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宁夏六盘山高级中学2016届高三数学第二次模拟考试试题 理(含解析)


宁夏六盘山高级中学 2016 届高三年级第二次模拟考试 理科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? ?0,1,2?,N ? ?x | x ? -a, a ? M ? ,则集合 M ? N ? ( A. ??2, ?1,0,1,0, 2?

B. ?0? C. ??2, ?1,1, 2? D. ??2, ?1,0,1, 2? )

【知识点】集合的运算 【试题解析】由题知:N={0,-1,-2}, 所以 故答案为:D 【答案】D 2.若复数 z 满足 z ? ? i ? 2? ? 5, ( i 是虚数单位) ,则 z 在复平面内所对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ) 。

【知识点】复数乘除和乘方 【试题解析】

所以 故答案为:B 【答案】B

则 在复平面内所对应的点为(-2,-1) ,位于第三象限。

3. 已知 y ? cos ?? x ? ? ? ?? ? 0, ? ??0,2? ?? 的部分图象如图所示,则 ? =( A.



3? 2

B.

? 4

C.

7? 4

D. 0

y H O 1 3 x

【知识点】三角函数的图像与性质

1

【试题解析】由图像知: 又 因为 故答案为:C 【答案】C 4.在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点, 则落入阴影外部 (曲线 C 为正态分布 N ? 0,1? 的密度曲线)的点的个数的估计值为( A.3413 B.1193 C.2718 D.6587 ) 所以令 k=1,得 = 。

附:若 X ~ N ?,? 2 ,则 P ? ? ? ? ? X ? ? ? ? ? ? 0.6826 , P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 0.9544

?

?

y
1 C

O

1

x

【知识点】正态分布几何概型 【试题解析】由题知:阴影的面积为 所以落入阴影的点的个数为: 个, 所以落入阴影外部的点的个数的估计值为:10000-3413=6587 个。 故答案为:D 【答案】D 5. 已知某几何体的正视图和俯视图如图所示,则该几何体的侧视图是( )

2

A.

B.

C.

D.

【知识点】空间几何体的三视图与直观图 【试题解析】该几何体是由正方体的 6 条面对角线构成的三棱锥。 画图知该几何体的侧视图为 B。 故答案为:B 【答案】B
? 1 ? 6. ? x 2 ? 2 ? ? 2 ? 1? 的展开式的常数项是( ?x ?
5



A.3

B.-2

C.2

D.-3

【知识点】二项式定理与性质 【试题解析】 的展开式的通项公式为:

故 故答案为:A 【答案】A

的展开式的常数项是:

7. 右图的程序框图是把 k 进制数 a(共有 n 位数)化为十进制数 b 的程序框图,在该框图 中若输入 a ? 2134
k ? 5, n ? 4 ,则输出 b 的值为(



A.290

B.294

C.266

D.274

3

【知识点】算法和程序框图 【试题解析】解法一: ,选 B 解法二: 执行上图所示程序: 开始,输入 , , , ; , , , 输出 【答案】B ,结束。选 B
5 10 ,sin ?? ? ? ? ? ? , ? , ? 均为锐角,则 cos 2? ? ( 5 10





, , , ,

,不满足条件 ,不满足条件 ,不满足条件 ,满足条件

,进入循环; ,进入循环; ,进入循环; ,跳出循环;

8. 已知 sin ? ?



4

3 B. ?1 C. 0 D. 1 2 【知识点】两角和与差的三角函数

A. ?

【试题解析】由题知:

所以

所以 故答案为:C 【答案】C 9. 已知 f ' ? x ? 是函数 f ? x ? ( x ? R且x ? 0 )的导函数,当 x ? 0 时, xf ' ? x ? ? f ? x ? ? 0 ,记
f ? 20.2 ? 2
0.2

a?

,b ?

f ? 0.22 ? 0.2
2

,c ?

f ? log 2 5? log 2 5

,则(

) D. c ? b ? a

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

C. c ? a ? b

【知识点】对数与对数函数指数与指数函数利用导数研究函数的单调性 【试题解析】令 所以函数 F(x)在(0,+ 又因为 所以 。 故答案为:C 【答案】C 单调递减。

【知识点】柱,锥,台,球的结构特征 【试题解析】因为三角形 ABC 是以 B 为直角的直角三角形,所以三角形 ABC 外接圆的圆心 M 在 AC 中点处过 M 作平面 ABC 的垂线,与 SA 的垂直平分面交于球心 O 处。 所以球 O 的表面积为: 故答案为:A 【答案】A

5

11. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 与 x 轴负半轴交于点 C,A 为椭圆第一象限上的点,直线 a 2 b2


OA 交椭圆于另一点 B, 椭圆的左焦点为 F, 若直线 AF 平分线段 BC, 则椭圆的离心率等于 (
3 1 1 B. C. 3 D. 2 2 3 【知识点】椭圆 【试题解析】设 AF 交 BC 于点 M,设右焦点为 G, 由椭圆的对称性知:A,B 关于原点对称,所以 MF//BG. 因为 M 是 BC 的中点,所以 F 是 CG 的中点,

A.

所以 a-c=2c,即 a=3c,所以 故答案为:A 【答案】A 12. 若 P ? a, b ? 在函数 y ? ? x 2 ? 3ln x 的图象上,点 Q ? c, d ? 在函数 y ? x ? 2 的图象上,则

? a ? c?
A. 2

2

? ? b ? d ? 的最小值为(
2

) D. 8

B. 2

C. 2 2

【知识点】函数综合 【试题解析】设 y=x+m 与曲线 因为 y’= 令 y’=1,则 相切于 P( ) ,

所以切线为:y=x-2. 所以两平行线 y=x-2, 之间的距离最小,为:

所以 故答案为:D 【答案】D

的最小值为:

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

y2 ? x2 ? 1 的顶点到其渐近线的距离等于__________. 4 【知识点】双曲线 【试题解析】双曲线的一个顶点为(0,2) ,一条渐近线为:y=2x.
13. 双曲线 所以顶点到其渐近线的距离为: 。

6

故答案为: 【答案】
? ? ? ? ? ? ? 14.已知向量 a 是单位向量, 向量 b = 2, 2 3 , 若 a ? 2a ? b , 则 a , b 的夹角为__________.

?

?

?

?

【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】设 所以 ,

根据题意有:

,解得:



时,

因为 故答案为: 【答案】

所以 , 的夹角为:



? x-2?0 ? 15.若实数 x, y 满足不等式组 ? y -1 ? 0 的目标函数 t ? x ? 2 y 的最大值为 2, 则实数 a 的 ?x ? 2 y - a ? 0 ?

值是_______. 【知识点】线性规划 【试题解析】作可行域:

7

因为 z 是纵截距的相反数,所以目标函数在 B( 为: 故答案为:2 【答案】2

)处取最大值,

1 16. 在 ? ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,且 a cos B ?bcos A ? c, 当 tan ? A ? B ? 取 2
最大值时,则角 C 的值为_________. 【知识点】正弦定理 【试题解析】由正弦定理得:

整理得: 两边同时除以 得:

所以

因为 所以

同号,所以 A,B 都是锐角,

所以

当且仅当



8

等号成立。所以 所以角 的值为 。

故答案为: 【答案】 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?i ? an ? c( c 为常数, n ? N * ) ,且 a1 , a2 , a5 是公比不等于 1 的等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式. (2)令 bn ?
1 1 ,设数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ,求证: Sn ? . an an ?1 2

【知识点】倒序相加,错位相减,裂项抵消求和等比数列 【试题解析】 (1)

(2)

【答案】见解析 18. (本小题满分 12 分) 2016 年 1 月 1 日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态 度,某市选取 70 后 80 后作为调查对象,随机调查了 100 位,得到数据如下表:
9

生二胎 70 后 80 后 合计 30 45 75

不生二胎 15 10 25

合计 45 55 100

(1)根据调查数据,判断是否有 90% 以上把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由: 参考数据:

P? K2 ? k ?

0.15 2.702

0.10 2.706

0.05 3.841
2

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

k

(参考公式: K 2 ?

? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ??b ? d ?

n ? ac ? bd ?

, 其中n ? a ? b ? c ? d )

(2)以这 100 人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率,若从该市 70 后公民 中(人数很多)随机抽取 3 位,记其中生二胎的人数为 X,求随机变量 X 的分布列和数学期 望. 【知识点】 随机变量的期望与方差随机变量的分布列独立重复试验某事件发生的概率统计案 例 【试题解析】 (1) 的观测值 ,

所以有 90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关” (2)由已知的该市 70 后“生二胎”的概率为 ,并且 ~

所以 其分布列如下:

【答案】见解析 19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 PAD 是 正三角形, PD ? CD ,E 为 PC 的中点.

10

(1)求证: PA// 平面 DBE ; (2)求二面角 B ? DE ? C 的余弦值.

P E D C

A

B


【知识点】利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题空间的角平行 【试题解析】 (1)证明:连结 AC 交 BD 于点 因为底面 ABCD 是正方形,所以 又因为 E 为 PC 中点,所以 所以 (2)取 AD,BC 的中点 O,M,连接 PO,OM,

是 AC 的中点.

又 以 O 为坐标原点,分别以 设 轴正方向建立空间直角坐标系.

取 PD 的中点为 F,可证得 可取平面 的一个法向量为



设平面 BDE 的一个法向量为



11



,由图知二面角 所以二面角 【答案】见解析 的余弦值为 .

是锐二面角

5 20. (本小题满分 12 分)已知抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 上一点 M ? t ,8? 到焦点 F 距离是 t . 4
(1)求抛物线 C 的方程; (2)过 F 的直线与抛物线 C 交于 A、B 两点,是否存在一个定圆恒以 AB 为直径的园内切,若 存在,求该定园的方程;若不存在,请说明理由. 【知识点】圆锥曲线综合椭圆 【试题解析】 (1)由抛物线的定义得 点 M 在抛物线 解得 ,所以抛物线方程为 , 上, ,又

(2)当直线 l 的斜率存在,设直线的方程为 l 与抛物线交于点 化简得 设 A,B 的中点为 M,则 , 假设定园存在,设定圆的方程为 联立 显然



又两圆内切可得

整理得:



定园的方程为

12

当直线斜率不存在使,以 A,B 为直径的圆的方程为 该圆也与定园 综上存在定园 【答案】见解析 内切 恒与以 A,B 为直径的圆内切

1 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax2 +x, a ? R. 2
(1)若 f ?1? ? 0, 求函数 f ? x ? 的单调递减区间; (2)若关于 x 的不等式 f ? x ? ? ax ? 1 恒成立,求整数 a 的最小值. 【知识点】导数的综合运用利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性 【试题解析】 (1)因为 此时 由 的单调递减区间为 (2)令 ,

当 又

时,



在 关于 x 的不等式

上是增函数. 不能恒成立.





令 在 上是增函数,在 . 上是增函数, 时, 整数 a 的最小值为 2. 上是减函数,

的最大值为 令 当

【答案】见解析

13

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 AB 是 ? O 的直径, AC 是 ? O 的切线, BC 交 ? O 于点 E . (1)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是 ? O 的切线; (2)若 OA ? 3CE ,求 ?ACB 的大小.

【知识点】圆相似三角形 【试题解析】 (1)解析连接 AE,由题知: 连接 OE,OD,则 因为 是圆 O 的切线,所以 DE 是圆 O 的切线。

(2)设 CE=1,AE=x,所以 AB= 由射影定理得: 解得: 所以 。

【答案】见解析 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系 中,设点 P 为曲线 C1 : ? ? 2cos? 上的任意一点,点 Q 在射线 OP 上,且满足 OP ? OQ ? 6 , 记 Q 点的轨迹为 C2 . (1)求曲线 C2 的直角坐标方程;

14

分别交 C1 与 C2 交于 A,B 两点,求 AB . 3 【知识点】极坐标方程 【试题解析】 (1) 曲线 设 若 ,则 ,所以 (2) 的直角坐标方程为: (1)

(2)直线 l : ? ?

?

又点 Q 在射线 OP 上,所以

所以

(3)

将(3)代入(2)得: 故曲线 的直角坐标方程为 ;

(2)直线



的交点 A(1,

) ,即(

) ;



的交点 B(3,



所以 【答案】见解析 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? 2x ? 1 ? 2x ? 3 . (1)求不等式 f ? x ? ? 6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ? x ? ? log2 a2 ? 3a ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【知识点】绝对值不等式 【试题解析】 (1)原不等式等价于:

?

?

解得 不等式的解集为 (2)不等式 .



15

因为

,所以

的最小值为 4.

于是 所以 【答案】见解析



16


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