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高中数学竞赛讲座 25绝对值与二次根式


竞赛讲座 25 -绝对值与二次根式
1. 绝对值 例1 (1986 年扬州初一竞赛题)设 T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|,其中 0<p<15.对 于满足 p≤x≤15 的 x 的来说,T 的最小值是多少? 解由已知条件可得 T=(x-p)+(15-x)+(p+15-x)=30-x. ∵当 p≤x≤15 时,上式中在 x 取最大值时 T 最小;当 x=15

时,T=30-15=15,故 T 的最小值是 15. 例2 若两数绝对值之和等于绝对值之积, 且这两数都不等于 0.试证这两个数都 不在-1 与-之间. 证 设两数为 a、b,则|a|+|b|=|a||b|. ∴|b|=|a||b|-|a|=|a|(|b|-1). ∵ab≠0,∴|a|>0,|b|>0. ∴|b|-1=>0,∴|b|>1. 同理可证|a|>1. ∴a、b 都不在-1 与 1 之间. 例3 设 a、b 是实数,证明 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|. 证明 当|a|-|b|≤0 时,|a|-|b|≤|a+b|成立. 当|a|-|b|>0 时,由于 (|a|-|b|)2-|a+b|2 =(a2+b2-2|ab|)-(a2+b2+2ab) =-2(|ab|-ab)≤0, ∴|a|-|b|≤|a+b|. 同理可证|a+b|≤|a|+|b|. 2. 根式 在根式进行化简、求值和证明的过程中,常采用配方法、乘方法、比较系数法、设 参法、公式法等等,现举例如下: (1) 配方法:将二次根号内的式子配成完全平方式,将三次根号下的式子配成 完全立方式. 例4 (1981 年宁波初中竞赛题)设的整数部分为 x,小数部分为 y,试求的值. 解 =4-=2+(2-), 故 x=2,y=2-, ∴x+y+ =4-+2+=6. 例5 化简 解 原式= =|x+3|+|x-1|-|x-2|. 令 x+3=0,x-1=0,x-2=0.得 x=-3,x=1,x=2,这些点把数轴划分成四个部分: 当 x<-3 时

原式=-(x+3)-(x-1)+(x-2)=-x-4; 当-3≤x<1 时, 原式=(x+3)-(x-1)+(x-2)=x+2; 当 1≤x≤2 时, 原式=(x+3)+(x-1)+(x-2)=3x; 当 x>2 时, 原式=(x+3)+(x-1)-(x-2)=x+4. 说明:将根号下含字母的式子化为带绝对值的式子来讨论,是解这类问题的一般技 巧. 例6 化简(a>>0). 解 原式= = = ∵a>>0. ∴a2>2b2, ∴原式= 例7 求证: 证明:∵ = ∴原式=4. (2)乘方法:由于乘方与开方互为逆运算,顺理成章地可以用乘方的方法去根号 例8 已知求证: (x+y+z)3=27xyz. 证明:∵ ∴ 两边立方 x+y+ 即 再边再立方得(x+y+z)3=27xyz. 例9 已知 求证 证明 设则 即 同理可设则 ∴A+B= = = 由 A+B=a, 得

∴ (2) 比较系数法 例 10 求满足条件的自然数 a、x、y. 解 将等式两边平方得 ∵x、y、a 都是自然数. ∴只能是无理数,否则与等式左边是无理数相矛盾. ∴x+y=a,xy=6. 由条件可知 x>y 且 x、y 是自然数. 当 x=6 时,y=1,得 a=7. 当 x=3 时,y=2,得 a=5. 故 x=6,y=1,a=7. 或 x=3,y=2,a=5. 例 11 化简 分析 被开方式展开后得 13+2,含有三个不同的根式,且系数都是 2,可看成是将平方 得来的. 解 设 =, 两边平方得 13+2 =x+y+z+2 比较系数,得 ①②③④ 由②有,代入③,得代入④,得 y2=52,∴y=5(x、y、z 非负) , ∴=1, ∴原式=1+ (4)设参法 例 12 (1986 年数理化接力赛题) 设(a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn 都是正数).求证: = 证明 设 且 a1=b1k,a2=b2k,…,an=bnk. 左边= = 右边= · = ∴左边=右边 (5)公式法、代数变换及其他 例 13 已知 x=求 x3+12x 的值. 解 由公式(a-b)3=a3-b3-3ab(a-b)可得

· =8-3 =8-12x. ∴x3+12x=8. 例 14 设 求 x4+y4+(x+y)4. 解 由条件知 ∴x+y=5,xy=1. ∴原式=(x2+y2)2-2x2y2+(x+y)4 =[(x+y)2-2xy]2-2x2y2+(x+y)4 =(25-2)2-2+54 =1152. 例 15 (1978 年罗马尼亚竞赛题)对于 a∈R,确定的所有可能的值. 解 记 y=. ① 先假定 a≥0,这时 y≥0,把①两边平方得 ② 即 ③ 再平方,整理后得 ④ 从而 ≥0. 由②知 y2<2a2+2-2=2. 再由⑤知 y2≤1,∴0≤y<1. 反过来,对于[0,1]中的每一个 y 值,由⑤可以定出 a,并且这时 2a2+2-y2>0,故可由 ⑤逆推出②和①,因而在 a≥0 时,的值域为(0,1). 同样在 a<0 时,的值域为(-1,0) ,综上的值域是(-1,1). 练习十七 1. 选择题 (1)若实数 x 满足方程|1-x|=1+|x|,那么等于( ). (A)x-1(B)1-x(C)± (x-1) (D)1(E)-1 (2)方程 x|x|-5|x|+6=0 的最大根和最小根的积为( ). (A)-6 (B)3 (C)-3 (D)6 (E)-18 (3)已知最简根式与是同类根式,则满足条件的 a、b 的值( ). (A) 不存在 (B)有一组 (C)有二组 (D)多于二组 2. 空题 (1) 已知|x-8y|+(4y-1)2+则 x+y+z=_________. (2) 若 a>b>c>0,l1=乘积中最小的一个是__________. (3) 已知 0<x<1,化简 (4) 已知则 (5) ( 北 京 市 1989 年 高 一 数 学 竞 赛 题 ) 设 x 是 实 数 , 且 f ( x ) =|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则 f(x)的最小值等于__________. 3.化简(a>0). 4.已知 ab<0,a2+b2=a2b2,化简

5.如果 x>0,y>0,且试求的值. 6. (第 8 届美国教学邀请赛试题) 求的值. 7.求适合下列各式的 x、y; (1)若 x、y 为有理数,且 (2)若 x、y 为整数, 8.已知求证 a2+b2=1. 9.已知 A=求证 11<A3-B3<12<A3+B3<13. 10. (1985 年武汉初二数学竞赛题)已知其中 a、b 都是正数. (1) 当 b 取什么样的值时,的值恰好为 b? (2) 当 b 取什么样的值时,的值恰好为? 练习十七 1.略 2. (1)3 (2)l (3)2x (4)a2-2 (5)6. 3.当时,y=a,当x>2a2时,y= 4.∵ab<0,∴|ab|=-ab,若a>0>b,原式=-ab;若a<0 <b,原式=ab. 5.原式=2. 6.原式=828. 7. (1) (2)x=22,y=2;x=-22,y=-2. 8 . 由 条 件 知 两 边 平 方 后 整 理 得 再 平 方 得 1-2b2-2a2+b4+2a2b2+a4=0 即 1-2(a2+b2)+(a2+b2)2=0,[1-(a2+b2)]2=0,∴a2+b2=1. 9.∵A2+B2=6,AB=2,∴(A+B)2=1,A+B=,A-B=,∴A3-B3=(A-B)+3AB(A-B)=

8.当 b≥0 时,原式值为 b, 当 0<b<1 时,原式值为


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