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北京市丰台区2014—2015学年高三(文)第一学期期末练习 2015.01


丰台区 2014—2015 学年度第一学期期末练习 高三数学(文科) 第一部分(选择题
1.在复平面内,复数 (A) (-1,1) 【答案】A 【解析】 共 40 分)

2015.01

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

2i 对应的点

的坐标是 1? i
(B) (-1, -1) (C) (1, -1) (D) (1,1)

2i 2i(1 ? i) 2i(1 ? i) ? ? ? ?1 ? i , 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2
所以对应点的坐标是 (?1,1) 故答案为:A 【考点】 复数综合运算 【难度】1 2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,如果 a1=2,a3+ a5=22,那么 S3 等于 (A) 8 (B) 15 (C) 24 【答案】B 【解析】

(D) 30

a1 ? a3 ? a5 ? 2 ? 22 ? 24 ? 3a3 ,所以, a3 ? 8
所以, S3 ?

(a1 ? a3 ) ? 3 (2 ? 8) ? 3 ? ? 15 2 2

故答案为:B 【考点】 等差数列 【难度】2 3.命题 p: ? x>0, e ? 1 ,则 ? p 是
x

(A) ? x0 ? 0 , e 0 ? 1
x x (C) ? x ? 0 , e ? 1

(B) ? x0 ? 0 , e 0 ? 1
x x (D) ? x ? 0 , e ? 1

【答案】B 【解析】 命题 p: ? x>0, e ? 1 的否命题为: ? x0 ? 0 , e 0 ? 1
x x

故答案为:B 【考点】1 全称量词与存在性量词
丰台区高三数学第一学期期末试题(文科)第 1 页 共 14 页

【难度】 4.已知 a ? 2log3 2 , b ? log 1 2 , c ? 2
4
? 1 3

,则 a,b,c 的大小关系是 (C) c > a >b (D) a>c>b

(A) a > b > c 【答案】D 【解析】

(B) c > b > a

a ? 2log3 2 ? log3 22 ? log3 4 ? log3 3 ? 1
b ? log 1 2 ? log 1 1 ? 0
4
? 1 3

4

0 ? c ? 2 ? 20 ? 1 ,所以 a ? c ? b
故答案为:D 【考点】2 指数与指数函数;对数与对数函数 【难度】 5.甲、乙两名同学在 5 次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示,设 x1 , x2 分别表示甲、乙两名同学测试 成绩的平均数, s1 , s 2 分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差,则有 (A) x1 ? x2 , s1 ? s2 (C) x1 ? x2 , s1 ? s2 【答案】B 【解析】 (B) x1 ? x2 , s1 ? s2 (D) x1 ? x2 , s1 ? s2 8 甲 6 8 6 2 7 8 乙 6 3 8 6 7

x1 ?

76 ? 76 ? 82 ? 88 ? 88 76 ? 78 ? 83 ? 86 ? 87 ? 82 , x2 ? ? 82 5 5

(76 ? 82)2 ? (76 ? 82) 2 ? (82 ? 82) 2 ? (88 ? 82) 2 ? (88 ? 82) 2 144 s1 ? ? 5 5 s2 ? (76 ? 82) 2 ? (78 ? 82) 2 ? (83 ? 82) 2 ? (86 ? 82) 2 ? (87 ? 82) 2 94 ? 5 5

所以, x1 ? x2 , s1 ? s2 故答案为:B 【考点】 样本的数据特征 【难度】2 6.已知函数 y ? a ? sin bx (b>0 且 b≠1)的图象如图所示,那么函数 y ? logb ( x ? a) 的图象可能是

丰台区高三数学第一学期期末试题(文科)第 2 页 共 14 页

y
1

y
1
y

O
-1

1

2

3

4

x

-2

-1 O -1

1

2

x

2 1

(A)

(B)

O

π



x

y
1

y
1
1 2 3 4

O
-1

x

-2

-1 -1

O 1

2

x

(C) 【答案】C 【解析】 由已知函数的图象可知:

(D)

T?

2? ? ? ,b ? 2 , a ? 1, b

故答案为:C 【考点】 函数图像 【难度】 3 7.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图,则该锥体的正视图 可能是

(A)

(B)

侧视图

俯视图

(C)

(D)

【答案】A 【解析】 由侧视图和俯视图可知,该几何体是一个四棱锥。其直观图如下:

丰台区高三数学第一学期期末试题(文科)第 3 页 共 14 页

所以,该锥体的正视图可能为 A 故答案为:A 【考点】 空间几何体的三视图与直观图 【难度】2 8.在平面直角坐标系 xOy 中,如果菱形 OABC 的边长为 2,点 A 在 x 轴上,则菱形内(不含边界)整点 (横纵坐标都是整数的点)个数的取值集合是 (A) {1,2} (B) {1,2,3} (C) {0,1,2} (D) {0,1,2,3} 【答案】C 【解析】 由题意 A(2,0) ,设 ?COA ? ? , 若 ? ? 30 ,则 C ( 3,1) B(2 ? 3,1) ,此时无整点;
?

若 ? ? 45 ,则 C( 2, 2) B(2 ? 2, 2) ,此时有一个整点 (2,1) ;
?

若 ? ? 60 ,则 C (1, 3) B(3, 3) ,此时有两个整点 (1,1) , (2,1) ;
?

因为 OA ? 2 ,若含 (1,1) (2,1) 则不可能含 (3,1) ,否则 (1,1) , (3,1) 将在边界上。 若含 (1,1) 则不含 (1, 2) 否则在边界上菱形高度大于 2,所以不能含 3 个。 故答案为:C 【考点】 集合的概念 【难度】 3

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知集合 A ? {x x ? 2x ? 0} , B ? {1, 2,3, 4} ,则 A ? B ?
2



【答案】{3,4} 【解析】

A ? {x x 2 ? 2 x ? 0} ? ? x x( x ? 2) ? 0? ? ? x x ? 0或x ? 2?

B ? {1, 2,3, 4} , A ? B ? ?3,4?
故答案为:{3,4} 【考点】 集合的运算
丰台区高三数学第一学期期末试题(文科)第 4 页 共 14 页

【难度】 2

10.已知向量 a ? b ,且 a ? ( x,1) , b ? (1, ?2) ,那么实数 x= ; a ? b ? 【答案】2; 10 【解析】 因为 a ? b ,所以 a ? b ? x ? (?2) ? 0 ,即 x ? 2 ;所以, a ? (2,1) 所以, a ? b ? (3, ?1) ,所以 a ? b ? 3 ? (?1) ? 10
2 2

?

?

?

?

? ?



?

?

? ?

?

? ?

? ?

故答案为:2; 10 【考点】 平面向量坐标运算 【难度】 2 11.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是___.

【答案】 4 【解析】 A ? 1, B ? 1; A ? 3 , B ? 2 ;不满足 A ? 15 ; A ? 8 , B ? 3 ;不满足 A ? 15 ; A ? 16 , B ? 4 ;满足 A ? 15 ; 输出 B ? 4 故答案为: 4 【考点】 算法与程序框图 【难度】 2

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 12.如果变量 x,y 满足条件 ? x ? 2 y ? 8 ? 0, 且 z ? 3x ? y ,那么 z 的取值范围是___. ? x ? 0, ?
【答案】 [2,9] 【解析】
丰台区高三数学第一学期期末试题(文科)第 5 页 共 14 页

作出可行域如下图:

目标函数 z ? 3x ? y 可转化为: y ? ?3x ? z 当目标函数 y ? ?3x ? z 经过点 A(2,3) 时取得最大值, zmax ? 9 当目标函数 y ? ?3x ? z 经过点 C (0, 2) 时取得最小值, zmin ? 2 故答案为: [2,9] 【考点】 线性规划 【难度】 2 13.已知圆 C: x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 ,那么圆心坐标是 ;如果圆 C 的弦 AB 的中 点坐标是(-2,3),那么弦 AB 所在的直线方程是___. 【答案】 (?1, 2) ; x ? y ? 5 ? 0 【解析】 由题意得: ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 ,
2 2

所以圆心坐标是 (?1, 2) ,半径为 r ? 5 设弦的中点为 H (?2,3) ,则 kCH ? ?1 所以, k AB ? 1 , y ? 3 ? x ? 2 , 即 x? y?5 ? 0 故答案为: (?1, 2) ; x ? y ? 5 ? 0 【考点】 直线与圆的位置关系 【难度】 2

丰台区高三数学第一学期期末试题(文科)第 6 页 共 14 页

14. 设函数 f ( x ) 与 g ( x) 是定义在同一区间 [ a, b] 上的两个函数, 如果函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [ a, b] 上 有 k (k ? N ) 个不同的零点, 那么称函数 f ( x ) 和 g ( x) 在区间 [ a, b] 上为“ k 阶关联函数”. 现有如下三
*

组函数: ① f ( x) ? x , g ( x ) ? sin
?x

? x; 2
③ f ( x) ?| x ? 1| , g ( x) ?

② f ( x) ? 2 , g ( x) ? ln x ;

x.

其中在区间 [0, 4] 上是“ 2 阶关联函数”的函数组的序号是___. (写出所有 满足条件的函数组的序号) .. 【答案】①③ 【解析】 由题意得:在区间 [0, 4] 上,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [ a, b] 上有 2 个不同的零点 即函数 f ( x ) 和 g ( x) 在区间 [0, 4] 上,有两个交点。 对于①:作出图像如下图

右图可知,①正确; 对于②:作出图像如下图

由图可知,②不正确; 对于③:作出图像如下图

由图可知,③不正确; 故答案为:①③ 【考点】 零点与方程;函数图像 【难度】 3 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分)
丰台区高三数学第一学期期末试题(文科)第 7 页 共 14 页

已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? cos(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) , x ? R . (Ⅰ)求 f (

? 6

? 6

? ) 的值; 12 ? 2

(Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [ , ?] 上的最大值和最小值,及相应的 x 的值. 【答案】见解析 【解析】 解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 sin x cos x ? cos( 2 x ?

?
6

) ? cos( 2 x ?

?
6

)

? sin 2 x ? (cos 2 x cos

?

? sin 2 x sin ) ? (cos 2 x cos ? sin 2 x sin ) 6 6 6 6

?

?

?

? sin 2x ? 3 cos2x ? 2 sin( 2 x ?
所以 f (

?

?
12

) ? 2 sin

?
2

3

).

? 2.

(另解) f (

?

? sin

?
6

12

) ? 2 sin ? cos

?
12

cos

?
12

? cos( 2 ?

? sin

?
2

?

? ) ? cos( 2 ? ? ) 12 6 12 6

?

?

?

?

(Ⅱ)因为 所以 当 2 x ?

?

3

? 2.

7? ,即 x ? ? 时, ymax ? 3 ; 3 3 ? 3? 7? 当 2x ? ? ,即 x ? 时, ymin ? ?2 . 3 2 12 7? 所以当 x ? ? 时, ymax ? 3 ;当 x ? 时, ymin ? ?2 . 12 ?
【考点】 三角函数综合 【难度】3 16.(本小题共 13 分) 某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平,在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试,将 所得数据进行分组,分组区间为:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并绘制出频率分布直方图, 如图所示. (Ⅰ)求频率分布直方图中的 a 值;从该市随机选取一名学生,试估计这名学生参加考试的成绩低于 90 分的概率; (Ⅱ)设 A,B,C 三名学生的考试成绩在区间[80,90)内,M,N 两名学生的考试成绩在区间[60,70)内,现 从这 5 名学生中任选两人参加座谈会,求学生 M,N 至少有一人被选中的概率; (Ⅲ)试估计样本的中位数落在哪个分组区间内 (只需写出结论) . (注:将频率视为相应的概率)

2

? x ? ? ,所以

?

4? ? 7? ? 2x ? ? . 3 3 3

丰台区高三数学第一学期期末试题(文科)第 8 页 共 14 页

频率 组距

0.03 0.025 0.02

a
0.01

O

50

60

70 80

90 100 考试成绩(分)

【答案】见解析 【解析】 解: (Ⅰ) a ? 0.1 ? 0.03 ? 0.025 ? 0.02 ? 0.01 ? 0.015 估计这名学生参加考试的成绩低于 90 分的概率为 1-0.15=0.85 (Ⅱ)从这 5 位学生代表中任选两人的所有选法共 10 种, 分别为:AB,AC ,AM,AN,BC,BM,BN,CM,CN,MN. 代表 M,N 至少有一人被选中的选法共 7 种, 分别为: AM,AN,BM,BN,CM,CN,MN. 设“学生代表 M,N 至少有一人被选中”为事件 D,

P ( D )=

7 . 10 7 . 10

答:学生代表 M,N 至少有一人被选中的概率为

(Ⅲ)样本的中位数落在分组区间[70,80)内. 【考点】 概率综合 【难度】3 17.(本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60° ,平面 SAD⊥平面 ABCD,SA=SD,E,P, Q 分别是棱 AD,SC,AB 的中点. (Ⅰ)求证:PQ∥平面 SAD; (Ⅱ)求证:AC⊥平面 SEQ; (Ⅲ)如果 SA=AB=2,求三棱锥 S-ABC 的体积.

【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)证明:取 SD 中点 F,连结 AF,PF.
丰台区高三数学第一学期期末试题(文科)第 9 页 共 14 页

因为 P,F 分别是棱 SC,SD 的中点, 所以 FP∥CD,且 FP=

1 CD. 2
S

又因为菱形 ABCD 中,Q 是 AB 的中点, 所以 AQ∥CD,且 AQ =

1 CD. 2

所以 FP//AQ 且 FP=AQ. 所以 AQPF 为平行四边形. 所以 PQ//AF. 又因为 PQ ? 平面 SAD ,
A

F

P

D E Q B

C

AF ? 平面 SAD ,
所以 PQ//平面 SAD . (Ⅱ)证明:连结 BD, 因为 △SAD 中 SA=SD,点 E 棱 AD 的中点, 所以 SE⊥AD. 又 平面 SAD⊥平面 ABCD, 平面 SAD ? 平面 ABCD=AD, SE ? 平面 SAD , 所以 SE⊥平面 ABCD, 所以 SE⊥AC. 因为 底面 ABCD 为菱形, E,Q 分别是棱 AD,AB 的中点, 所以 BD⊥AC,EQ∥BD. 所以 EQ⊥AC, 因为 SE ? EQ=E, 所以 AC⊥平面 SEQ. (Ⅲ)解:因为菱形 ABCD 中,∠BAD=60° ,AB=2, 所以 S?ABC =

S

F

P

D E A Q B

C

1 AB ? BC ? sin ?ABC = 3 . 2

因为 SA=AD=SD=2,E 是 AD 的中点,所以 SE= 3 . 由(Ⅱ)可知 SE⊥平面 ABC, 所以三棱锥 S-ABC 的体积 V = S ?ABC ? SE ? 1 . 【考点】 立体几何综合 【难度】3 18.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

1 3

1 ?1 . ex

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的极小值; (Ⅱ)过点 B(0, t ) 能否存在曲线 y ? f ( x) 的切线,请说明理由. 【答案】见解析
丰台区高三数学第一学期期末试题(文科)第 10 页 共 14 页

【解析】 解: (Ⅰ)函数的定义域为 R. 因为 f ( x) ? x ? 1 ? 所以 f ?( x) ?

1 , ex

ex ?1 . ex

令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? 0 .

所以 f ( x)极小值 =f (0) ? 0 ? 1 ?

1 ?0. e0

(Ⅱ)假设存在切线,设切点坐标为 ( x0 , y0 ) , 则切线方程为 y ? y0 ? f '( x0 )( x ? x0 )

1 ) ? (1 ? e? x0 )( x ? x0 ) x0 e x ?1 将 B(0, t ) 代入得 t ? 0 x ? 1 . e0 x ?1 方程 t ? 0 x ? 1 有解,等价于过点 B(0, t ) 作曲线 f ( x ) 的切线存在. e0 x ?1 ?x 令 M ( x ) ? x ? 1 , 所以 M ?( x ) ? x . e e ?x 当 M ?( x ) ? x ? 0 时, x0 ? 0 . e
即 y ? ( x0 ? 1 ? 所以 当 x ? (??,0) 时, M ?( x) ? 0 ,函数 M ( x) 在 x ? (??,0) 上单调递增; 当 x ? (0, ??) 时, M ?( x) ? 0 , M ( x) 在 x ? (0, ??) 上单调递减. 所以 当 x0 ? 0 时, M ( x)max ? M (0) ? 0 ,无最小值.

x0 ? 1 ? 1 有解; e x0 x ?1 当 t ? 0 时,方程 t ? 0 x ? 1 无解. e0 综上所述,当 t ? 0 时存在切线;当 t ? 0 时不存在切线.
当 t ? 0 时,方程 t ? 【考点】 导数的综合运用
丰台区高三数学第一学期期末试题(文科)第 11 页 共 14 页

【难度】4 19.(本小题共 14 分)

6 x2 y 2 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点为 A(?2, 0) ,离心率为 . a b 3
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)直线 l 过点 A ,过 O 作 l 的平行线交椭圆 C 于 P,Q 两点,如果以 PQ 为直径的圆与直线 l 相切,求 l 的方程. 【答案】见解析 【解析】 解: (Ⅰ)依题意,椭圆的焦点在 x 轴上, 因为 a ? 2 , 所以 c ?

c 6 , ? a 3

4 2 6 2 2 2 ,b ? a ? c ? . 3 3

所以 椭圆的方程为

x2 3 y 2 ? ? 1. 4 4

(Ⅱ)依题意,直线 l 的斜率显然存在且不为 0,设 l 的斜率为 k , 则可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) , 则原点 O 到直线 l 的距离为 d ?

| 2k | k 2 ?1



设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , 则 ?

? y ? kx ?x ? 3y ? 4
2 2

消 y 得 (3k ? 1) x ? 4 .
2 2

可得 P(

2 3k ? 1
2

,

2k 3k ? 1
2

) , Q( ?

2 3k ? 1
2

,?

2k 3k 2 ? 1

).

因为 以 PQ 为直径的圆与直线 l 相切,

所以

1 | PQ |? d ,即 | OP |? d . 2
2 3k ? 1
2

所以 (

)2 ? (

2k 3k ? 1
2

)2 ? (

| 2k | k ?1
2

)2 ,

解得 k ? ?1 . 所以直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 . 【考点】圆锥曲线综合
丰台区高三数学第一学期期末试题(文科)第 12 页 共 14 页

【难度】4 20.(本小题共 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 S n ? ? an ?

n , (? ? ?1 , n ? N* ) . ? ?1

(Ⅰ)如果 ? ? 0 ,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)如果 ? ? 2 ,求证:数列 {an ? } 为等比数列,并求 Sn ; (Ⅲ)如果数列 {an } 为递增数列,求 ? 的取值范围. 【答案】见解析 【解析】 解: (Ⅰ) ? ? 0 时, Sn ? ?n , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ?1 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? ?1 , 所以 an ? ?1 . (Ⅱ)证明:当 ? ? 2 时, S n ? 2 an ?

1 3

n , 3

n ?1 , 3 1 相减得 an ?1 ? 2an ? . 3 1 1 所以 an ?1 ? ? 2( an ? ) , 3 3 1 1 2 又因为 a1 ? , a1 ? ? ? 0 , 3 3 3 1 所以数列 {an ? } 为等比数列, 3 Sn ?1 ? 2an ?1 ?
所以 an ?

1 2n n 2n ?1 n ? 2 ? ? , Sn ? 2an ? ? . 3 3 3 3 3

(Ⅲ)由(Ⅰ)可知,显然 ? ? 0

1 1 ,得 a1 ? 2 . ? ?1 ? ?1 n 当 n ? 2 时, S n ? ? an ? , ? ?1 n ?1 S n ?1 ? ? an ?1 ? , ? ?1 ? 1 an ?1 ? 2 相减得 an ? , ? ?1 ? ?1 1 ? 1 ? (an ?1 ? ). 即 an ? ? ?1 ? ?1 ? ?1
当 n ? 1 时,则 S1 ? ? a1 ?
丰台区高三数学第一学期期末试题(文科)第 13 页 共 14 页

因为 ? ? ?1 ,所以 a1 ? 所以 {an ?

1 ? ? 2 ?0. ? ?1 ? ?1

1 } 为等比数列. ? ?1 ? ? n ?1 1 1 ? n 1 ( ) ? ? ( ) ? 所以 an ? 2 . ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1
因为数列 ?an ?为递增数列,

? 1 ?0 ? ?? ?1 所以 ? 或 ? ? ?1 ? ? ? ?1

? 1 ?0 ? ? ? ?1 , ? ? ?0 ? ?1 ? ? ?1 ?

所以 ? 的取值范围是 ? ? 1 或 ? ? ?1 . 【考点】 数列综合应用 【难度】4

丰台区高三数学第一学期期末试题(文科)第 14 页 共 14 页


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