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天津市十二区县重点高中2016届高三数学毕业班第一次联考试题 文


2016 年天津市十二区县 重点高中高三毕业班联考(一) 数 学(文)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 祝各位考生考试顺利! 第 I 卷(选择题,共 40 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2.选出答案后,用铅笔把答题卡上对应的题目的

答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后, 再填涂其它答案,不能答在试卷上。 参考公式:
? 锥体的体积公式 V

1 ? Sh . 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高. 3

一、选择题(本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 个是正确的) 1.设全集 U ? ?x ? N | x ? 6? , A ? ?1,3,5?, B ? ?4,5,6? ,则 ? CU A? ? B 等于 ( A. ?4,6? B. ?5? C. ?1,3? D. ?0, 2? ) D.既不充分也不必要条件 )

2 2 2. 设 a, b ? R ,则“ a ? b ”是“ a ? b ”的(

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 3. 函数 f ( x) ? e ?
x

1 ? 2 的零点所在的一个区间是( x
C. (1,2) D. (2,3)



A. (?1,0)

B. (0,1)

4. 有 3 个活动小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位 同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学在同一个兴趣小组 的概率为( ) A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

5. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输出的 S 为 则判断框中填写的内容可以是( ) A. n ? 6 B. n ? 6 C. n ? 6

25 , 24

D. n ? 8

1

? ( x? ? ) ( x? R ,A? 6. 函 数 f ( x) ? A s i n
部分图象如图所示,则 f ( ) 等于 (

? ? 0, ? ? 0, ? 的 )
2

?

4



A.1

B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2

7. 已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点到双曲线 该双曲线的离心率为( A. ) C.

1 x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线的距离为 , 则 2 2 a b

5 2

B. 2

2 3 3

D. 5 ? 1

8. 已知函数 f ( x) ? ?

2 ? ? x ? 2 x ? 2, x ? 0 ,若 f ( x) ? ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ( x ? 1 ? 1, x ? 0 ? ?

)

A. 2 - 2 2, 1

?

?

B.(-∞,1]

C.(2 - 2 2, 0)

D. 2 - 2 2, 0

?

?

第Ⅱ卷 (非选择题,共 110 分) 二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9. 复数

2?i ? 1 ? 2i



10. 若一个球的体积是

256? ,则该球的内接正方体的表面积是 3



11. 在等比数列 {an } 中, 3a1 ,

a ? a10 1 a5 ,2a3 成等 差 数列,则 9 ? 2 a 7 ? a8



12. 如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长 BC 到 D 使 BC ? CD ,过 C 作圆 O 的切 线交 AD 于 E .若 AB ? 8 , DC ? 4 ,则 AE ? . 13. 已知圆 C : x ? ( y ? 2) ? 4 ,直线 l1 : y ? x , l2 : y ? kx ? 1
2 2

若 l1 , l2 被圆 C 所截得的弦的长度 之比为 2 :1,则 k 的值为

.

14. 在 直 角 梯 形 中 ABC D 中 , 已 知 AB // CD , AB ? 3 , BC ? 2 ,

??? ? ??? ? ?ABC ? 600 ,动点 E , F 分别在线段 BC 和 CD 上,且 BE ? ? BC ,
???? ???? ??? ? ??? ? DC ? 2? DF ,则 AE ? AF 的最小值为
. 2

三.解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , A 为钝角, sinBcosC ? cosBsinC ? (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 2 7 且 b ? c , ?ABC 的面积为 2 3 ,求边 b 和 c .

3 . 2

16. (本小题满分 13 分) 福州市某家电超市为了使每天销售空调和冰箱获得的总利润达到最大,对某天即将出售的空调和 冰箱进行了相关调查,得出下表: 每台空调或冰箱所需资金 (百元) 资金 空调 冰箱 进货成本 30 10 工人工资 5 10 每台利润 2 3

每天资金最多供应量 (百元) 90 40

问:该商场如果根据调查得来的数据,应该怎样确定每天空调和冰箱的供应量,才能使商场获得 的总利润最大?总利润的最大值为多少元? 17.(本小题满分 13 分) 如图所示,四边形 ABCD 为直角梯形, AB // CD , AB ? BC , ?ABE 为等边三角形,且平面

ABCD ? 平面ABE , CD ? BC ?
(Ⅰ)求证: AB ? DE ;

1 AB ? 1,点 P 为 CE 中点. 2

(Ⅱ)求 DE 与平面 ABCD 所成角的大小; (III)求三棱锥 D ? ABP 的体积.

18. (本小题满分 13 分) 3

已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,点 ? n, 且 Tn ? 2bn ? 3 , n ? N ? . (Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ?

? ?

Sn ? ? 在直线 y ? 2 x ? 2 上,数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn , n?

1 1 ,数列 ?cn ?的前 n 项和为 An ,求证: An ? ; 3 ? an ?? an ? ? ? 1?? ? 1? ? 2 ?? 2 ?

19. (本小题满分 14 分) 椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , A,B 是椭圆与 x 轴的两个交点, M 为椭圆 C 的上顶点,设 a2 b2
2 . 3

直线 MA 的斜率为 k1 ,直线 MB 的斜率为 k 2 , k1k 2 ? ? (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率;

(Ⅱ)设直线 l 与轴交于点 D(? 3,0) ,交椭圆于 P 、 Q 两点,且满足 DP ? 3QD ,当 ?OPQ 的面积最大时,求椭圆 C 的方程. 20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ?x ? ? ln x

a 在 x ? 2 处的切线与直线 x ? 4 y ? 0 平行,求 a 的值; x 2?x ? 1? (Ⅱ)求证:函数 ? ? x ? ? f ? x ? ? 在 (0, ??) 上为单调增函数; x ?1
(Ⅰ)若曲线 g ? x ? ? f ? x ? ? (III) 若斜率为 k 的直线与 y ? f ( x) 的图像交于 A 、B 两点, 点 M ?x0 , y0 ? 为线段 AB 的中点, 求证: kx0 ? 1.

4

2016 年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考(一) 数学试卷(文科) 评分标准 一、选择题:本题共 8 个小 题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 A 5 D 6 B 7 C 8 A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ?i ; 10.128; 11.3; 12.6 ; 13. ? 2 ; 14.5

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15. 解: (1)? sinBcosC ? cosBsinC ?

3 3 ? sin ( B ? C ) ? 2 2

?????.2 分

? A ? B ? C ? ? ? sinA ?
又 A 为钝角

3 2

?????4 分

?????.5 分

?A?

2? 1 2? ? 2 3,? bc ? 8 .①????.8 分 .由 S ? 2 3 ,得 bc sin 3 2 3 2 2? 2 2 2 2 2 由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ,得 2 7 ? b ? c ? 2bc cos ????.10 分 3
(2)由(1) ,得 A ?

2? .????.6 分 3

?

?

2 2 即 b ? c ? bc ? 28 .∴ ? b ? c ? ? bc ? 28 .②,
2

?????.11

分 将①代入②,得 ? b ? c ? ? 8 ? 28 ,∴ b ? c ? 6 .
2

?????.12 分 ?????.13

? b ? c ? b ? 4, c ? 2


16 解:设每天调进空调和冰箱分别为 x, y 台,总利润为 z (百元)则由题意,得????.2 分

?5 x ? 10 y ? 40 ?x ? 2 y ? 8 ? ? ?30 x ? 10 y ? 90 化简得 ?3 x ? y ? 9 ?x ? N , y ? N ?x ? N , y ? N ? ?
目标函数是 z ? 2 x ? 3 y ,

y 9 3x+y=9 M(2,3) x+2y=8 o 3

????.6 分

????.9 分

x

5

把直线 l :2x+3y=0 向右上方平移至 l ? 的位置时,直线经过可行域上的点 M,此时 z=2x+3y 取最大 值 解方程 ?

?x ? 2 y ? 8 得 M 的坐标为(2,3)????.11 分 3 x ? y ? 9 ?

此时最大利润 z ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 13 百元????.12 分 答:空调和冰箱的供应量分别为 2,3 台,总利润为最大,最大为 13 百元. ????.13 分 17. (1)证明:取 AB 中点 O,连结 OD,OE ?????. 1 分 ?????.2 分 ? ?ABE 是正三角形,? AB ? OE . 1 ? 四边形 ABCD 是直角梯形, DC ? AB , AB / /CD , 2 ? 四边形 OBCD 是平行四边形, OD / / BC , 又 AB ? BC ,? AB ? OD . ?????.3 分

? OD、OE ? 平面ODE, 且OD ? OE ? O

? AB ? 平面 ODE,
? DE ? 平面ODE ? AB ? DE .

?????.4 分 ?????.5 分

(2) ? 平面 ABCD ? 平面ABE ,平面ABCD ? 平面ABE ? AB , OE ? AB , OE ? ABE ,

? OE ? 平面ABCD
? ?ODE 即为所求
在 ?ODE 中, OD ? 1, OE ? 3,?DOE ? Rt? ? tan?ODE ? 3 又? ?ODE为锐角

?????.7 分 ?????.8 分 ?????.9 分

? ?ODE = 600
(3)解:? P 为 CE 中点? VD ? ABP ? VP ? ABD ?

?????.10 分

1 VE ? ABD 2

?????.11 分

1 1 2 ?1 3 ? OE ? 平面ABCD ?VE ? ABD ? S ?ABD ? OE ? ? ? 3? 3 3 2 3 1 3 ?VD ? ABP ? VP ? ABD ? VE ? ABD ? 2 6

?????.12 分

?????.13 分

6

18.解: (Ⅰ)由题意,得 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 4

Sn ? 2n ? 2 n

S n ? 2n 2 ? 2n ①
????1 分

当 n ? 2 时, S n?1 ? 2(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) ②

an ? S n ? S n?1 ? 4n
综上, an ? 4n , n ? N ? 又 ? Tn ? 2bn ? 3 ,?当n ? 1时,b1 ? 3 ,

????2 分 ????3 分 ??? ?4 分

当n ? 2时,Tn ?1 ? 2bn ?1 ? 3 ? 0 ,两式相减,得 bn ? 2bn ?1 , (n ? 2) ????5 分
数列 ?bn ?为等比数列,? bn ? 3 ? 2n ?1 . (Ⅱ) cn ? ????6 分

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ????8 分 ? an ?? an ? ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? ? 1?? ? 1? ? 2 ?? 2 ?

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? An ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????9 分 2? 3? 2? 3 5? 2? 5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
1? 1 ? ? ?1 ? ? 2 ? 2n ? 1 ?
????10 分

? 数列 ? An ? 是递增数列, ? An 的最小值为 A1 ? ? An ?
1 3
1 3
????12 分

????11 分

?????13 分

19.解: (1) M (0, b) , A(?a, 0) , B (a, 0) ????.1 分

k1 ?

b b , k2 ? ? a a

????.2 分

b b b2 2 k1k2 ? ? ? ? ? 2 ? ? a a a 3

????.3 分

7

e?

c 3 . ? a 3

????.5 分

(2)由(1)知 e ?

c 3 ,得 a 2 ? 3c 2 , b2 ? 2c 2 , ? a 3
????.6 分

可设椭圆 C 的方程为: 2 x 2 ? 3 y 2 ? 6c 2

设直线 l 的方程为: x ? my ? 3 ,直线 l 与椭圆交于 P, Q 两点
2 2 2 ? ?2 x ? 3 y ? 6c 得 (2m2 ? 3) y 2 ? 4 3my? 6 ? 6c2 ? 0 ? ? ? x ? my ? 3

????.7 分

因为直线 l 与椭圆 C 相交,所以 ? ? 48m2 ? 4(2m2 ? 3)(6 ? 6c 2 ) ? 0 ,

6 ? 6c 2 4 3m 由韦达定理: y1 ? y2 ? , y1 y2 ? . 2m 2 ? 3 2m 2 ? 3

????.8 分

又 DP ? 3QD ,所以 y1 ? ?3 y 2 ,代入上述两式有: 6 ? 6c ? ?
2

??? ?

????

36m 2 ,????.9 分 2m 2 ? 3
????.10 分

所以 S ?OPQ ?

1 3 8 3m OD y1 ? y 2 ? | | 2 2 2m 2 ? 3

? 12

m 2 m ?3
2

? 12

1 3 2m? m

? 6,

????.11 分

2 当且仅当 m ?

3 时,等号成立, 2

????.12 分

此时 c 2 ?

5 ,????.13 分 2

代入 ? ,有 ? ? 0 成立,所以所求椭圆 C 的方程为: 20.解: (1) g ? x ? ? f ? x ? ?

2 x2 y 2 ? ? 1.????.14 分 15 5

a a 1 a = ln x ? ( x ? 0 ), g ?? x ? ? ? 2 ( x ? 0 ) ????2 分 x x x x
????3 分 8

g ??2 ? ?

1 a 1 ? ?? , 2 4 4

解得 a ? 3 (2) ? ? x ? ? f ? x ? ?

2?x ? 1? 2? x ? 1? (x ? 0) ? ln x ? x ?1 x ?1
????5 分

????4 分

? ??x ? ?

1 2?x ? 1? ? 2?x ? 1? ? x ?x ? 1?2

? ??x ? ?

?x ? 1?2 2 x?x ? 1?

?0

????6 分

2?x ? 1? 在 (0, ??) 上为单调增函数; ????7 分 x ?1 m (3)设点 A(m, ln m) , B(n, ln n) ,不妨设 m ? n ? 0 ,则 ? 1 . n m ? n ln m ? ln n ? ? 1 ????8 分 要证 kx0 ? 1,即 2 m?n m m ? 1 ln m ? n ln m ? ln n ? ? n , 即证 .只需证 n ????9 分 m m?n 2 2 ?1 n m m 2( ? 1) 2( ? 1) m m n ? 0 . ????10 分 即证 ln ? . 只需证 ln ? n m m n n ?1 ?1 n n 2( x ? 1) 设 h( x) ? ln x ? . ????11 分 x ?1 m 由(2)知 h( x) 在 ?1 , ? ? ? 上是单调增函数,又 ? 1 ,??? ?12 分 n m 2( ? 1) m m ? 0 ,????13 分 所以 h( ) ? h(1) ? 0 .即 ln ? n m n n ?1 n m ? n ln m ? ln n ? 即 . 所以不等式 kx0 ? 1成立. ????14 分 m?n 2
所以函数 f ? x ? ? ? ? x ? ?

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