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广东省深圳市宝安区2016届高三数学(理科)考前冲刺预测模拟试题及答案 Word版含答案


2016 高考数学(理科)考前冲刺预测题
一、选择题:本大题 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给山的四个选项中只有一项
是符合题目要求的. 1.复数 z ?

1 (i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限




/>
A.第一象限

2.给出如下四个命题: ①若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题; ②命题“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ”的否命题为“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ” ; ③“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ” ;
s i A n s i? ④在△ ABC 中, “ A ? B” 是 “n B” 的充要条件.其中不正确 的命题的个数是 ( ...



A.4

B.3

C.2

D.1

3. 点 P 在 直 线 l : y ? x ? 1 上 , 若 存 在 过 P 的 直 线 交 抛 物 线 y ? x2 于 A, B 两 点 , 且

| PA ?| AB | , 则 称 点 P 为 “ 正 点 ”, 那 么 下 列 结 论 中 正 确 的 是
( ) A.直线 l 上的所有点都是“正点” B.直线 l 上仅有有限个点是“正点” C.直线 l 上的所有点都不是“正点” D.直线 l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“正点” 4. 已知直线 l ⊥平面 α ,直线 m ? 平面 β ,给出下列命题: ①α ∥β ? l⊥m ②α ⊥β ? l∥m ③l∥m ? α ⊥β ④l⊥m ? α ∥β 其中正确命题的序号是 ( ) A. ①②③ B. ②③④ C. ①③ ) D. ②④

5.如果执行如图的程序框图,那么输出的值是( A.2010 B.-1 C.

1 2

D.2 6. 将函数 f(x)=2sin (? x ?

?
3

)(? ? 0) 的图象向左平移

? 个单位,得到函数 y=g(x) 的图 3?

象.若 y=g(x)在[ 0,

?
4

]上为增函数,则 ? 的最大值





A.1 B.2 C.3 D.4 7. 如图,在△ABC 中,AD=2DB,AE=3EC,CD 与 BE 交于 F, 设 AB ? a, AC ? b, AF ? xa ? yb, 则( x, y) 为

??? ?

??? ?

??? ?





1 1 3 2 3 3 C. ( , ) 7 7

A. ( , )

1 1 4 3 2 9 D. ( , ) 5 20
B. ( , )

8 . 符 号 [ x] 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 例 如 [? ] ? , 3[?1.08] ? ?2 ,定义函数 {x} ? x ? [ x] ,给出下列四个命题(1)函数 { x} 的定义域为 R , 值域为 [0,1] ;(2)方程 {x} ? 中正确命题的序号有( ) A.(2)(3) B.(1)(4)

1 有无数个解;(3)函数 { x} 是周期函数;(4)函数 { x} 是增函数.其 2
C.(3)(4) D.(2)(4)

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生
只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分. 9. 已知函数 f ( x ) 满足: x≥4,则 f ( x ) = ( ) ; 当 x<4 时 f ( x ) = f ( x ? 1) , 则 f( 2 ? o lg 3 )
x

1 2

2



.

时 ,不等式 sin 10. 当 0 ? x ? 1

?x
2

? kx 成立,则实数 k 的取值范围是_______________.

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 11. 设 x, y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? y(a ? 0) 的最大值为 14,则 a ? ______. ?x ? y ? 3 ?

12.从四棱锥 S—ABCD 的八条棱中任取两条,其中抽到两条棱成异面直线的概率为

.

13.下列给出的四个命题中: ①已知数列{an},那么对任意的 n∈N.,点 Pn(n,an)都在直线 y=2x+l 上是{an}为等差数 列的充分不必要条件; ②“m=-2”是“直线(m+2)x+my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直”的必要不充分 条件; 2 2 ③设圆 x +y +Dx+Ey+f=0 与坐标轴有 4 个交点, 分别为 A(xl, 0), B(x2, 0), C(0, y1). D(0,

y 2 ),则 xl x2-y1y2=0;
④在实数数列{an}中,已知 al=0,| a2 |=| a1-l|,|a3 |=| a2-l|,?,| an |=| an-1-1|, 则 al+a2+a3+a4 的最大值为 2. 其中为真命题的是 (写出所有真命题的代号). 选做题

14. 在极坐标系中,直线 m 的方程为 ? sin(? ? ____ .

?
4

)?

7? 2 ) 到直线 m 的距离为 ,则点 A(2, 4 2

15. 如图所示,已知 PC、DA 为⊙O 的切线,C、A 分别 CD 1 为切点,AB 为⊙O 的直径,若 DA=2, = ,则 AB DP 2 =________.

三、解答题(共 6 个小题,共 80 分)
16、 (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)= 3cos ?x+sin?xcos?x+a (其中 ? >0,a ? R),
2

且 f(x)的图象在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为

? . 12

? 5? (1)求ω 的值; (2)如果 f(x)在区间[― , ]上的最小值为 3,求 a 的值; 6 12 (3)证明:直线 5x―2y+c=0 与函数 y=f(x)的图象不相切.

17. (本小题满分 12 分) 某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障时间 T(单位:年)有关,若 T ? 1,则销售 利润为 0 元;若 1<T ? 3,则销售利润为 100 元,若 T>3,则销售利润为 200 元.设每台该种电器 的无故障使用时间 T ? 1,1<T ? 3,T>3 这三种情况发生的概率分别为 P 1, P 2 为方 1, P 2, P 3 ,又知 P 程 25x -15x+a=0 的两根,且 P 2 ? P 3.
2

(Ⅰ)求 P 1, P 2, P 3 的值; (Ⅱ)记 ? 表示销售两台这种家用电器的销售利润总和,求 ? 的分布列及数学期望.

18. (本小题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 是圆柱 OQ 的轴截面,点 P 在圆柱 OQ 的底面圆周上, G 是 DP 的中点, 圆柱 OQ 的底面圆的半径 OA ? 2 ,侧面积为 8 3? , ?AOP ? 120? . (1)求证: AG ? BD ; (2)求二面角 P ? AG ? B 的平面角的余弦值. D Q . C

G A O P B

19.(本小题满分 14 分) 若椭圆 E1 :

a b x2 y 2 x2 y 2 和椭圆 : E ? ? 1 ? 2 ? 1 满足 2 ? 2 ? m(m ? 0) ,则称这两个椭圆 2 2 2 2 a1 b1 a1 b1 a2 b2

相似, m 是相似比. (Ⅰ)求过( 2, 6) 且与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 相似的椭圆的方程; 4 2

(Ⅱ)设过原点的一条射线 l 分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于 A、B两点(点A在线段 OB 上). ①若 P 是线段 AB 上的一点,若|OA|、|OP|、|OB|成等比数列,求P点的轨迹方程; ②求 OA ? OB 的最大值和最小值.

20.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? (2 ? a ) ln x ?

1 ? 2ax . x

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)当 a ? 2 时,对任意的正整数 n ,在区间 [ , 6 ? n ? ] 上总有 m ? 4 个数使得

1 2

1 n

f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ? f (am ) ? f (am?1 ) ? f (am?2 ) ? f (am?3 ) ? f (am?4 )
成立,试问:正整数 m 是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由. 21. (本小题满分 14 分) 已知数列

{an } 中, a1 ? 2 ,对于任意的 p, q ? N * ,有 a p ? q ? a p ? aq
{an } 的通项公式;

(1)求数列

{b } (2)数列 n 满足:
求数列

an ?

b b1 b b b ? 22 ? 33 ? 44 ? ?(?1)n?1 n n (n ? N * ) 2 ? 1 2 ? 1 2 ? 1 2 ? 1 ?? 2 ?1 ,

{bn } 的通项公式;

(3)设

Cn ? 3n ? ? bn ( n ? N *) ,是否存在实数 ? ,当 n ? N * 时, Cn?1 ? Cn 恒成立,若存在,

求实数 ? 的取值范围,若不存在,请说明理由。

参考答案

一、选择题:本大题 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给山的四个选项中只有一项是 符合题目要求的. 1.A 解析:由题 z ?

1 1? i 1 1 ? ? ? i ,所以在复平面上对应的点位于第一象限。 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2

2.C. 解析:②④正确 3. A 解析:本题采作数形结合法易于求解,如图, 设 A? m, n ? , P ? x, x ?1? , 则 B ? 2m ? x, 2n ? x ? 2? , ∵ A, B在y ? x2上 , ∴?

?

n ? m2
2

? 2n ? x ? 1 ? (2m ? x)

消去 n,整理得关于 x 的方程 x ? (4m ?1) x ? 2m ?1 ? 0
2 2

(1)

∵ ? ? (4m ?1) ? 4(2m ? 1) ? 8m ? 8m ? 5 ? 0 恒成立,
2 2 2

∴方程(1)恒有实数解,∴应选 A. 【答案】A 4. C 解析:α ∥β ? 直线 l ⊥平面 β ,由于直线 m ? 平面 β ∴ l⊥m 故①正确;由 l∥m,直 线 l ⊥平面 α 可推出直线 m⊥平面 α ,而直线 m ? 平面 β ∴α ⊥β 故③正确。 7.D 解 析 : 由 题 可 知 执 行 如 图 的 程 序 框 图 可 知 S ? ?1, , 2, ?1, , 2 ?? 所 以 当 k ? 2009 时

1 2

1 2

S ? 2 ,当 k ? 2010 时输出 S ? 2 ,故选 D。
6. B 解析:将函数 f(x)=2sin (? x ? y=g(x)=2 sin ??? x ?

?
3

)(? ? 0) 的图象向左平移

? 个单位,得到函数 3?

? ? ? ?

? ? ? ?? ? ? ? ? 2 sin ?x 。 ∵y=g(x)在[ 0, ]上为增函数 4 3? ? 3 ?



?
4

??

?
2

∴? ? 2 。

7. A

? ??? ? 3 ???? 3 ???? ??? 4 4 ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? 2 ??? ? ???? ??? ? 同理向量 AF 还可以表示为 AF ? AC ? CF ? AC ? ? CD ? ? AB ? (1 ? ? ) AC , 对应相等 3 ??? ? 1 ??? ? 1 ???? 2 可得 ? ? ,所以 AF ? AB ? AC ,故选 A。 3 3 2
解析: AF ? AB ? BF ? AB ? ? BE ? AB ? ? ( AC ? AB) ? (1 ? ? ) AB ? ? AC , 8.A 解析:如值域中没有 1,故该函数值域应该为 ?0,1? ,故(1)错;如 ? 1? ? ?2? ? 0 ,不具有增减 性,故(4)错。 二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. 解析 ∵3<2+log23<4,所以 f(2+log23)=f(3+log23)且 3+log23>4

???? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

∴ f (2 ? log2 3) =f(3+log23)

1 1 1 1 1 log 1 3 1 1 1 = ( )3?log2 3 ? ? ( )log2 3 ? ? ( ) 2 ? ? ? 2 8 2 8 2 8 3 24

1

10.答案 k≤1 解析 作出 y1 ? sin

?x
2

与 y 2 ? kx 的图象,要使不等式 sin

?x
2

? kx 成立,由图可知须 k≤1

11. 2
?3x ? y ? 6 ? 0 ? 解析:由 ? x ? y ? 2 ? 0 所确定的可行域,确定使目标函数 z ? ax ? y(a ? 0) 达到最大值 14 的最 ?x ? y ? 3 ?

优解,代入 14 ? ax ? y ,可得 a ? 2. 12. 解析:在八条棱中任取其中的两条,其中是异面直线的为 C8 ? C4 ? 4C3 ? 2 ,所以抽到
2 2 2

两条棱成异面直线的概率为 13.①③④ 14. 15. 4 3

2 C82 ? C4 ? 4C32 ? 2 2 ? 。 C82 7

三、 解答题(共 6 个小题,共 74 分) 1+cos2?x 1 1 3 3 16、解: (1) f(x)= 3× + sin2?x+a= sin2?x+ cos2?x+ +a 2 2 2 2 2 3 ? =sin(2?x+ )+ +a 3 2 ? ? ? 由题意知,2?× + = ,∴ ?=1 12 3 2 3 5? ? ? ? 7? (2)由(1)知,f(x)=sin(2x+ )+ +a ∵ ― ≤x≤ ∴ 0≤2x+ ≤ 3 2 6 12 3 6 1 1 3 ? ∴ ― ≤sin(2x+ )≤1 ∴ f(x)的最小值=― + +a= 3 2 3 2 2 ? (3)∵ f? (x)=2cos(2x+ ) ∴ |f? (x)|≤2 3 ∴ 曲线 y=f(x)的切线斜率的取值范围是[―2,2], 5 而直线的切线斜率= >2, 5x ―2y+c=0 与函数 y=f(x)的图象不相切. P∴直线 ? P2 ? P 3 ?1 2 ? 1 17.解:(Ⅰ)由已知得 ? P 1?P 2 ? 1+ 3 ∴ a= 2

? ? ? ?

(Ⅱ) ? 的可能取值为 ? 0, ,200,300,400. P 100 ?P
2 3

3 5

解得: P1 =

1 2 2 ,P ,P . 2= 3= 5 5 5

1 1 1 ? = 5 5 25 1 2 4 P( ? =100)= 2 ? ? = 5 5 25 1 2 2 2 8 P( ? =200)= 2 ? ? + ? = 5 5 5 5 25 2 2 8 P( ? =300)= 2 ? ? = 5 5 25 2 2 4 P( ? =400)= ? = 5 5 25
P( ? =0)=

随机变量 ? 的分布列为

?
p

0

100

200

300

400

1 25

4 25

8 25

8 25

4 25

所求的数学期望为 E ? =0 ?

1 4 8 8 4 +100 ? +200 ? +300 ? +400 ? =240(元) 25 25 25 25 25

所以随机变量 ? 的数学期望为 240 元.

18.解: (1)(解法一):由题意可知 8 3? ? 2 ? 2? ? AD ,解得 AD ? 2 3 , 在 ?AOP 中, AP ? 22 ? 22 ? 2 ? 2 ? 2 ? cos12