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恒高一对一名师沪教版高一数学第三讲5.1和5.2知识总结


恒高教育

恒高 1+1 个性化辅导

学科:数学 年级:高一 授课日期时间: 教 学 目 标 难 点 重 点 学生姓名:

授课课题:5.1 和 5.2 知识总结 授课老师:赵老师 课时计划:2 小时

2016/1/23 8:00---10:00

教 学 过 程
<

br />一、 二、 三、 四、

分析上次作业中的问题,以及复习上节课的重难点(15 分钟) 。 传授新课: (85 分钟) (内容见附页) 本堂课小结(15 分钟) 布置家庭作业(5 分钟)

一、 作 二、 业 三、

记住所讲知识点回家复习 完成练习卷一张(详见作业) 找出现阶段在学校不懂的知识点 存在问题和解决方案:

课堂进度:按计划完成 □ 提前完成 □ 推后完成 □ 接受情况:完全接受 总 结 课堂表现:非常积极 作业完成:优秀 □ 学生意见反馈: □ 部分接受 □ 不能接受 □ □ 比较积极 □ 良好 □ 合格 □ 不积极 □ 不合格 □

学生签名:

教务签字:

主管签字:

日期:







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上课内容

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一、知识梳理
【1】 对“角”的认识: 1. 角的概念 角可以看成是由一条射线(起始边)旋转到一个新的位置(终边)所形成的图形。 注:我们一般约定以原点和 x 的正半轴组成的射线为起始边。 我们规定: (1)逆时针旋转得到的角是正角。 (2)顺时针旋转得到的角角负角。 (3)一条射线没有作任何旋转,就把它叫做零角。
终边 起始边

做一做①: 与 30 终边相同的角有________ 个, 0 请写出四个与 30 终边相同的角(要求两个正角,两个负角)_____ ,_____ ,______ , ______ 。 理解角的概念应注意: (1)注意分清正角和负角; (2)角具有无界性;意思是说任意角的范围是 (??,??) 0 (3)角具有周期性: 终边相同的角不一定相等;终边相同的角相差 360 的整数倍。 2. 终边相同的角的表示: 0 启问: 与 30 终边相同的角如何用一个式子表示?
0

0

0 0 解答: 把与 30 终边相同的所有角看成一个集合,这个集合可表示为: ? ? ? 30 ? k ? 360 , k ? Z

?

?
?

于是我们有:

0 与任意角 ? 终边相同的所有的角构成一个集合, 这个集合可表示为: ? ? ? ? ? k ? 360 , k ? Z

?

例如:与角 ? 1825 的终边相同,且绝对值最小的角的度数是___,合___弧度。
?

(答: ?25 ; ?
?

5 ?) 36

3. 弧度制 (1)定义:长度等于半径的弧所对的圆心角的大小叫做 1 弧度 。 1 弧度记作 1 rad ;1 弧度(1rad) ? 57.3 . (2) 弧度制与角度制之间的转化, 记住核心关系: ? ? 1800 弧度制相比角度制的优点在于: ① 公式的表达更简洁; ② 可以省略单位不写,与实数集建立了一一对应关系,可用实数直接表示角的大小。是实数与角的统 一。 常用角的互化:
?

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角度 弧度

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0

0

0

30

0

45

? 3

? 2

2? 3

3? 4

5? 6

?

2?

2 【i】 弧长公式: l ?| ? | R ,扇形面积公式: S ? 1 lR ? 1 | ? | R

2

2

例如: 已知扇形 AOB 的周长是 6cm, 该扇形的中心角是 1 弧度, 求该扇形的面积。

(答: 2 cm )

2

【练习】 (1)已知扇形的周长为 20cm ,面积为 9 cm , 求扇形圆心角的弧度数; 0 (2)若扇形的圆心角为 75 ,半径为 15cm ,求扇形的面积; (3)若扇形的周长为 60cm ,那么当它的圆心角为多少时,扇形的面积最大?

2

【ii】角与角的位置关系的判断 (1) 终边相同的角 (2) 对称关系的角 (3) 满足一些常见关系式的两角 例如:若 ? 是第二象限角,则

? 是第_____象限角 :一、三) 2

(1) ? 终边与 ? 终边共线( ? 的终边在 ? 终边所在直线上) ? ? ? ? ? k? (k ? Z) . (2) ? 终边与 ? 终边关于 x 轴对称 ? ? ? ?? ? 2k? (k ? Z) . (3) ? 终边与 ? 终边关于 y 轴对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) . (4) ? 终边与 ? 终边关于原点对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) . (5) ? 终边在 x 轴上的角可表示为: ? ? k? , k ? Z ; (6) ? 终边在 y 轴上的角可表示为: ? ? k? ? (7) ? 终边在坐标轴上的角可表示为: ? ? 例如: ? 的终边与

?
2

,k ?Z ;

? 的终边关于直线 y ? x 对称,则 ? =____________。 6
(答: 2k? ?

k? ,k ?Z . 2

?
3

, k ?Z )

【3】 三角函数的定义: 高中阶段对三角函数的定义与初中的定义从本质上讲不同。 但既有联系,又有区别。 定义:设 ? 是任意一个角, P ( x, y ) 是 ? 的终边上的任意一点(异于原点) ,它与原点的距离是
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r? x 2 ? y 2 ? 0 , 那 么 sin ? ?

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y x y x , cos ? ? , tan ? ? , ? x ? 0 ? , cot ? ? ( y ? 0) , r r x y

sec ? ?

r r x ? 0 ? , csc ? ? ? y ? 0 ? 。 ? x y

三角函数值只与终边的位置有关,而与终边上点 P 的位置无关。

例如: (1)已知角 ? 的终边经过点 P(5,-12),则 sin ? ? cos ? 的值为

; (答: ?

(2)设 ? 是第三、四象限角, sin ? ?

2m ? 3 ,则 m 的取值范围是 4?m

7 ) ; 13

. (答: (-1, ) ) ;

(3)若

| sin ? | cos? ? ? 0 ,试判断 cot(sin? ) ? tan(cos ? ) 的符号 sin ? | cos? |

3 2

(答:负) 7. 同角三角函数的基本关系式: 【 (1)平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1,1 ? tan 2 ? ? sec2 ? ,1同角三角函数的基本关系式的主 ? cot 2 ? ? csc2 ? 要作用是: 已知一个角的三角函数值, sin ? cos ? , cot ? ? (2)商数关系: tan ? ? 求此角的其它三角函数值.】

cos ?

sin ?

做一做:

1 ,求 cos ? , tan ? 的值; 3 1 (2) 已知 cos ? ? ? ,且 ? 在第三象限,求 sin ? , tan? 的值; 2 (3)已知 tan ? ? ?2 ,且 ? 在第二象限,求 sin ? , cos? 的值。
(1) 已知 sin ? ? 8. 特殊角的三角函数值: 30° 45° 60° 规律: ① 同角的正弦和余弦成平方关系; ② 若 ? 与 ? 互余,则一个角的余弦等于另一个角 的正弦,一个角的正弦等于另一个角的余弦;

sin ?

1 2

2 2

cos?

tan ?

二、经典例题
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例 1.(1)设 ? ? (

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? ?

, ) ,且 17? 的终边与 ? 角的终边相同,则 tan ? =____ 6 3

答:1 提示: 与 ? 角终边相同的角的集合是 (2)如果 ? 是第一象限角,那么① sin

?? ? ? 2k? ? ? , k ? Z ?
?
2 ? 1 ,③ sin

?
2

? 0 ,② tan

?
2

? cos

?
2

,④ sin

?
2

? cos

?
2

中恒成立

的有_____个。 答:1 提示:利用三角函数线知②总成立. (3) .若 tanα =3,则 答:

5 7

4 sin ? ? 2 cos ? =_______ 5 cos ? ? 3 sin ? sin ? 提示:用公式 tan ? ? cos ?
;面积为 .

(4)已知扇形的半径为 10 ㎝,圆心角为 120°,则扇形的弧长为

20 100 ?㎝ , ? ㎝2 答: 3 3
提示:利用弧长公式 l ? r ? 及扇形面积公式 S ? (5)已知 sin(540 ? ? ) ? ?
0

1 lr ,注意圆心角的单位化为弧度 2


4 , 则 cos(? ? 2700 ) ? 5

答: ?

4 5

提示:利用诱导公式

例 2.若 tan ? ? 2 ,求(1)

sin ? ? cos ? 的值; cos ? ? sin ?
2 2

(2) 2sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? 的值. 解(1)

cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 1 ? 2 ? ? ? ?3 ? 2 2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 1 ? 2
2sin 2 ? ? sin ? cos ? ? cos 2 ? 2 tan 2 ? ? tan ? ? 1 ? sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1

(2)原式 ?

?

4 ? 2 ?1 5 ? 2 ? 3 3

例 3.若 sin ? cos ? ?
2

1 ?? ? ? ,? ? ? , ? , 求 cos ? ? sin ? 的值. 8 ?4 2?
2

解: (cos? ? sin ? ) ? cos

? ? sin 2 ? ? 2sin ? cos? ? 1 ?

1 3 ? 4 4

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?? ? ? ?? ? ? , ? ,? cos ? ? sin ? ?4 2? ? cos ? ? sin ? ? ? 3 2

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sin( ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ? 3? ) 2 例 4.已知 f (? ) ? . ? tan(? ? ? )sin( ? ? ) 2
(1) 化简 f (? ) ; (2) 若 ? 是第三象限的角,且 cos(? ? (3) 若 ? ? ?1860 ,求 f (? ) 的值.
0

?

3? 1 ) ? ,求 f (? ) 的值; 2 5

解: (1) f (? ) ?

cos ? cos ? (? tan ? ) ? ? cos ? tan ? cos ? 3? ) ? ? sin ? (2) ? cos(? ? 2 1 ? sin ? ? ? , 又? 是第三象限的角 5

?cos? =- 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ?
0 0

1 2 2 ?? 6,? f (? ) ? 6 25 5 5
0

(3)?? ? ?1860 ? ?6 ? 360 ? 300

? f (? ) ? f (?18600 ) ? ? cos(?18600 )
? ? cos(?6 ? 3600 ? 3000 ) ? ? cos 600 ? ? 1 2

课堂练习 1: ( 1 ) 若 0 ? 2 x ? 2? , 则 使 1 ? sin 2 2x ? cos2x 成 立 的 x 的 取 值 范 围 是 ____ (答:

[0,

?

3 ; ] ? [ ?,?]) 4 4 m?3 4 ? 2m ? ( ? ? ? ? ) ,则 tan ? =____ , cos ? ? m?5 m?5 2
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(2)已知 sin ? ?

(答: ?

5 ) ; 12

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( 3) 已知

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tan ? sin ? ? 3 cos ? 5 13 ? ?1 , sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 =____ (答:? ; ) 则 =___; ; tan ? ? 1 sin ? ? cos ? 3 5
? ?

(4)已知 sin 200 ? a ,则 tan160 等于 A、 ?

( C、 ?

) D、

a 1? a2

B、

a 1? a2

1? a2 a

1? a2 a
(答:B) ;

课堂练习 2:

1. 设 ? 分别是第二、三、四象限角,则点 P(sin ? , cos? ) 分别在第___、___、___象限.

2.

? cos x 1) 已知 sin x ? cos x ? m, (, m求 ? sin 2 ,x 且 m?
sin ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? cos?

3.若角α 的终边在直线 y=-x 上,则 4.使 tanx-
1 有意义的 x 的集合为 sin x



.

.

α 4 α 5.已知α 是第二象限的角,且 cos =- ,则 是第 2 5 2

象限的角.

三、总结
1. 与角 ? 终边相同的角 弧度制表示 角度制表示 2. 角度与弧度的基本转换

1800 ?
3. 弧长公式 角度制 弧度制 4. 象限角表示

rad ; 10 ?

rad ; 1rad ?
扇形面积公式 角度制 弧度制

区间表示

角度表示

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第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 5. 坐标轴上的角表示 终边所在位 置 弧度表示 角度表示

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x 轴正半轴

y 轴正半轴
x 轴正半轴

y 轴正半轴
坐标轴 6. 角 ? 终边上任意一点 P 的坐标是 ( x, y ) , OP ? r , (r ? 0) 则 sin ? ?

csc? ? sec? ?
cot ? ?

cos? ?
tan ? ?

7. 三角比在各象限的符号

sin ?
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

cos?

tan ?

cot ?

sec?

csc?

8. 特殊角的三角比值

?
sin ?

0

? 6

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? 4

? 3

? 2

?

3? 2

2?

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cos?
tan ?

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cot ?

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