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广州市中学数学青年教师解题比赛区初赛试卷(高中)参考答案


2010 学年广州市高中数学青年教师解题比赛 海珠区初赛试卷参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 D 5 D 6 C 7 A 8 D 9 C 10 D

二、填空题:本大题共 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分

11.0 12.3 13.

2 2

14. 0 ? a ? 1 或 a ?

4 3

13.解:由题意,设 P? ? ?

? a2 ? 1 2ab , y 0 ? ,则 S ?PF1F2 ? cy 0 ? PF1 ? PF2 ? 2ab ,即 y 0 ? . ? 2 c ? c ?

由 OP

2

?

a 4 4a 2 b 2 ? ? c 2 及 a 2 ? b 2 ? c 2 , 可得 a 2 ? b 2 ? 3a 2 , ? b 2 ? 2a 2 . 2 2 c c

?

a2 1 a 2 . ? ,? ? 2 2 b 2 b

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 解:(1) f ?x ? ?

3 3 ?1 ? cos2?x? ? 1 ? cos2??x ? ? ? ? 3 sin ?x ? ? ? 2 2 12 ? 2 ?

3 3 ?? ? ? sin 2?x ? cos2?x ? cos? 2?x ? ? ? 1 2 2 6? ?

?? ? ? 2 sin ? 2?x ? ? ? 1 3? ?
? T ? ? , ? ? 0,? T ? 2? ? ? ,? ? 1 2?

?? ? ? f ?x ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 3? ?
故递增区间为 ?k? ?

? ?

?
12

, k? ?

5? ? k ?Z 12 ? ?
1

(2) f ? A? ? 2 sin? 2 A ?

? ?

??

? ?1 ? 1 3?

?? ? ? sin ? 2 A ? ? ? 0 3? ?
??

?
3

? 2A ?

?
3

?

? 2A ?
即A ?

?
3

5? 3

? 0或2A ?
或A ?

?
3

??

?

6

2? 3

又 a ? b,? A ? B, 故 A ?

2? ? 舍去,? A ? . 3 6



a b ? 3? 2 ? 得 sin B ? , ,?B ? 或B ? sin A sin B 4 4 2

若B ?

?

4 3? ? 若B ? ,则 C ? . 4 12
16.(本小题满分 12 分) 解(1)设 A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数” ,则 A 表示 “甲、乙的演出序号 均为偶数”.由等可能性事件的概率计算公式得

,则 C ?

7? . 12

C32 6 P? A? ? 1 ? P A ? 1 ? 2 ? . C7 7
(2) ? 的可能取值为 0,1,2,3,4,5 ,

??

P?? ? 0? ? P?? ? 3? ?

6 2 5 5 4 4 ? , P?? ? 1? ? 2 ? , P?? ? 2? ? 2 ? , 2 C7 7 C7 21 C 7 21 3 3 ? , 2 C7 21 P?? ? 4? ? 1 1 2 2 ? , P?? ? 5? ? 2 ? . 2 C7 21 C 7 21

从而 ? 的分布列为

?
P

0
2 7

1
5 21

2
4 21

3
3 21

4
2 21

5
1 21

2

所以, E? ? 0 ?

2 5 4 3 2 1 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? . 7 21 21 21 21 21 3

17. (本小题满分 14 分) 解法一:(1)在平面 OAB 内作 ON ? OA 交 AB 于 N ,连接 NC . 又 OA ? OC , ?OA ? 平面ONC

? N C? 平面 O N C ,
?O A ? N。 C

取 Q 为 AN 的中点,则 PQ// NC

? P Q? O A
在等腰 ?AOB 中, ?AOB ? 120 ,
?

??OAB ? ?OBA ? 30?
? 在 Rt?AON 中, ?OAN ? 30 , ? ON ?

1 AN ? AQ 2

在 ?ONB 中, ?NOB ? 120 ? 90 ? 30 ? ?NBO ,
? ? ?

?N B ? O N? A Q .

?

AB ?3 AQ

(2)连接 PNPO , 由 OC ? OA , OC ? OB 知: OC ? 平面OAB . 又 ON ? 平面OAB , ? OC ? ON 又由 ON ? OA , ON ? 平面AOC . 又? AC ? 平面AO C,? ON ? AC 又? P 是 AC 的中点, OA ? OC

? AC ? O P, O P? O N ? O ,
? AC ? 平面PO N, PN ? 平面PO N,
? AC ? PN ??O P N为二面角 O ? AC ? B 的平面角

3

在等腰 Rt?COA 中, OC ? OA ? 1 ,? OP ?

2 2

在 Rt?AON 中, ON ? OA tan 30 ?
?

3 , 3 30 . 6

? 在 Rt?PON 中, PN ? OP 2 ? ON 2 ?
2 2 ? 15 5 30 6

PO ? cos ?OPN ? ? PN

解法二:在平面 AOB 中,过点 O ,作 ON ? OA 交 AB 于 N ,取 O 为坐标原点,分别以

OA ,ON , OC 所在的直线为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空
间直角坐标系 O ? xyz (如图所示)

则 A(1, 0, 0), C (0, 0,1), B(? ,

1 3 , 0) 2 2
N

1 1 ? P 为 AC 中点,? P ( , 0, ) 2 2
设 AQ ? ? AB(? ? (0,1)), ? AB ? (? ,

??? ?

??? ?

??? ?

3 3 , 0) . 2 2

???? ??? ???? ? 3 3 3 3 ? OQ ? OA ? AQ ? (1, 0, 0) ? ? (? , , 0) ? (1 ? ? , ? , 0), 2 2 2 2

??? ???? ??? ? ? 1 3 3 1 ? PQ ? OQ ? OP ? ( ? ? , ? , ? ). 2 2 2 2
1 3 1 ? PQ ? OA, ? PQ ? O A ? 0 即 ? ? ? 0 , ? ? . 2 2 3
所以存在点 Q( ,

AB 1 3 ? 3. , 0) 使得 PQ ? OA 且 AQ 2 6

(2)记平面 ABC 的法向量为 n ? (n1 , n2 , n3 ) ,则由 n ? CA , n ? AB ,且 CA ? (1,0, ?1) ,

??? ?

??? ?

??? ?

?n1 ? n3 ? 0 ? 得? 3 , 故可取 n ? (1, 3,1) 3 n3 ? 0 ?? n2 ? ? 2 2
4

又平面 OAC 的法向量为 e ? (0,1, 0) .

? cos ? n, e ?

(1, 3,1) ? (0,1,0) 3 . ? 5 ?1 5
15 5

二面角 O ? AC ? B 的平面角是锐角,记为 ? ,则 cos ? ?

18.( 本小题 14 分) 解:(1)当 n ? 1 时, b1 ?
1 1 ; 当 n ? 2 时, b2 ? . 38 39

(2)当 1 ? n ? 25 时, a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an ? 1 .

? bn ?

an 1 1 . ? ? 38 ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 38 ? n ? 1 37 ? n

当 26 ? n ? 60 时,

an bn ? ? 38 ? a1 ? ? a25 ? a26 ? ? ? a n?1
? 1 ? 37 ? n , ? ? 第 n 天的利润率 bn ? ? 2n ? 2 ? n ? n ? 2500 ?
(3) 当 1 ? n ? 25 时, bn ? 当 26 ? n ? 60 时,

n 2n 25 , ? 2 ?n ? 26??n ? 25? n ? n ? 2500 63 ? 50
1 ? n ? 25 n ? N ?

?

? ?

26 ? n ? 60 n ? N ?

?

1 1 是递减数列,此时 bn 的最大值为 b1 ? ; 37 ? n 38

bn ?

2n ? n ? n ? 2500
2

2 2 2 2500 ? ? , 即 n ? 50 (当且仅当 n ? 2500 n 2 2500 ? 1 99 n? ?1 n

时, ? ”成立). “ 又?

1 2 1 ? ,? n ? 1 时, ?bn ?max ? . 38 99 38 1 . 38

所以,该商店经销此商品期间,第 1 天的利润率最大,且该天的利润率为

19.(本小题满分 14 分) 解 :(1) 方 法 一 ) 设 F1 ?? c,0?, F2 ?c,0?, 四 边 形 B1 F2 B2 F1 的 面 积 为 cb , 四 边 形

5

A1 B1 A2 B2 的面积为 ab .由题意 ab =2 cb ,? a ? 2c ,?
1 为 . 2
方法二)

c 1 ? . 所以椭圆 C 的离心率 a 2

(2)? B2 F2 ? OF2 ? OB2 ? c 2 ? b 2 ,? B2 F2 ? a ,? cos ?OF2 B2 ?
2 2 2

c 1 ? , a 2

? ?OF2 B2 ? 600.
? sin 600 ? OB2 3 b a. ? , ?b ? 2 B2 F2 a

? 3 ? 3 2 3 ? ? A2 ?a,0?, B2 ? 0, ? 2 a ?, 可得直线 A2 B2 的斜率为 ? 2 ,其垂直平分线的斜率为 3 . ? ? ? a 3a ? ? A2、B2 的中点坐标为 ? , ?2 4 ?, ? ?

? 直线 A2 B2 的垂直平分线的方程为 y ?

3a 2 3 ? a? ? ?x ? ?, 4 3 ? 2?

即y?

2 3 3a 。 x? 3 12
y

? 2 3 3a x? ?y ? 联立 ? 3 12 ,解得 ?y ? 0 ?
1 ? ?x ? a 8 . ? ?y ? 0 ?
?a ? ? ⊙ M 的圆心坐标为 M ? ,0 ? , ?8 ?

x

⊙ M 的半径为 MA2 ? a ?

a 7a . ? 8 8

? 3a ? ? , F2 ?c,0? , 直 线 B1 F2 的 方 程 为 点 B1、F2 的 坐 标 分 别 为 B1 ? 0,? ? 2 ? ? ?

2 3x ? 2 y ? 3a ? 0 .

6

?a ? ? 点 M ? ,0 ? 到直线 B1 F2 的距离为 ?8 ?

2 3?

?2 3 ?

a ? 2 ? 0 ? 3a 8
2

? ?? 2?

?

2

3 3a . 16

? 3 3a ? ? 13 ? 2 ? 7a ? 2 ? ?? ? 16 ? ? ? 8 ? ? ? 8 ? ,解得, a ? 2 . ? ? ? ? ? ?
7 ?1 ? ? ⊙ M 的圆心坐标为 M ? ,0 ? ,半径为 . 4 ?4 ?

2

1? 49 ? . ? ⊙ M 的方程为 ? x ? ? ? y 2 ? 4? 16 ?
20. (本小题满分 14 分) 解:(1) a ? 1, f ?x? ? x ? 1 ? ln x 当 x ? 1 时, f ?x ? ? x ? 1 ? ln x, f ' ?x ? ? 1 ?
1 x ?1 ? ? 0. x x

2

? f ?x ? 在区间 ?1,??? 上是递增的.
当 0 ? x ? 1 时, f ?x ? ? x ? 1 ? ln x, f ' ?x ? ? ?1 ?
1 ? 0. x

? f ?x ? 在区间 ?0,1? 上是递减的.
故 a ? 1 时, f ?x ? 的增区间为 ?1,??? ,减区间为 ?0,1? , f ?x?min ? f ?1? ? 0 .
(2)若 a ? 1 ,当 x ? a 时, f ?x ? ? x ? a ? ln x, f ' ? x ? ? 1 ? 则 f ?x ? 在区间 ?a,??? 上是递增的; 当 0 ? x ? a 时, f ?x ? ? a ? x ? ln x , f ' ? x ? ? ?1 ?

1 x ?1 ? ? 0. x x

1 ? 0. x

? f ?x ? 在区间 ?0, a ? 上是递减的.
若 0 ? a ? 1 ,当 x ? a 时, f ?x ? ? x ? a ? ln x,
f ' ?x ? ? 1 ? 1 x ?1 ? , x ? 1, f ' ?x ? ? 0, a ? x ? 1, f ' ?x ? ? 0 x x

则 f ?x ? 在区间 ?1,??? 上是递增的, f ?x ? 在区间 ?a,1? 上是递减的; 当 0 ? x ? a 时, f ?x ? ? a ? x ? ln x , f ' ? x ? ? ?1 ?

1 ? 0. x

7

? f ?x ? 在区间 ?0, a ? 上是递减的,而 f ?x ? 在 x ? a 处有意义;
则 f ?x ? 在区间 ?1,??? 上是递增的,在区间 ?0,1? 上是递减的.
综上: 当 a ? 1 时, f ?x ? 的递增区间是 ?a,??? ,递减区间是 ?0, a ? ; 当 0 ? a ? 1 , f ?x ? 的递增区间是 ?1,??? ,递减区间是 ?0,1? .

(3)由(1)可知,当 a ? 1, x ? 1 时,有 x ? 1 ? ln x ? 0, 即

ln x 1 ? 1? x x

?

ln 2 2 ln 32 ln n 2 1 1 1 1 1 ? ? 1 ? 2 ? ?? 2 ? 1? 2 ?1? 2 ? ??1? 2 ? n ?1? ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 2 2 3 n 2 3 n 3 n ? ?2

? 1 1 1 ? 1 1 ? ?1 1 1 1 ? n ?1? ? ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n?n ? 1? ? ? n ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ? 1 ? ? ? ? ? ?
1 ? ?n ? 1??2n ? 1? ?1 = n ?1? ? ? . ?? 2?n ? 1? ? 2 n ? 1?

8


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