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16届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案


第十六届全国中学生物理竞赛复赛试题
全卷共六题,总分为 140 分。
一、(20 分)一汽缸的初始体积为 V0,其中盛有 2mol 的空气和少量的水(水的体积可以忽略)。平衡时 气体的总压强是 3.0atm,经做等温膨胀后使其体积加倍,在膨胀结束时,其中的水刚好全部消失,此时的 总压强为 2.0atm。若让其继续作等温膨胀,使体积再次加倍。试计算此时: 1.汽

缸中气体的温度; 2.汽缸中水蒸气的摩尔数; 3.汽缸中气体的总压强。 假定空气和水蒸气均可以当作理想气体处理。

二、(25 分)两个焦距分别是 f1 和 f2 的薄透镜 L1 和 L2,相距为 d,被共轴地安置在光具座上。 1.若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行,问该入射光线应满足什么条件? 2.根据所得结果,分别画出各种可能条件下的光路示意图。

三、(25 分)用直径为 1mm 的超导材料制成的导线做成一个半径为 5cm 的圆环。圆环处于超导状态,环 内电流为 100A。经过一年,经检测发现,圆环内电流的变化量小于 10 6A。试估算该超导材料电阻率数量 级的上限。

提示:半径为 的圆环中通以电流 后,圆环中心的磁感应强度为 各量均用国际单位, 。

,式中 、 、

四、(20 分)经过用天文望远镜长期观测,人们在宇宙中已经发现了许多双星系统,通过对 它们的研究,使我们对宇宙中物质的存在形势和分布情况有了较深刻的认识。双星系统由两 个星体构成,其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。一般双星系统距离其他星体 很远,可以当作孤立系统处理。 现根据对某一双星系统的光度学测量确定,该双星系统中每个星体的质量都是 ,两者 相距 。他们正绕两者连线的中点作圆周运动。 1. 试计算该双星系统的运动周期 。

2. 若实验上观测到的运动周期为 , 且 。 为了解释 与 的不同,目前有一种流行的理论认为,在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质。作 为一种简化模型,我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质,而不 考虑其它暗物质的影响。试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。

五、(25 分)六个相同的电阻(阻值均为 )连成一个电阻环,六个接点依次为 1、2、3、4、 5 和 6, 如图复 16-5-1 所示。 现有五个完全相同的这样的电阻环, 分别称为 现将 后将 的 1、3、5 三点分别与 的 1、3、5 三点分别与 、 、 ┅ 。 的 1、 的 2、4、6 三点用导线连接,如图复 16-5-2 所示。然

的 2、4、6 三点用导线连接,┅ 依此类推。最后将

3、5 三点分别连接到

的 2、4、6 三点上。 上的 1、3 两点间的等效电阻为 上的 1、3 两点间的等效电阻。 。

1.证明全部接好后,在 2.求全部接好后,在

六、(25 分)如图复 16-6 所示, 轴竖直向上,

平面是一绝缘的、

固定的、刚性平面。在 处放一带电量为 的小物块,该 物块与一细线相连,细线的另一端 穿过位于坐标原点 的光滑小孔, 可通过它牵引小物块。 现对该系统加一匀强电场, 场强方向垂直与 轴, 与 轴夹角为 (如图复 16-6 所示)。设小物块和绝缘平面间的摩擦系 数为 ,且静摩擦系数和滑动摩擦系数相同。 不计重力作用。 现通过细线来牵引小物块, 使之移动。在牵引过程中,我们约定:细线的 端只准沿 轴向下缓慢移动,不得沿 轴向上 移动;小物块的移动非常缓慢,在任何时刻,都可近似认为小物块处在力平衡状态。若已知 小物块的移动轨迹是一条二次曲线,试求出此轨迹方程。

第十六届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答
一、参考解答 1 只要有液态水存在,平衡时汽缸中气体的总压强就等于空气压强与饱和水蒸气压强之 和: (1) 第一次膨胀后 (2) 由于第一次膨胀是等温过程,所以 (3) 解(1)、(2)、(3)三式,得 (4) (5) (6) 由于 ,可知汽缸中气体的温度 (7) 根据题意,经两次膨胀,气体温度未改变。

2 设水蒸气为 .经第一次膨胀,水全部变成水蒸气,水蒸气的压强仍为 对于水蒸气和空气分别有 (8) (9) 由此二式及(5)、(6)式可得 (10) 3. 在第二次膨胀过程中,混合气体可按理想气体处理,有 (11) 由题意知, , ,再将(2)式代入,得 (12)

,这时

二、参考解答 l.在所示的光路图(图复解 16-2-1)中,人射光 经透镜 折射后沿 射向 ,经 折射后沿 出射. 、 、 与透镜主轴的交点分别为 、 和 ,如果 为物点,因 由 沿主轴射向 的光线方向不变, 由透镜性质可知, 为 经过 、 、 、 之间有下列关系: 所成的像, 为 经 所成的像,因而图中所示的

(1) (2) 当入射光线 与出射光线平行时,图中的 , 从而求得 联立方程(1)、(2)、(3)、(4),消去 、 和 ,可得 (4) (3) ,利用相似三角形关系可求得

(5) 由于 、 、 均已给定,所以 为一确定值,这表明:如果入射光线与出射光线平行, 的左方与 时, 相距 处,又由

则此入射光线必须通过主轴上一确定的点,它在 于 与 无关,凡是通过该点射向 2.由所得结果(5)式可以看出,当 16-2-1. 当 16-2-2. 时, ,

的入射光线都和对应的出射光线相互平行. ,此情况下的光路图就是图复解

,此时入射光线和出射光线均平行于主轴,光路如图复解

当 此时 ,由 解 16-2-3.

时,

,这表明 点在 可知, ,又由

的右方,对

来说,它是虚物.由(1)式可知, ,所以此时的光路图如图复

可知,

三、参考解答 根据题中所给的条件,当圆环内通过电流 时,圆环中心的磁感应强度

穿过圆环的磁通量可近似为 (1) 根据法拉第电磁感应定律,电流变化产生的感生电动势的大小 (2) 圆环的电阻 根据题设条件 , ,代入(3)式得 , , (3)

(4) 由电阻与电阻率 、导线截面积 、长度 的关系

及已知导线的直径

,环半径

,得电阻率 (5)

四、参考解答 1.双星均绕它们的连线的中点做圆周运动,设运动速率为 ,向心加速度满足下面的方 程: (1) (2) 周期 (3) 2.根据观测结果,星体的运动周期 (4) 这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力,故它一定还受到其他指向中心的作用力, 按题意这一作用来源于均匀分布的暗物质,均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与 一质量等于球内暗物质的总质量 位于中点处的质量点相同. 考虑暗物质作用后双星的速度 即为观察到的速度 ,则有 (5) (6) 因为在轨道一定时,周期和速度成反比,由(4)式得 (7) 把(2)、(6)式代入(7)式得 (8) 设所求暗物质的密度为 ,则有

故 (9)

五、参考解答 解法一: 1.(1)电阻图变形. 此题连好的线路的平面图 如图预解 16-5-1 所示. 现将电阻环改画成三角 形,1、3、5 三点为顶点,2、

4、6 三点为三边中点,如图预解 1?D5-2 与图预解 16-5-3 所 示.整个连好的线路相当于把 的三个顶点分别接到 的 三个中点上,图预解 16-5-1 变为图预解 16-5-4.这样第 1 问 归结为求图预解 16-5-4 中最外层三角环任意两顶点间的等效 电阻。

(2)递推公式. 为使图形简化, 讨论如何将接好的两 个电阻环化简成为一 个单环。由六个阻值 为 的电阻构成一个 三角环,将其顶点接 在另一由六个阻值为 的电阻构成的三角 环的中点上(如图预 解 16-5-5 所示)。 图预解 16-5-6 是由六个阻值为 的电阻构成的三角环。若图预解 16-5-5 顶点 1、3 间的 电阻与图预解 16-5-6 顶点 l、3 间的电阻阻值相等,我们称图预解 16-5-6 中的 为等效单 环电阻.

用符号“//”表示电阻的并联,如

由图预解 16-5-5 中的对称性可知 l、3 两顶点间的电阻 中 1、0 间的电阻 的 2 倍,即

等于图预解 16-5-7

(1) 同理,图预解 16-5-6 中 1、3 两顶点间的电阻 为 (2) 由(1)、(2)式得等效单环电阻 为 (3) 2. 第一问 现在考虑把 接在 式得到 为 、 、 、 、 按相反的次序,由内向外依次连接的情况.首先将 〔即(3)式中的 〕.这时 .由(3) 外面,求双环 的等效单环电阻

其次,在双环

外面接上

,这时

.三环

的等效单环电阻



由此可得一般公式,

环的等效单环电阻

可由

求出 (4)

于是

由 (2) 式 得出由一个环 ( 构成的线路 1、3 点间的电阻为

) 、 两个环 (

) 直至五个环 (



答:所求的五个环的 1 与 3 间的等效电阻确为 3. 第二问

.证毕。

根据五个 组成的圆柱形网络的对称性, 的 l、3 两点等价于 的 2、4 两点.等价线 路如图预解 16-5-8 与图预解 16-5-9 所示.设二图等价,求图预解 16-5-9 中的 即可.

所以

答:所求值为 解法二:



第一问 图预解 16-5-3 可看做 粗线为一短路线.一个环( 据对称性, 的接线图,其一半如图预解 16-5-10 所示,竖直 )构成线路的 1 与 0 点间的阻值用 。 表示,根

当 接入 后,由两个环(类似图预解 16-5-5)构成线路图的一半如图预解 16-5-11 所示.三个带阴影的电阻与短路线围成的三角形( )中的 2 与 间的阻值就是图预解 16-5-10 中 1 与 0 间的阻值 。其等效电路如图预解 16-5-12 所示.图预解 16-5-11(或图 表示.有

预解 16-5-12)中的 l 与 0 点间的阻值用

再将双环

接入

,其一半如图预解 16-5-13 所示,三个带阴影的电阻与短路线围 间的阻值就对应为 ,参看图预解 16-5-12 的等效

成的三角形中含有六个电阻,其 2 与 电路,得

同理,得

由此得 第二问

五个电阻环构成线路后, 最外层环 ( 求得,将图中 因 换成

) 上 2 点与 4 点间的等效电阻可借用图预解 16-5-12

,五个环构成的线路中 2 与 4 间阻值可如下求得:



六、参考解答 设所加匀强电场的场强为

,它在 方向和 方向的分量分别为

, 。 由于物块带负电,电场作用于物块的电力的两个分量分别为 (1) (2) 在 平面内,方向沿 轴正方向. 和 垂直于 平面,被绝缘平面的支持力所平衡,故 物块对绝缘平面的正压力的大小 的大小相等,即

绝缘平面作用于物块的摩擦力 (3) 的方向决定于物块移动的方向. 根据题意,物块在 平面内的运动可看做是一种在力平衡 下的缓慢移动.作用于物块的三个力 、 和线的拉力 都在 平面内.物块在任一位置达到平衡时的受力情况如图预解 16-6 所示。 为细线与 轴的夹角。把 沿 和 方向分解得





表示

的两个分量,物块平衡时,有 (4) (5)

由(4)、(5)式得 注意到(3)式,得 得 或 因要小物块缓慢移动,需要细线牵引, ,将 代入(4)、(5)式, 有 不符合题意,应舍去.因 (6) ,

摩擦力方向的斜率 (7) 是摩擦力方向与 轴夹角的正切,即摩擦力方向的斜率,因摩擦力始终沿轨道的切线方 向,故 也就是轨道切线的斜率.下面,通过对(7)式的分析来寻找轨道方程. 当中一 0,k-co 即在起点 A 时,轨道的切线与 x 轴垂直 当 , ,即在起点 时,轨道的切线与 轴垂直。

当 , ,一种情况是小物块运动到 轴上后,沿 轴做直线运动到 点,但这与 题设轨迹移动是一条二次曲线不符,因而它一定表示轨道在 点的切线与 轴垂直. 在二次曲线中,曲线上两点切线相互平行的只有椭圆或圆.又因为 、 两点的切线与 它们的连线相垂直,这连线应为曲线的轴线,且在 轴上,另一轴在它的垂直平分线上且与 轴平行。曲线与此轴线的交点的切线的斜率为 0.代入(7)式得 方程为 ,故该曲线为圆,其

(8)


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