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《2014届数学一轮高考核动力》(新课标)高考数学(文)一轮强化突破训练(25)


一、选择题 1.设 a=(1,-2),b=(-3,4 ),c=(3,2) ,则(a+2b)·c=( A.(-15,12) C.-3 【答案】C 【解析】∵a=(1,-2),b=(-3,4),∴a+2b=(-5,6). (a+2b)·c=(-5,6)·(3,2) =3×(-5)+2×6=-3. B.0 D.-11 )

?1 1? 2.设向量 a=(1,0),b

=? , ?,则下列结论中正确的是( ?2 2?
A.|a|=|b| C.a-b 与 b 垂直 【答案】C 【解析】由题知|a| = 1 +0 =1, |b|=
2 2

)

B.a·b= D.a∥b

2 2

?1?2+?1?2= 2, ?2? ?2? 2 ? ? ? ?
1 2 1 2 1 2

a·b=1× +0× = ,
1 1 2 (a-b) ·b=a·b-|b| = - =0, 2 2 故 a-b 与 b 垂直. 故选择 C. 3.已知向量 a=(cos α ,sin α ),b=(cos β ,sin β ),则( A.a⊥b C.(a+b)⊥(a-b) 【答案】C 【解析】∵a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ ), ∴a+b=(cosα +cosβ ,sinα +sinβ ), B.a∥b D.<a,b>=α +β
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

)

a-b=(cosα -cosβ ,sinα -sinβ ),
∴(a+b)·(a- b)=(cos α -cos β )+(sin α -sin β )=1-1=0, 即(a+b)⊥(a-b),故选择 C. 4. a, 为非零向量,且 a⊥b,|a|≠|b|, 若 b 则函数 f(x)=(xa+b)·(xb-a)是( A.一次函数且是奇函数 B.一次函数但不是奇函数 C.二次函数且是偶函数 D.二次函数但不是偶函数 【答案】A 【解析】∵a⊥b,∴a·b=0. ∴f(x)=(xa+b)·(xb-a) )
2 2 2 2

=x ·a·b+(|b| -|a| )x-a·b =(|b| -|a| )·x. 又∵|b|≠|a|, ∴f(x)为一次函数,且是奇函数. 故选择 A. 5.若两个向量 a 与 b 的夹角为 θ ,则称向量“a×b”为 a 与 b 的“向量积”,其长度 为|a×b|=|a|·|b|·sin θ ,已知|a|=5,|b|=1,a·b=-4,则|a×b|=( A.2 C.4 【答案】B 【解析】由已知|a|=5,|b|=1,a·b=-4, 4 3 可得 cos θ =- ,所以 sin θ = , 5 5 3 所以|a×b|=|a|·|b|·sin θ =5× =3. 5 故选择 B. 二、填空题 6.关于平面向量 a,b,c,有下列三个命题: ①若 a·b=a·c,则 b=c. ②若 a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则 k=-3. ③非零向量 a 和 b 满足|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为 60°.其中真命题的 序号为 .(写出所有真命题的序号) 【答案】② 【解析】①a·b=a·c,有|a||b|cos<a,b>=|a||c|cos<a,c>, 得不到 b=c,错误. ②a=(1,k),b=(-2,6), ∵a∥b,∴b=λ a,得 k=-3,正确. ③设|a|=|b|=|a-b|=m(m>0), 则有 (a-b) =a -2a·b+b =m , ∴2a·b=m .
2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

)

B.3 D.5
[来源:Zxxk.Com]

m2 3m2 a(a+b)=a2+a·b=m2+ = ,
2 2 (a+b) =a +2a·b+b =m +m +m =3m ,
2 2 2 2 2 2 2

m2 2 a·? a+b? 3 ∴cos<a,a+b>= = = . |a||a+b| m· 3m 2
∴<a,a+b>=30°,∴③错误. 2π 7.已知 e1,e2 是夹角为 的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2.若 a·b=0,则 3 实数 k 的值为 .

3

5 【答案】 4 【解析】a·b=(e1-2e2)·(ke1+e2) =ke1 +(1-2k)e1·e2-2e2 =k-2+(1-2k)cos
2 2

2π 5 =2k- , 3 2

5 5 ∵a·b=0,∴2k- =0,即 k= . 2 4 → → → → → → 8.在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设BC=2BD,CA= 3CE,则AD·BE= 1 【答案】- 4 → → 【解析】由题意画出图形如图所示,取一组基底{AB,AC},结合图形可得 .

→ →

AD= (AB+AC), BE=AE-AB= AC-AB,
→ → 1 → → ?2→ →? ∴AD·BE= (AB+AC)·? AC-AB? 2 ?3 ? 1→2 1→2 1→ → = AC - AB - AB·AC 3 2 6 1 1 1 1 = - - cos 60°=- . 3 2 6 4 三、解答题
[来源:学.科.网]

1 → 2



→ →

2→ → 3

9.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; → → → (2)设实数 t 满足(AB-tOC)·OC=0,求 t 的值. → → 【解析】(1)由题设AB=(3,5),AC=(-1,1),则 →

AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4).
→ → → → 所以|AB+AC|=2 10,|AB-AC|=4 2.
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]







故所求的两条对角线长分别为 4 2,2 10. → → → (2)由题设知OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t), → → → 由(AB-tOC)·OC=0,得 (3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,

从而 5t=-11,所以 t=-

11 . 5

10.(1)已知 a,b 都是非零向量,且 a+3b 与 7a-5b 垂直,a-4b 与 7 a-2b 垂直,求

a 与 b 的夹角.
π (2)已知|a|= 3,|b|=2,且 a 与 b 的夹角为 ,求 a +2b 与 a-b 的夹角 θ 的余弦 6 值. 【解析】(1)由题设可得:
?? ? ? ? ??

a+3b? ·? 7a-5b? =0 a-4b? ·? 7a-2b? =0
2 2

?7a +16a·b-15b =0 ? 即? 2 2 ? ?7a -30a·b+8b =0

二式相减得 46a·b-23b =0, 即 2a·b=b 代入二 式中任一个均可,得 a =b . 设 a 与 b 的夹角为 θ ,则 1 2 b 2 a·b 1 cos θ = = 2= . |a|×|b| |b| 2 ∵0°≤θ ≤180°,即 a 与 b 夹角为 60°. (2)由已知可得: π 3 = 3×2× =3, 6 2
2 2 2 2 2

2

a·b=|a|·|b|cos

∴(a+2b)·(a-b)=a +a·b-2b =( 3) +3-2×2 =-2. |a+2b|= ?
2 2 2

a+2b?
2

2

= a +4a·b+4b = ? 3?
2

+4×3+4×2 = 31.

2

|a-b|= ?
2

a-b?
2

2

= a -2a·b+b = ? 3?
2

-2×3+2 = 1=1.

2

? a+2b? ·? a-b? ∴cos θ = |a+2b|·|a-b| = =- 31×1 -2 2 31 . 31

11.(2010 福建卷·文)设平面向量 am=(m,1),bn=(2,n),其中 m,n∈{1,2,3,4}. (1)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果; (2)若“使得 am⊥(am-bn)成立的(m,n)”为事件 A,求事件 A 发生的概率. 【解析】(1)有序数组(m,n)的所有可能结果为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1 ), (2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共

16 个. (2)由 am⊥(am-bn)得

m2-2m+1-n=0,即 n=(m-1)2.
由于 m,n∈{1,2,1,4}, 故事件 A 包含的基本事件为(2,1)和(3,4),共 2 个. 又基本事件的总数为 16, 2 1 故所求的概率为 P(A)= = . 16 8 → → → → → → 12.已知两点 M(-1,0),N(1,0)且点 P 使MP·MN,PM·PN,NM·NP成公差小于零的等 差数列.
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

(1)点 P 的轨迹是什么曲线? → → (2)若点 P 坐标为(x0,y0),记 θ 为PM与PN的夹角,求 tanθ . → → → → 【解析】(1)设 P(x,y),则MP=(x+1,y),MN=(2,0),PM=(-x-1,-y) ,PN=(1 → → -x,-y),NM=(-2,0),NP=(x-1,y). → → → → → → 由题意得:2PM·PN=MP·MN+NM·NP, 即 2[(-x-1)(1-x)+y ]=(x+1)×2+(-2)·(x-1), ∴x +y =3 且 x>0, 故轨迹是以原点为圆心, 3为半径的右半圆. → → 2 2 (2)∵PM·PN=x0 -1+y0 =2, → → 2 |PM|·|PN|=2 4-x0 , ∴cosθ = 1 = . 2 → → 4-x0 |PM|·|PN|
2 2 2

PM·PN

→ →

1 又 0<x0≤ 3,∴ <cosθ ≤1. 2

? π? 又 θ ∈[0,π ],∴θ ∈?0, ?, 3? ?
∴tanθ ∈[0, 3),即 tanθ =|y0|.


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