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五奥第9讲容斥原理


第九讲

容斥原理

教学目标: 让学生掌握容斥原理的基本类型,并能运用此类题的解题方法灵活地解决问 题。 教学重点: 1、学会基本的容斥原理公式及其分类。 2、运用容斥原理的基本方法解决问题,做到不重不漏。 教学难点: 1、能解决较复杂的容斥原理问题。 2、含三类的容斥原理。 教学过程 一、故事引入,揭示课题,明确容斥原理的基本类型与解题方法。 故事引入:森林里住着很多动物,狮子大王派仙鹤去统计鸟的种数,蝙蝠 跑去说:“我有翅膀,我算鸟类。”仙鹤把蝙蝠统计进去了,结果得出森林中 共有 80 种鸟类。狮子大王又派大象去统计兽类的种类,蝙蝠又跑去说:“我没 有羽毛,我算兽类。”结果统计出森林中共有 70 种兽类。最后狮子大王问: “森林中共有鸟类和兽类多少种?”狐狸军师听了仙鹤和大象的统计结果,向 狮子大王报告:“森林中鸟类与兽类共计 150 种。”这个统计对吗?兔子跑过 来说:“不对,因为在这个统计中,蝙蝠被算了两次。”正确答案应该是 80+70-1=149(种)。 师:在计数时,必须注意无一重复,无一遗漏。为了使重叠部分不

被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想 是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先

计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的 结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。

知识点: 如果被计数的事物有 A 、 B 两类,那么, A 类 B 类元素个数总和 = 属于 A 类元素个 数 + 属于 B 类元素个数 — 既是 A 类又是 B 类的元素个数。

二、教学例题,掌握技巧。
例 1、一个班有学生 45 人,参加数学兴趣小组有 30 人,参加音乐兴趣小组的有 22 人,并且每人至少参加一个班,这个班两组都参加的有多少人? 分析:直接用公式 解答: 课堂练习 30+22—45=7(人) 32 页 练习 1

答案 25+20=45(人)

40—10=30.(人)

45—30=15(人)

小结:先计算出所有情况情况,再减去多算的。就可以计算出所用数目。 师:刚才我们学了最简单的容斥原理,下面看一个较复杂的 例 2、在 1 到 1000 的自然数中,能被 3 或 5 整除的数共有多少个?不能被 3 或 5 整除 的数共有多少个? 分析:先分别求出能被 3 与被 5 整除的个数,再减去既能被 3 整除又能被 5 整除(即 能被 15)整除的数。 解答: 1000÷3=333(个)……1

1000÷5=200(个) [3,5]=15 1000÷15=66(个)……10

333+200—66=467(个) 1000—467=533(个) 课堂练习:在 1 到 100 的自然数中,能被 2 或 3 整除的数共有多少个? 答案 100÷2=50(个) 100 ÷3=33(个)……1 [2,3]=6 100÷6=16(个)……6

50+33—16=67(个)

小结:通过分析,将题目转化为容斥原理。即先分别求出能被 3 与被 5 整除的个数, 再减去既能被 3 整除又能被 5 整除的数。 答:能被 3 或 5 整除的数共有 467 个,不能被 3 或 5 整除的数共有 533 个,。

师:前面的都是含两个的容斥原理,下面我们来学习三个的。

知识点: 如果被计数的事物有 A 、 B 、 C 三类,那么, A 类和 B 类和 C 类元素个数总和 = A 类 元素个数 + B 类元素个数 +C 类元素个数 — 既是 A 类又是 B 类的元素个数 — 既是 A 类又是 C 类的元素个数 — 既是 B 类又是 C 类的元素个数 + 既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数。 例 3、(原例 4)某校六(1)班有学生 54 人,每人在暑假里都参加体育训练队,其中 参加足球队的有 25 人,参加排球队的有 22 人,参加游泳队的有 34 人,足球、排球都

参加的有 12 人,足球、游泳都参加的有 18 人,排球、游泳都参加的有 14 人,问:三 项都参加的多少人?

分析:本题是一道容斥原理 2 的应用,直接用公式即可

解答: 25+22+34—12—18—14=37(人)

54—37=17(人)

答:三项都参加的 17 人。

课堂练习 33 页第 5 题

答案 :24+31+20—5—6—7+3=60(人)

刚才是一个直接的容斥原理,下面我们来看一个容斥原理的应用。这一题需要较强的 分析能力。

例 4、(原例 5)在一根长木棍上有三种刻度线,第一种刻度线将木棍分成 10 等份, 第二种将木棍分成 12 等份,第三种将木棍分成 15 等份,如果沿每条刻度线将木棍锯 断,木棍总共被锯成多少段?

分析:师:题目中没有告诉我们木棍的长度,那锯成几段后该怎样计算?能不能设一 个长度呢?

生:能。

师:那设什么数最简单呢?

生:10,12,15 的最小公倍数。

解答:[10,12,15]=60

60÷10=6

60÷12=5

60÷15=4

师:每隔 4,5,6 就会锯一段,但是中间会有重复的, [4,5]=20 [4,6]=12 [5,6]=30 [4,5,6]=60

60÷20=3 (段)

60÷12=5(段)

60÷30=2(段)

60÷60=1(段)

10+12+15—3—5—2+1=28(段)

答:,木棍总共被锯成 28 段。

小结:本题首先要明白如何设数,在数字大小对题目结果没有影响的前提下,一般情 况下设最小公倍数。其次,将分析实际问题中的条件,再用公式解题。

例 5(原例 3)分母是 1001 的最简分数一共有多少个?

注:将“最简分数”改为“最简真分数”并且老师需首先讲解 什么是“最简真分数”如时间不够,可选择不讲本题。

分析:要求最简分数就只需要求分子不是 1001 的因数,即求出 1001 的因数再用 1001 去减就可以了。

1001=7×11×13 7 的倍数有 11×13 个,11 的倍数有 7×13 个,13 的倍数有 7×11 个,

既是 7 又是 11 的倍数有 13 个,既是 7 又是 13 的倍数有 11 个,既是 13 又是 11 的倍 数有 11 个,既是 7 又是 11 又是 13 的倍数有 1 个,

解答:1001=7×11×13

11×13+7×13+7×11—7—11—13+1

=143+91+77—7—11—13+1

=281(个)

1001—281=720(个)

答:分母是 1001 的最简分数一共有 720 个?

例 6、实验小学举办书法展,学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品,其中有 28 幅不是五年级的,有 24 幅不是六年级的,五、六年级参展作品共有 20 幅,一、二

年级参展的作品总数比三、四年级参展的作品总数少 4 幅。一、二年级参展的书法作 品共有多少幅?

分析:师:有 28 幅不是五年级的,有 24 幅不是六年级的,说明什么问题?

生:一+二+三+四+六=28(幅)

一+二+三+四+五=24(幅)

师:28+24 表示什么呢?

生: 一二三四年级的两倍+五六年级的

师:那我们可以求出 一二三四年级的和,再用和差问题就可以求出一二年级的。

解答:(28+24—20)÷2=32÷2=16(幅)

( 16—4)÷2=6(幅)

答:一、二年级参展的书法作品共有 6 幅。

小结:将“不是”转化为“是”,再进行对比,找到突破口。

例 7、森林里住着 100 只小白兔,凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜,其中爱吃萝 卜的小白兔的数量是爱吃白菜的 2 倍,而不爱吃白菜的小白兔的数量是不爱吃萝卜的 3 倍,那么它们当中有多少只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜?0

分析:不爱吃萝卜的小白兔+爱吃萝卜的小白兔=100(只)

不爱吃白菜的小白兔+爱吃白菜的小白兔=100(只)

还知道他们之间的倍数关系,因此可以用方程来解。

解答:解:设爱吃白菜的小白兔有 X 只,则不爱吃白菜的小白兔有(100—X)只,爱 吃萝卜的小白兔有 2X 只,不爱吃萝卜的小白兔有(100—2X)只,

100—X=3×(100—2X)

100—X=300—6X

5X=200 X=40 不爱吃萝卜的小白兔有:100—2×40=20(只)
爱吃白菜 40 只

40—20=20(只)

不爱吃萝 答:它们当中有 20 只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜。 卜 20 只

小结:碰到 较复杂题目 可以考虑方程

例 8 题目有问题

总结:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的 数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去, 使得计算的结果既无遗漏又无重复。如果被计数的事物有 A、 B 两类,那么, A 类 B 类元素个数总和 = 属于 A 类元素个数 + 属于 B 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数。如果被 计数的事物有 A 、 B、C 三类,那么, A 类和 B 类和 C 类元素 个数总和 = A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数 —既 是 A 类又是 B 类的元素个数 —既是 A 类又是 C 类的元素个数 —既是 B 类又是 C 类的元素个数+ 既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数。

板书设计 A、B 两类 例1 例2

A 类 B 类总和 = A 类 + B 类 — 既 A 又 B

例3

例4

A、B、C 三类

例5

例6

A 类 B 类 C 类数总和 = A 类 + B 类+C 类 — 既 A 又是 B — 既 A 又 C— 既 B 又 C + 既 A 又 B 且 C

,作业 :32 页 2、3、4

33 页 6。

训练题答案
训练 A

1、25+20=45(人)

40—10=30.(人)

45—30=15(人)

2、30+26—13=43(人)

48—43=5(人)

3、15+12—4=23(人)

4、19+25—7=37(人)

46—37=9(人)

训练 B

5、24+31+20—5—6—7+3=60(人)

6、58+38+52—18—16+12=126(人)

126—100=26(人)

52—(16+26—12)=22(人)

第 7 题超纲,学生没学过比



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