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辽宁省大连市第二十高级中学2015-2016学年高一6月月考数学试题


2015-2016 学年度下学期 6 月月考 高一数学试卷
考试时间:120 分钟 总分:150 分

第Ⅰ卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的 四个选项中,只有一项 是符合题目要求的 ) 1. sin15? cos15? ? A.
1 2 1 4

B.

/>
C.

3 2

D.

3 4

2.平面向量 a ? (1, ? 2) , b ? (?2 , x) ,若 a // b ,则 x 等于 A. 4 B. ?4 C. ? 1 D. 2

3.已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则 cos 2? = A.

3 5

B.

4 5

C. ?

3 5

D. ?

4 5

4.已知 a ? ( x,3) , b ? (3,1) , 且 a ? b , 则 x 等于 A. -1 B. -9 C. 9 D. 1
[来源:学|科|网]

?

?

?

?

5.某书法社团有男生 30 名,女生 20 名,从中抽取一个 5 人的样本,恰好抽到了 2 名男生和 3 名 女生.(1)该抽样一定不是系统 抽样;(2)该抽样可能是简单随机抽样;(3)该抽样 不可能是分层抽 样;(4)男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率.其中说法正确的为 A.(1)(2)(3 ) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)

6.要得到 y ? sin(2 x ?

? ? 个单位 D.向右平移 个单位 3 3 ? ? ? ? 7.已知 a ? (2,3) , b ? (4, ?7) ,则 a 在 b 方向上的正射影的数量为
C.向左平移
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

2? ) 图像, 需要将函数 y ? sin 2 x 的图像 3 2? 2? A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 3 3
[来源:学科网 ZXXK]

A. 13

B.

13 5

C.

65 5

D.

65

8.已知 tan(? ? ? ) ?

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? , 则 tan(? ? ) = 5 4 4 4

A.

1 6

B.

22 13

C.

3 22

D.

13 18

9.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,点 F 在线段 CD 上,且

??? ? ? ??? ? ? ??? ???? 1 ???? ? DF ? DC . 若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? 3
开始

1? 1? a? b A. 4 2

2? 1? a? b B. 3 3

1? 1? a? b C. 2 4

1? 2? D. a ? b 3 3

? ? 12? , s ? 1
s ? s cos? ,? ? 2?

10.执行如右图所示的程序框图,则输出的 s=

1 A. 16

1 B. 16

1 C. 32

11.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?) ? b(? ? 0, ? ? 则 f (0) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2016) ? A. 504 D. 2017 12. 将函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (| ? |? B. 1008

?

1 D. 32

? ? 180? 否
是 输出 s

2

) 的图象如下,

C. 2016

结束

? ? ) 的图象向右平移 个单位后的图 2 12 ? 象关于 y 轴对称,则函数 f ( x ) 在 [0, ] 上的最小值为 2
A. 0 B. -1 C. ?

1 2

D. ?

3 2

第 11 题图

第Ⅱ卷
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13 .从 2 男和 2 女四个志愿者中,任意选择两人在星期一、星期二参加某公益活动,每天一人, 则星期一安排一名男志愿者、星期二安排一名女志愿者的概率为 14.若 a ? (?2, ?1), b ? (?,1) ,若 a 与 b 的夹角为钝角,则 ? 的取值范围是 15.已知向量 OA ? (1,1) , OB ? (2,3) ,且 OC ? OA , AC // OB ,则向量 OC =_________. 16. 给出下列五个命题: ①函数 y ? 2sin(2 x ? .

?

?

?

?

??? ?

??? ?

?
3

) 的一条对称轴是 x ?

5? ? ;②函数 y ? tan x 的图象关于点( ,0)对称;③ 12 2

正弦函数在第一象限为增函数④使得 sin x ? ?

5? 3 4? , x ? [0, 2? ] 的 x 的取值是 或 ;⑤若 3 3 2

3? ? ? sin(2 x1 ? ) ? sin(2 x2 ? ) ,则 x1 ? x2或x1 +x2 = , 4 4 4
其中正确的是 (填写正确命题前面的序号) 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分) 已知向量 a , b 的夹角为 60? ,且 | a |? 2 , | b |? 1 , (1) 求 ( a - b ).(2 a + b ); 18. (本小题满分 12 分) (2) 求|2 a - b |.

?

?

?

?

4 ,0 ? ? ? ? ,求 sin ? ? cos ? ; 5 2 sin ? ? cos ? (2)已知 tan ? ? 2 ,求 . sin ? ? 3 cos ?
(1)已知 sin ? ? cos ? ? 19. (本小题满分 12 分) 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的质量指标值,由测量结果得到如图所示 (Ⅰ)求这些产品质量指标值落在区间 ?75,85? 内的频率;

的频率分布直方图,质量指标值落在区间 ?55,65? , ?65,75? , ?75,85? 内的频率之比为 4 : 2 :1 . (Ⅱ)用分层抽样的方法在区间 ? 45,75? 内 抽取一个容量为 6 的样本,将该样本看成一个总体, 从中任意抽取 2 件产品,求这 2 件产品都在区间 ? 45,65? 内的概率.
频率 0.030 组距

0.019 0.012 0.004

20. (本小题满分 12 分)

0

15 25

35 45 55 65 75 85 质量指标值

设函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

?
2

) 的最高点 D 的坐标为 (

?
8

,2 ) , 由最高点 D 运

动到相邻最低点时,函数图形与 x 轴的交点的坐标为( (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)当 x ? ??

3? ,0 ). 8

? ? ?? 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值以及分别取得最大值和最小值时相应的 , ? 4 4? ?

自变量 x 的值; (3)先将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 到原来的

? 4

个单位,再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短

1 倍 ,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求函数 y ? g ( x) 的单调减区间. 2

21. (本小题满分 12 分) 已知: a ? (2sin x, 2cos x), b ? (cos x, ? cos x) , f ( x) ? a ? b . (1)若 a与b 共线,且 x ? ( (2)求函数 f ( x) 的周期;

?

?

? ?

? ?

?
2

, ? ) ,求 x 的值;

[0, (3)若对任意 x ?

?
2

] 不等式 m ? 2 ? f ( x) ? m ? 2 恒成立,求实数 m 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ? x ? ? 3 sin ? x ? cos ? x ? 3cos ? x ?

? 1 ?? ? 0 ? , 且 f ? x ? 的最小正周期为 . 2 2

(1)求函数 f ( x) 的解析式及函数 f ( x) 的对称中心; ( 2)若 3sin
2

x x ? ? 3m [ f( ? ) ? 1] ? m ? 2 对任意 x ? [0, 2? ] 恒成立,求实数 m 的取值范围. 2 8 12

2015-2016 学年度下学期 6 月月考
高一数学参考答案
一、 选择题 1~6 BACABD 二、填空题 13. 7~12 CCBADD

1 3

14. ( ?

1 , 2) ? (2, ??) 2

15. ( ? , )

1 1 5 5

16.

①②④

17.解:(1) ( a - b ).( 2 a + b )

=2 a 2- a . b - b 2

=2 ? 4-2 ? 1 ? cos600-1=6 (2) |2 a - b |2=4 a 2-4 a . b + b 2=13 则|2 a - b |= 13 18. (1)∵ sin ? ? cos ? ?

4 16 2 ,∴ (sin ? ? cos ? ) ? , 5 25

2 sin ? cos ? ? ?

9 34 2 ,∴ (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2 sin ? cos ? ? , 25 25

又∵ 0 ? ? ? ? 且 2 sin ? cos ? ? ? (2)

? 9 34 , ∴ ? ? ? ? ,∴ sin ? ? cos? ? . 2 25 5

2 sin ? ? cos ? 2 tan ? ? 1 2 ? 2 ? 1 3 ? ? ? . sin ? ? 3 cos ? tan ? ? 3 2?3 5 19.解: (Ⅰ)设区间 ?75,85? 内的频率为 x ,

则区间 ?55,65? , ?65,75? 内的频率分别为 4 x 和 2 x . 依题意得 ? 0.004 ? 0.012 ? 0.019 ? 0.030? ?10 ? 4x ? 2x ? x ? 1 , 解得 x ? 0.05 . 所以区间 ?75,85? 内的频率为 0.05 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,区间 ? 45,55? , ?55,65? , ?65,75? 内的频率依次为 0.3 , 0.2 , 0.1 . 用分层抽样的方法在区间 ? 45,75? 内抽取一个容量为 6 的样本, 则在区间 ? 45,55? 内应抽取 6 ?

0.3 ? 3 件,记为 A1 , A2 , A3 . 0.3 ? 0.2 ? 0.1 0.2 ? 2 件,记为 B1 , B2 . 在区间 ?55,65? 内应抽取 6 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.1 0.1 ? 1 件,记为 C . 在区间 ?65,75? 内应抽取 6 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.1 设“从样本中任意抽取 2 件产品,这 2 件产品都在区间 ? 45,65? 内”为事件 M,

? A2 , B1? ,? A2 , B2? ,?A2 , C? ,? A3 , B1? ,? A3 , B2? ,?A3 , C? ,?B1, B2? ,?B1, C? ,?B2 , C? ,
共 15 种. 事件 M 包含的基本事件有: ? A 1, A 2? , ? A 1, A 3? , ? A 1 , B2 ? , ? A 2, A 3? , 1, B 1? , ? A 所以这 2 件产品都在区间 ? 45,65? 内的概率为 20. (1) ∵由最高点 D (

则所有的基本事件有:? A 1, A 2 ? ,? A 1, A 3? ,? A 1 , B2 ? ,? A 1 , C? ,? A 2, A 3? , 1, B 1? ,? A

? A2 , B1? , ? A2 , B2? , ? A3 , B1? , ? A3 , B2? , ?B1, B2? ,共 10 种.
?
8

10 2 ? . 15 3

,2 ) 运动到相邻最低点时, 函数图形与 x 的交点的坐标为 (

3? ,0 ) , 故 8

T 3? ? ? ? ? ? 4 8 8 ? ? 2? 而? , 从而 T ? ? , ? ? ? 2 ,? ? A?2 T 4 ?? ? ? ? ? ? ? ? 2k? ? 8 2 ? ? ? 函数解析式为 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ) 4
(2)由(1)得 y ? 2 sin( 2 x ? 当 x ? ??

?
4

),

? ? ? ? ? ? 3? ? ? ? ?? , ? 时, 2 x ? ? ?? , ? . ∴当 2 x ? ? ? ,即 x ? ? 时,函数 y 取得最 4 4 4 4 ? 4 4? ? 4 4?

小值 ? 2 . 当 2 x ?

?
4

?

?
2

,即 x ?

?
8

时,函数 y 取得最大值 2.

(3)由题意得, g ( x) ? 2sin(4 x ? 21.解: (1)∵ x ? (

?

?
2

4

) , g ( x) 的单调递减区间为 [

3? k? 7? k? ? , ? ], k ? Z 16 2 16 2

,? )


∴ cos x ? 0

又∵ a与b 共线

? ?

? x ? ( ,? ) 2 ? ? (2) f ( x) ? a ? b ? 2sin x cos x ? 2cos2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1

?

2sin x 2 cos x ? 即 tan x ? ?1 cos x ? cos x ? 3? ?x ?? ? ? 4 4

? 2(

? 2 2 sin 2 x ? cos 2 x) ? 1= ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4 2 2
2? ?? 2

故函数 f ( x) 的周期 T=

(3)? 0 ? x ?

?
2

??

?

? 2x ? 4 4

?

3? 2 ? ? ?? ? s i n (x2? ?) 4 2 4

[来源:Z#xx#k.Com]

1

??2 ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ? 2 ? 1 , 即 ?2 ? f ( x) ? 2 ?1 4 [0, 要使不等式 m ? 2 ? f ( x) ? m ? 2对任意x ?

?

?

2

] 上恒成立,必须且只需

? ? m ? 2 ? ?2 ? ? ?m ? 2 ? 2 ? 1

即 ?1 ? m ? 0

22. 解: (1)由题得: f ( x) ? 3 sin(2? x ? 又函数 f ( x ) 的周期为

?
3

) ?1

? 2? ? ? ,所以 ? ? 2 ,所以 2 2? 2 ? k? ? ? ,1) k ? Z 所以 f ( x) ? 3 sin(4 x ? ) ? 1 ,对称中心为 ( 3 4 12 x 2 x ? 3m sin ? m ? 2 ? 0 , (2) (法一) 3sin 2 2 x 3sin 2 ? 2 x x x t ?1 2 设 sin ? [0,1] , m ? ,设 t ? 3sin ? 1 , t ?[1, 4] ,则 sin ? x 2 2 2 3 3sin ? 1 2 1 3 ? (t ? 1)2 ? 2 2 t ? 2t ? 5 1 5 y? 9 ? ? (t ? ? 2) 在 t ?[1, 4] 上是增函数 t 3t 3 t
? t ? 1 时, ymin ? ?2 ,? m ? ?2
(法二)设 t ? sin <1>

x , t ? [0,1] , y ? 3t 2 ? 3mt ? m ? 2 ? 0 2
[来源:Zxxk.Com]

m ? 0 时,即 m ? 0 时, ymin ? y(0) ? ?m ? 2 ? 0 , 2

<2> 0 ?

m m2 m m ? 1 时,即 0 ? m ? 2 时, ymin ? y ( ) ? 3 ? 3m ? m ? 2 ? 0 ,无解 2 2 4 2

m 1 ? 1 时,即 m ? 2 时, ymin ? y(1) ? 3 ? 3m ? m ? 2 ? 0 , m ? 2 4 综上: m ? ?2
<3>


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