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浙江省杭州市重点高中2013年4月高考命题比赛高中数学参赛试题-6


试卷命题双向细目表
选择题 知识内容
题 次 集合、 简易逻辑 2,3 分 值 10

填空题
题 次 分 值

解答题
题 次 分 值





总 分 值

难度 系数

内 容

r />集合的运算 充分必要条件

10

0.9+0.7

不等式

8

5

16

4

基本不等式 线性规划

9

0.6+0.7

函数与方程

7

5

14

4

函数图像性质

9

0.7+0.6

导数及应用 三角函数 9 5

21 18

15 14

求导及应用

15

0.4

图像与性质 解三角形

19

0.6+0.7

平面向量

17

4

基向量思想 向量几何意义

4

0.6

数列

11

4

19

14

等比等差数列 数列求和

18

0.95+. 0.6

立体几何

5,6

10

20

14

三视图、线面 位置、线面角

24

0.7+0.6 +0.6

解析几何

10

5

15

4

22

15

直线与圆锥曲线

24

0.6+ 0.7+0.5

概率与统计 算法初步 复数 小结

4

5

13 12

4 4

概率,统计 程序框图 复数概念

9 4 5 150

0.9 0.8 0.95 0.7

1 10 题

5 50 分 7题 28 分 5题 72 分

高中数学

浙江省 2013 年高考模拟试卷文科数学测试卷
(本卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 )

选择题部分 (共 50 分)

参考公式: 球的表面积公式 S=4πR2 球的体积公式 V=

柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 台体的体积公式 V=

4 3 πR 3

其中 R 表示球的半径 锥体的体积公式

1 h(S1+ S1 S 2 +S2) 3

其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B)

1 V= Sh 3
其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中 ,只有 一项是符合题目要求的。 1、原创) ( 已知 i 是虚数单位, z1 ? a ? i, z2 ? a ? i, 若 若 A.-1 B.0 C.1
2

z1 为纯虚数, 则实数 a = z2
D.1 或-l

(

)

2 、( 原 题 ) 若 集 合 A ? x x ? 4x ? 3 ? 0

?

?,

B ? ?x1 ? x ? 2? , 则 A ? B 为
( )

A. {x | 1 ? x ? 3}

B. {x | 1 ? x ? 2}

C. {x | 2 ? x ? 3}

D. {x | x ? 1}

( 改 编 ) 已 知 集 合 P ? {x || x ? 2 |? 1}, 函数y ?

log 1 ( x ? 1) 的 定 义 城 为 Q , 则
2

Q ? P =(

) B. {x | 1 ? x ? 2} C. {x | 2 ? x ? 3} D. {x | x ? 1}

A. {x | 1 ? x ? 3} 3、 (原题)

是“

”的

( )

( A ) 充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件 ( C ) 充要条件 ( D ) 既不充分也不必要条件

( 改 编 ) 已 知 ? , ? 为 三 角 形 内 角 , 则 “ ? ? ? ” 是 “ sin ? ? sin ? ” 的 ( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4 、( 原 题 ) 抛 掷 一 枚 骰 子 两 次 , 两 次 的 点 数 之 和 是 奇 数 的 概 率 为 ( ) A.

1 6

B.

1 2

C.

1 3

D.

1 4

(改编)在 6 瓶饮料中,有 2 瓶已过了保质期。从这 6 瓶饮料中任取 2 瓶,则至少取到

一瓶 已 ( ) A. 过 保 质 期 饮 料 概 率 为

9 36
平 )

B.

9 25
则 下

C.

8 25
命 题

D.

10 36
正 确 的 个 数 有

5、 (原题)已知 m , n , l 为三条不同的直线, ? , ? 错误!未找到引用源。为两个不同 的 ( 面 , 列 中

① ? ∥ ? ,l ? ? ? l ? ?

② l ? ? , ? ? ? ? l ∥ ? 错误!未找到引用源。 ④ ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n D.3

③ m ? ? , m ? n ? n // ? 错误! 未找到引用源。 A.0 B.1 C.2

(改编)已知 m , n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 为三个不同的平面,则下列命题正 确 ( 的 ) 是

A.若 m ∥ n , m

? ,则 n ∥ ? ;

B.若 m ∥ n , m

? ,n

? ,则 ? ∥ ? ;

C.若 ? ⊥ ? , ? ⊥ ? ,则 ? ∥ ? ;

D. 若 m ∥ n , m ⊥ ? , n ⊥ ? ,则 ? ∥ ? .

6、 (原题)把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起形成直二面角 A ? BD ? C , 三棱锥 C ? ABD 体积为________ (改编) 把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起形成三棱锥 C-ABD 的主视图与 俯 (
1 A. 4 1 C. 6

视 )

















视 1



的 1

面 1



为 1

1 B. 2

主视图

俯视图

1 D. 8

7、 (原创) 函数 f ( x ) ? sin 2 x ? A .(0,1) 8、 (原题) sin ? ? B.(1,2)

?
x

存在零点的区间为 C. (2,3) D.(3,4)

(

)

1 1 ( x ? ) , ? 的值为 则 2 x
B.k? , k ? Z C.?2k ? 1?? , k ? Z D.k? ?





A.2k? , k ? Z (改编) cos? ? 若

?
2

,k ? Z


1? 1 ? 则 ? ln x ? ? , ? 的值为 2? ln x ?



A. 2k? , k ? Z

B. k? , k ? Z

C. ?2k ? 1?? , k ? Z

D. k? ?

?
2

,k ? Z

9、 (原题)已知函数

f ( x) ? A sin(

?
3

x ? ? ), x ? R, A ? 0,0 ? ? ?

?
2.

, y ? f ( x) ,

y

P

的部分图像,如图所示, P, Q 分别为该图像的最高点和最低 O 点,点 P 的坐标为 ?1, A? .求 f ( x ) 的最小正周期及 ? 的值; Q x

(改编)已知函数 f ( x) ? A cos(? x ? ? )( A ? 0,0? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为奇函数,该函数的部分 图象如图所示, △EFG 是边长为 2 的等边三角形, f (1) 的值为 则 y ( E A. ? )

3 2

B. ?

6 2
O F
第 9 题图

Gx

C. 3

D. ? 3

x2 y 2 10、 (原题)如图,F1,F2 是双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b> a b
0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点. | AB | : | BF2 | :| AF2|=3:4 : 5, 若 则双曲线的离心率为_____ F
1

y B A O F2 x

(改编) 如图,F1 、F2 是双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 2 a b
y
A )

2

2

右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 的左、右 2 个分支分别交于点 A 、

B .若 ?ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为(
A. 4 B.

B

7
F1 F2 x
第 10 题图

C.

2 3 3

D.

3

非选择题部分 (共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分。 11、 (原创)在等差数列 {an } 中,若 a2003 ? a2005 ? a2007 ? a2009 ? a2011 ? a2013 ? 120,则

2a2013 ? a2028 的值为_________

开始

12、 (引用)右面的程序框图输出的数值为_________ 13、 (引用)某公司有职工 2000 名,从中随机抽取 200 名调查他 们的居住地与上班工作地的距离,其中不超过 1000 米的共有 10 人,不超过 2000 米的共有 30 人,由此估计该公司所有职工 中,居住地到上班地距离在 ?1000, 2000? 米的有 人。

n ? 1, S ? 0

n ? 6?




14、(原题) 设奇函数 f ( x)满足f ( x) ? x2 ? x ? 6( x ? 0) ,则满 足 f (log1 x) ? 0 的 x 的取值范围是_________
2

输出 S

S ? S ? 2n
结束

(改编) 已知 f (x) 是偶函数, x ? 0 时, 当 其导函数 f ' ( x) ? 0 , 则 满 足

x x ?1 f( )? f( ) 4 x?3

n ? n ?1
的 所 有

x 之 和 为
第 12 题图
( D. )

_________ 15、 (原题)若直线 ax ? by ? 2 ? 0 (a ? 0 , b ? 0) 被圆

x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 截得的弦长为 4,则
A. a ? 2b

?2

B.

a ? 2b ? ?2

C.

a ? 2b ? 2

a ? 2b ? 2

(改编)若直线 ax ? by ? 2 ? 0 (a ? 0 ,b ? 0) 被圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 截得的弦长 为 4,则

1 1 ? 的最小值为 a b

16、 (原题)平面直角坐标系中,不等式组

? x ? y ? 1 ? 0, ? ? x ? 1 ? 0, ?2 x ? y ? 1 ? 0, ?

所表示的平面区域的面积为 (改编)平面直角坐标系中,若不等式组

? x ? y ? 1 ? 0, ? (a 为常数)所表示的平面区域的面积 ? x ? 1 ? 0, 等于 2,则 a 的值为 ?ax ? y ? 1 ? 0, ?
17、(原题) ?ABC中,G 为三角形外心, 延长 CG 交 AB 与 D ,若

GC ? xGA ? yGB
, 则 ( ) A. 0 ? x ? y ? 1 B.

x ? y ?1

C.

x ? y ? ?1

D. D

?1 ? x ? y ? 0
(改编)如图,AB 是圆 O 的直径,C、D 是圆 O 上的点, A O

B

C
第 17 题图

∠CBA=60°,∠ABD=45° CD ? xOA ? yBC ,则 x ? y ? _______ 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 72 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 18. (本小题满分 14 分) 1 (原题) (1)设函数 f ( x) ? m sin x ? cos x ( x ? R) 的部分图象如图: 求 y ? f ( x) 的解析式,并求函数的最小正周期和单调递增区间

??? ?

??? ?

??? ?

? 2

(2)锐角 ?ABC中, A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 a sin C ? 3c cos A , c ? 2 , 角 求 ?ABC 面积的最大值。 (改编)设函数 f ( x) ? m sin x ? cos x ( x ? R) 的图象经过点 ? ,1 ? . (Ⅰ)求 y ? f ( x) 的解析式,并求函数的最小正周期和单调递增区间 (Ⅱ)若 f (

?π ?2

? ?

?

12

) ? 2 sin A ,其中 A 是面积为

3 3 的锐角 ?ABC 的内角,且 AB ? 2 , 2

求 AC 和 BC 的长.

19.(本小题满分 14 分) (原题)已知函数 f ( x) ? 数 y ? f ( x) 的图象上。

1 2 3 * x ? x, 数列{an }的前n项和为Sn , 点 ? n, Sn ? ( n ? N )均在函 2 2

(1)求数列 {an } 的通项公式 an ;

an , 求数列 {bn }的前n项和Tn; 2n ?1 a a 1 (3)令 cn ? n ? n ?1 , 证明: 2n ? c1 ? c2 ? …+cn ? 2n ? . 2 an ?1 an
(2)令 bn ? ( 改 编 ) 设 数 列

?a ?
n

的 前 n 项 和 为 Sn , 已 知 a1 ? 2 , a2 ? 8 ,

S n ?1 ? 4 S n ?1 ? 5S n ? n ? 2 ? , Tn 是数列 ?log 2 an ? 的前 n 项和.

(1)求数列 an 的通项公式; (2)求 Tn ; (3)求满足 ?1 ?

? ?
? ?

1 ?? 1? ? ?1 ? ? ? ? ? T2 ? ? T3 ? ? ?

? 1? 1010 的最大正整数 n 的值. ?1 ? ? ? ? Tn ? 2013 ? ?

20. (本小题满分 14 分) (原题) 已知正方形 ABCD 的边长为 2 2 ,将 ?ABC 沿对角线 AC 折起,使平面

ABC ? 平面 ACD ,得到如图所示的三棱锥 B ? ACD .若 O 为 AC 边的中点, M , N 分
别为线段 DC ,BO 上的动点 (不包括端点) 且 BN ? CM .设 BN ? x , , 则三棱锥 N ? AMC 的体积 y ? f ( x) 的函数图象大致是( )

(改编)边长为 2 的菱形 ABCD 中, ?A ? 60 ,沿 BD 折成直二面角, 过点 A 作 PA ? 平面 ABC ,且 AP ? 2 3 . (Ⅰ)求证: PA / / 平面 DBC ;

?

P

C

(Ⅱ)求直线 PC 与平面 DBC 所成角的大小.
Ks*5u

C

D

B

A

21.(本小题满分 15 分)

?? x3 ? x 2 , x ? 1, (原题)已知函数 f ( x) ? ? ?a ln x, x ? 1.
(Ⅰ)求 f ( x) 在 [ ?1, e] ( e 为自然对数的底数)上的最大值; (Ⅱ)对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? f ( x) 上是否存在两点 P, Q ,使得 POQ 是以 O 为 直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上? (改编)已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? b, g ( x) ? a ln x . (Ⅰ)若 f (x) 在 x ? ??

3 ? 1 ? ,1? 上的最大值为 ,求实数 b 的值; 8 ? 2 ?

(Ⅱ)若对任意 x ? ?1, e? ,都有 g ( x) ? ? x 2 ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (III)在(Ⅰ)的条件下,设 F ( x) ? ?

? f ?x ?, x ? 1 ,对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F (x) 上 ? g ?x ?, x ? 1

是否存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此 三角形斜边中点在 y 轴上?请说明理由.

22.(本小题满分 15 分) ( 原 题 ) 如 图 , 设 点 P(m, n)是圆C1 : x ? ( y ? 1) ?
2 2

3 上的动点,过点 P 作抛物线 4

C2 : x2 ? ty(t ? 0) 的两条切线,切点分别是 A、B。已知圆 C1 的圆
心 M 在抛物线 C2 的准线上。 (I)求 t 的值; (Ⅱ)求 PA ? PB 的最小值,以及取得最小值时点 P 的坐标。

??? ??? ? ?

(改编) 已知抛物线 C : x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F (0,

p ), 准线为 l , P( x0 , y0 )( yo ? p) 点 2 3 为抛物线 C 上的一点,且 ?FOP 的外接圆圆心到准线的距离为 . 2

(I)求抛物线 C 的方程; (II)若圆 F 的方程为 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1,过点 P 作圆 F 的 2 条切线分别交 x 轴于点 M , N , 求 ?PMN 面积的最小值及此事 y0 的值.

第 22 题图

2013 年高考模拟试卷 数学卷(文科)

答题卷
一、选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的。

考号

题 号 案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分。

11 ______

线



__

12 ___

_____.

13_____

___

14_____

___.

姓名

三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 72 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。 18. (本小题 14 分) (改编)设函数 f ( x) ? m sin x ? cos x ( x ? R) 的图象经过点 ? ,1 ? .



15______

__.

16___

_.

_

__.

17________.

班级

?π ?2

? ?

(Ⅰ)求 y ? f ( x) 的解析式,并求函数的最小正周期和单调递增区间 (Ⅱ)若 f (

?

求 AC 和 BC 的长.

学校



12

) ? 2 sin A ,其中 A 是面积为

3 3 的锐角 ?ABC 的内角,且 AB ? 2 , 2

19. (本小题 14 分) ( 改 编 ) 设 数 列

?a ?
n

的 前 n 项 和 为 Sn , 已 知 a1 ? 2 , a2 ? 8 ,

S n ?1 ? 4 S n ?1 ? 5S n ? n ? 2 ? , Tn 是数列 ?log 2 an ? 的前 n 项和.
(1)求数列 an 的通项公式; (2)求 Tn ; (3)求满足 ?1 ?

? ?
? ?

1 ?? 1? ? ?1 ? ? ? ? ? T2 ? ? T3 ? ? ?

? 1? 1010 的最大正整数 n 的值. ?1 ? ? ? ? Tn ? 2013 ? ?

20. (本小题 14 分) (改编)边长为 2 的菱形 ABCD 中, ?A ? 60 ,沿 BD 折成直二面角, 过点 A 作 PA ? 平面 ABC ,且 AP ? 2 3 . (Ⅰ)求证: PA / / 平面 DBC ; (Ⅱ)求直线 PC 与平面 DBC 所成角的大小.
Ks*5u

?

P

C

D

C
D

B

A

B

A

21.(本小题 15 分) (改编)已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? b, g ( x) ? a ln x . (Ⅰ)若 f (x) 在 x ? ??

3 ? 1 ? ,1? 上的最大值为 ,求实数 b 的值; 8 ? 2 ?

(Ⅱ)若对任意 x ? ?1, e? ,都有 g ( x) ? ? x 2 ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (III)在(Ⅰ)的条件下,设 F ( x) ? ?

? f ?x ?, x ? 1 ,对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F (x) 上 ? g ?x ?, x ? 1

是否存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此 三角形斜边中点在 y 轴上?请说明理由.

22.(本题满分 15 分) (改编) 已知抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F (0,
2

p ), 准线为 l , P( x0 , y0 )( yo ? p) 点 2 3 为抛物线 C 上的一点,且 ?FOP 的外接圆圆心到准线的距离为 . 2
2 2

(I)求抛物线 C 的方程; (II)若圆 F 的方程为 x ? ( y ? 1) ? 1,过点 P 作圆 F 的 2 条切线分别交 x 轴于点 M , N , 求 ?PMN 面积的最小值及此事 y0 的值.

浙江省 2013 年高考模拟试卷文科数学参考答案及评分标准
一、选择题(每题 5 分) 1 D B 2 C 3 B 4 C 5 A 6 D 7 B 8 D 9 C 10

第 22 题图

二、填空题(每题 4 分) 11、______20_____________ 12、____126_____________13、_____200_____________

14、__6 _ 15、____

3 3 ? 2 _________ 16、____3_______17、__ ? _____ 2 3

三、解答题 (本大题有 5 小题, 共 72 分) 18. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)? 函数 f ( x) ? m sin x ? cos x ( x ? R) 的图象经过点 ? ,1 ?

?π ?2

? ?

? m sin

?
2

? cos

?
2

?1

?m ? 1

????.2 分

? f ( x) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) 4

?

????????.4 分 ????????.5 分

? 函数的最小正周期 T ? 2?
由 2 k? ?

?
2

? x?

?
4

? 2k? ?

?
2

可得 2k? ?

3? ? ? ? x ? ? 2 k? ? 4 4 4

? y ? f ( x) 的调递增区间为 [2k? ?
(Ⅱ)因为 f ( ∴ sin A ? sin

3? ? , 2k? ? ](k ? Z ) ??????7 分 4 4

?

12

) ? 2 sin A

即 f(

?

12

) ? 2 sin

?
3

? 2 sin A

?
3

???????9 分

∵ A 是面积为

? 3 3 的锐角 ?ABC 的内角,? A ? 3 2
? AC ? 3
2

???????.10 分

? S?ABC ?

1 3 AB?AC sin A ? 3 2 2
2 2

????????.12 分

由余弦定理得: BC ? AC ? AB ? 2 ? AB ? AC cos A ? 7 ????????.14 分 19.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)∵当 n ? 2 时, Sn ?1 ? 4Sn ?1 ? 5Sn , ∴ S n ? 1 ? S n ? 4 S n ? S n ?1 . ∴ an ?1 ? 4an . ∵ a1 ? 2 , a2 ? 8 , ∴ a2 ? 4a1 . ?????3 分

?

?

?????1 分 ?????2 分

∴数列 an 是以 a1 ? 2 为首项,公比为 4 的等比数列. ∴ an ? 2 ? 4n ?1 ? 22n ?1 . (Ⅱ)由(1)得: log2 an ? log2 22n ?1 ? 2n ? 1, ∴ Tn ? log2 a1 ? log2 a2 ? ? ? log2 an ?????4 分 ?????5 分

? ?

? 1 ? 3 ? ? ? ? 2n ? 1?

?????6 分

?

n ?1 ? 2n ? 1? 2

?????7 分

? n2 .
(Ⅲ) ?1 ?

?????8 分

? ?

1 ?? 1? ? ?1 ? ? ? ? ? ? T2 ? ? T3 ? ?

? 1? ?1 ? ? ? Tn ? ? ?
?????9 分

? ? 1 ?? 1? 1? ? ?1 ? 2 ? ?1 ? 2 ? ? ? ? ?1 ? 2 ? 2 ?? 3 ? n ? ? ?
? 22 ? 1 32 ? 1 42 ? 1 n2 ? 1 ? ? ??? 22 32 42 n2

?

1 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 5 ? ? ? ? n ? 1? ? n ? 1? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? n2
n ?1 . 2n

?????10 分

?

?????11 分



n ? 1 1010 4 ? ,解得: n ? 287 . 2n 2013 7

?????13 分 ?????14 分

故满足条件的最大正整数 n 的值为 287 . 20. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)取 BD 的中点 O ,连接 CO ,则 CO ? BD .

????(1 分)

又∵平面 DBC ? 平面 ABD ,平面 DBC ? 平面 ABD ? BD , ∴ CO ? 平面 ABD . 而 AP ? 平面 ABD ,∴ CO // PA . ??????????????(3 分) ????????(4 分) ?(7 分)

又∵ CO 在平面 DBC 内, PA ? 平面DBC ∴ PA / / 平面 DBC .

(Ⅱ)∵ CO // PA ,∴ OAPC 四点共面.连接 AO 并延长交 PD 延长线为 H .

∵平面 DBC ? 平面 ABD ,平面 DBC ? 平面 ABD ? BD ,

P

AH ? BD ,
∴ AH ? 平面 BCD ,∴直线 CO 即直线 PH 在 平面 BCD 内的射影. ∴ ?HCO 即直线 PH 平面 BCD 所成的角. ??????(10 分)

C

1 ∵ OC ? PA ,∴ OC是?PAH 的中位线. 2 ∴ OH ? OA ? 3 .
又∵ OC ? 3 ,∴ tan ?HCO ? 1 ∴ ?HCO ? 45
?
?

H
B

D

O
A

??????????????(13 分) ??????????????(14 分)

因此直线 PC 与平面 DBC 所成角为 45 21.(本小题满分 15 分)

解: (Ⅰ)由 f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? b ,得 f ?( x) ? ?3x 2 ? 2 x ? ? x(3x ? 2) , 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或

2 . 3

当 x 变化时, f ?(x) 及 f (x) 的变化如下表:

x
f ?(x)

?

1 2

1 (? ,0) 2
-

0
0

2 (0, ) 3
+

2 3
0

2 ( ,1) 3


1 f (? ) ↘ 极小值 ↗ 极大值 2 1 3 2 4 1 2 ? b ,? f (? ) ? f ( ) , 由 f (? ) ? ? b , f ( ) ? 2 8 3 27 2 3 1 3 3 即最大值为 f (? ) ? ? b ? ,?b ? 0 . 2 8 8

f (x)

?????4

分 (Ⅱ)由 g ( x) ? ? x ? (a ? 2) x ,得 ( x ? ln x)a ? x ? 2 x .
2 2

? x ? [1, e],? ln x ? 1 ? x ,且等号不能同时取,? ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0

?a ?


x2 ? 2x x 2 ? 2x ) min . 恒成立,即 a ? ( x ? ln x x ? ln x

?????6

令 t ( x) ?

x2 ? 2x ( x ? 1)(x ? 2 ? 2 ln x) , ( x ? [1, e]) ,求导得, t ?( x) ? , x ? ln x ( x ? ln x) 2

当 x ? [1, e] 时, x ? 1 ? 0,0 ? ln x ? 1, x ? 2 ? 2 ln x ? 0 ,从而 t ?( x) ? 0 ,

? t (x) 在 [1, e] 上为增函数,? t min ( x) ? t (1) ? ?1 ,? a ? ?1 .
分 (Ⅲ)由条件, F ( x) ? ?

?????8

?? x 3 ? x 2 , x ? 1 , x ?1 ?a ln x,

假设曲线 y ? F (x) 上存在两点 P , Q 满足题意,则 P , Q 只能在 y 轴两侧, 不妨设 P(t , F (t ))(t ? 0) ,则 Q(?t , t 3 ? t 2 ) ,且 t ? 1 .

? ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,?OP ? OQ ? 0 ,

? ?t 2 ? F (t )(t 3 ? t 2 ) ? 0

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(?) ,
?????10

是否存在 P , Q 等价于方程 (?) 在 t ? 0 且 t ? 1 时是否有解. 分

①若 0 ? t ? 1 时,方程 (?) 为 ?t 2 ? ?t 3 ? t 2 t 3 ? t 2 ? 0 ,化简得 t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 ,此方程无 解; ②若 t ? 1 时,方程 (?) 为 ?t 2 ? a ln t ? t 3 ? t 2 ? 0 ,即

?

?? ?

?

?

1 ? ? t ? 1? ln t , a

1 设 h ?t ? ? ?t ? 1? ln t ?t ? 1? ,则 h? ? t ? ? ln t ? ? 1 , t
显然,当 t ? 1 时, h? ? t ? ? 0 , 即 h ? t ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数,
? h ? t ? 的值域为 ? h ?1? , ??? ,即 ? 0, ?? ? ,? 当 a ? 0 时,方程 ?*? 总有解.

? 对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F (x) 上总存在两点 P ,Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O
为坐标原点) 为直角顶点的直角三角形, 且此三角形斜边中点在 y 轴上. 22.(本小题满分 15 分) 解: (I)?FOP 的外接圆的圆心在直线 OF, 的交点上, FP 且直线 OF 的中垂线为直线 y ? 则圆心的纵坐标为 ??15 分 ks**5u

p , 2

p ?????????????????????????1 分 2 p p 3 故到准线的距离为 ? ? ???????????????2 分 2 4 2

从而 p=2,即 C 的方程为

x 2 ? 4 y. ??????????????????4 分

(II)设过点 P 斜率存在的直线为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,则点 F(0,1)到直线的距离

d?
令 d=1,则

y0 ? kx ? 1 k ?1
2

。????????????????6 分

y0 ? kx0 ? 1 k 2 ?1

? 1,

2 2 所以 ( x0 ? 1)k 2 ? 2x0 ( y0 ? 1)k ? y0 ? 2 y0 ? 0 。?????????????8 分

设 2 条切线 PM,PN 的斜率分别为 k1 , k 2 ,则

k1 ? k 2 ?

2 x0 ( y 0 ? 1) y 2 ? 2 y0 , k1k 2 ? 0 2 , 2 x0 ? 1 x0 ? 1

且直线 PM: y ? y0 ? k1 ( x ? x0 ) ,直线 PN: y ? y0 ? k 2 ( x ? x0 ) ,故

M ( x0 ?
因此

y0 y ,0) , N ( x0 ? 0 ,0) ????????????9 分 k1 k2

2 y0 y0 8 y0 ? 4 y0 k1 ? k 2 (k1 ? k 2 ) 2 ? 4k1 k 2 MN ? ? ? y0 ? y0 ? k 2 k1 k1 k 2 k1 k 2 ( y 0 ? 2) 2 2 2 y 0 (2 y 0 ? y 0 ) ?????????11 分 ( y 0 ? 2) 2

所以 S ?PMN ?

1 MN y 0 ? 2

设 f (t ) ?

t 2 (2t ? t 2 ) ,则 (t ? 2) 2 2t 2 (?3t ? t 2 ? 6) f " (t ) ? , (t ? 0) ?????? 12 分 (t ? 2) 3

2 令 t ? 3t ? 6 ? 0 ,则 t

?

3 ? 33 3 ? 33 (舍)或t ? 2 2



3 ? 33 3 ? 33 上单调递增,因此 f (t ) 在 (2, ( , ?) ? ) 上单点递减,在 2 2 f min (t ) ? f (
从而

3 ? 33 ) ????????????13 分 2

[S ?PMN ]min ?
此时 y 0 ?

f(

3 ? 33 9 ? 33 )? 54 ? 10 33 , 2 16

3 ? 33 .???????????????????????15 分 2


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