对 初
初 等数 学 高 等 数 学 融 合 渗 透 多 项 式 矩 阵

,

,

等 数 学 的直 接 指 导 作 用 三 个 方 面 阐 述 了 初 等 数 学 与 高 等 数 学 的 融 合

大 学 生 特 别 是 师 范 类 大 学 生 一 入 学 就 发 现 他 们 面 对 的 问题 好 像 同 中 学 里 学 过 的东 西 一 点 联 系 也 没 有 当 然 也 很 快 就 完 全 忘 了 中学 所 学 的 东 西 但 是 毕 业 以 后 当 了 中学 教 师 他 们 又 突 然 发 现 要 按 老 师 的 教 法 来 教 传 统 的 中学 内容 由于 缺 乏 指 导 他 们 又 很 难 辨 明 当 前 的 中 学 教 学 内 容 和 所 学 大 学 课 程 之 间 的 联 系 数 学 专 业 的 大 学 生 学 到 的专 业 知 识 是 不 少 的 但 许 多 重 要 的 以 及 在 中 学 任 教 中 用 得 着 的 部 分 却往 往 被 忽 视 了 如 果 我 们在 学 习 高 等数 学 的 过 程 中 注 重 高 等 数 学 对 初 等数 学 的 渗 透 注 重 用 高 观 点 来 研 究 初 等 数 学 注 重 高 等 数 学 对 初 等 数 学 的 直
, , , , , , , , ,

,

,

接 指 导 作 用 总 之 如 果 我 们 注 重 初 等 数 学 同 高 等数 学 的融 合 我 们 就 一 定能够 克服 上 述 弊 端
就能 平稳 地实 现 中学学 习

,

,

,

,

高 等 数 学对 初 等 数 学 的 渗 透
, ,



大 学学 习


,

中 学 教 学 之 间的 过 渡

随 着 中 学 数 学 教 学 的 改 革 已 有 很 多 高 等数 学 的 知 识 渗透 到 中 学 数 学 教 学 中 去 近 几 年 来 国 际 中 学 生 奥 林 匹 克 数 学 竞 赛 的 试 题 中 与 初 等数 论 有 关 的 题 目呈 递 增 的 趋 势 它 牵 涉 到

数 论 中 的 整 数 的 表 示 法 整 除 性 理 论 与 同 余 理 论 如 果 我 们在 初 等数 论 的 教 学 过 程 中 注 意 把
初 等 数 论 的 理 论 同 中 学 奥 林 匹 克 数 学 竞 赛 的 内容 结 合 起 来 讲 将 会 收 到 意 想 不 到 的 效 果 多 项 式 属 于 古典 代数 的 范 畴 这 个 课 题 的 基 本 知 识分 散在 中 学 一 直 到 大 学 的课本 中 如 果
, , ,



,

我 们在 讲 授 多 项 式 时 注 意 中 学 与 大 学 间 的 衔 接 注 意 它 们 间 的 关 系 这 将有 助 于 提 高 大 学 生
学 习 多 项 式的情 趣

,

,

,

渗 透 到 中 学 数 学 教 学 中 的 内 容 除 多 项 式 初 等 数 论 外 还 有 组 合数 学 不 等 式 与 向 量 代数
等等 在 讲 授 这 些 内 容 时 应 将 此 内 容 与 中 学 现 行 教 材 结 合 起 来 这 既 能 提 高 学 生 学 习 这 些 内 容 的情 趣 又 有 助 于 实 现 中 学 学 习
,
,



,



,



大 学学 习



中 学 教学 间的 平 稳 过 渡

高 观 点 下 的初 等 数 学
作为 一 名 中 学 数 学 教 师 仅 仅 懂 一 点 初 等数 学 是 远 远 不 够 的 他 必 须 具 备 较 好的 数 学 专 业
收稿 日 期
一 一
, ,








,

刘 先 忠 初 等 数 学 与 高等 数 学 的融 合
, ,

知识 观 点越 高 事物 越 显得 简单 例 如 在 实数 域 里不 好理解 的某 些东 西 从 复 数 域 的观 点看 就 清 楚 了 在 欧 氏 空 间 里 某 些 无 法 解释 的 现 象 从 射 影 空 间 的 观 点 看 就 有 满 意 的 说 明 中 学 的
, ,

最值 问 题 用 导 数来 理 解 就 清 楚 多 了
又 如 从 多 项 式 及 一 元 有 理 函 数 的 图 象 表 示 开 始 由 此 得 出 曲 线 与 坐 标轴 的 交 点 就 是 多 项
, ,

,

式 的零点 自 然 而 然 地 引 导 到 方 程 的 近 似 数 值 解 曲 线 的 几 何 图 象 自然 地 给 微 商 和 积 分这 两 个
概 念提供 了直 观背景 曲线的斜 率 引进 微商 曲线 与
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,

,



轴 围成的面积 引进积分
, ,

总 之 许 多 高 等 数 学 的 理 论 是 建 立 在 一 些 初 等 数 学 问 题 之 上 的 如 果 我 们 学 习 高 等数 学

时 将 这 些 问 题 联 系 起 来 既 能 帮 助 我 们学 好 高 等 数 学 又 有 益 于 今 后 的 中 学 数 学 教 学

用 高等 数 学方 法 解 初 等 数 学 问 题
高等 数 学 的 理 论 不 仅 对 初 等 数 学 的 理 论 讲 授 有 指 导 作 用 而 且 对 中 学 数 学 的 解 题 也 有 直 接 指 导 作 用 利 用 欧 氏 空 间 内 积 的性 质 我 们 可 以 证 明 下 列 问题


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一 个 三 角 形 如 果 有 一 边 是 其 外接 园 直 径 那 么 这 个 三 角 形 是 直 角 三 角 形

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都有



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这 些 都 是 初 等 数 学 中 的 问 题 都 有其 初 等 解 法 这 里 通 过 欧 氏 空 间 内积 的 性 质 给 出 其高

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等数 学 解 法 仅 以 例
一 令考
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为 例 其 它 从略


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利 用 微商 的 概 念 可 以 解 决 中 学 数 学 中 的 最 值 问 题 利 用 初 等 数 论 矩 阵 的 理 论 也 可 帮 助

解 决 一 些 初 等数 学 问 题 例
‘,






的 值 恒 为整 数 以 一 姑 本例 的 初 等 解 法 当 然 可 以 考 虑 用 数 学 归 纳 法 但 这 里 我 们 用 费 马 小 定 理 来 证 明 此 题




对 于 任 意 自然 数



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荆 州 师 专 学 报 自然 科 学版


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充分 条 件 是

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直 接 按 照 数的 运 算来 证 明 比 较 困 难 但 我 们 注 意 到



成 立 的 必 要 充 分 条 件是
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成 立 的 必 要 充分 条 件 是

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又 因为


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则 只 须证 明

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,



但 这是 显然 的
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总 之 研 究 初 等数 学 与高 等 数 学 的 融 合 数 学 各 部分 的融合 几 何概 念 和 算术 概 率 的 融合 纯 数 学 与 应 用 数 学 的 融 合等 感 性与 理 性 的 融 合等 在 数 学 教 育 学 中有 非常 广 阔 的 前 景 参
舒 湘 芹 等译
, ,

,




,



高观 点 下 的初 等 数 学 湖 北 教育 出 版社
,

徐 德余 等 熊廷 煌

高 等代 数 习 题 课 精 编 电子 科技大 学 出 版 社 高等代 数 中 国 地 质大 学 出 版 社 高 等代 数 学 习 指 南 华 南 理工 大 学 出版 社

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郑新 东 等
江志 等

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高 中数 学 竞 赛 二 十 二 讲

河 南教 育 出 版社

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