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高中数学联赛预赛2013山东参考答案及评分标准


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2013 年全国高中数学联赛山东赛区预赛 参考答案及评分标准
一、填空题(本大题共 10 个小题,每小题 8 分,共 80 分) 1.函数 y ? 4 cos x ? cos 2 x ? x ? R ? 值域是 ____________________ . 【解析】令 t ? cos x ? ? ?1,1? ,则

y ? 2 ? t ? 1? ? 3 ? ? ?3,5? .
2

2 2.已知复数 z 满足 z ? 1 ,则 z ? z ? 1 的最大值是 ____________________ .

【解析】令 z ? cos? ? i sin ? ,由 z ? 1 得: z ?z ? 1 , 故 z ? z ? 1 ? z ? z ? z ?z ? z ? z ? 1 ? z ? 2 cos ? ? 1 ? 3 ,
2 2

当且仅当 cos? ? ?1 即 z ? ?1 时取等号,因此 z ? z ? 1 的最大值是 3.
2

1? 3 ? 1? 3 ? ? 3, 【法二】 z ? z ? 1 ? ? z ? ? ? ? ? z ? ? ? 2? 4 ? 2? 4 ?
2

2

2

当且仅当 z ? ?1 时取等号,故 z ? z ? 1 的最大值是 3.
2

3. AC 如图, 在⊿ABC 中, O 是 BC 的中点, 点 过点 O 的直线分别交直线 AB、 于不同的两点 M , N ,

??? ? ???? ???? ? ???? ____________________ . AB ? mAM , AC ? nAN ,则 m ? n 的值是

A

? ? 1 ??? ???? m ???? n ???? AB ? AC ? AM ? AN , 2 2 2 m n 由 M、O、N 三点共线得: ? ? 1 ,∴ m ? n ? 2 . 2 2
【解析】 AO ?

????

?

?

N B O M C

【法二】直线 MON 是⊿ABC 的割线,由梅涅劳斯定理得:

AM BO CN n ?1 ? ? ? 1,即 ? 1 ,∴ m ? n ? 2 . MB OC NA 1? m

4.如果关于 x 的不等式 x ? a ? x ? x ? 1 的解集是 R,则实数 a 的取值范围是 ____________________ . 【解析】令 x ? 0 时,有 a ? 1 即 ?1 ? a ? 1 ; 令 x ? ?1 时,有 ?1 ? a ? 1 即 0 ? a ? 2 ,故 0 ? a ??; 当 0 ? a ??时, x ? a ? max x , x ? 1 ,故 x ? a ? x ? x ? 1 总成立,

?

?

·1·

11111111111111111

因此实数 a 的取值范围是 ? 0,?? . 5.已知正数 a, b, c 满足 4a ? b ? abc ,则 a ? b ? c 的最小值是 ____________________ . 【解析】由已知得: c ?

1 4 1 4 ? ,故 a ? b ? c ? a ? b ? ? ? 6 , a b a b

当且仅当 a ? 1, b ? 2 时取等号,因此 a ? b ? c 的最小值是 6. 6.已知对 ?x ? R , log a ? sin x ? cos x ? ? ?2 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ____________________ .
2

【解析】当 a ? 1 时,有 a ?
2

1
? ?? 2sin 2 ? x ? ? ? 4?

,由于函数 2sin ? x ?
2

? ?

??

? 无上界,故不可能恒成立, 4?
2

当 0 ? a ? 1时,有 a ?
2

1
? ?? 2sin 2 ? x ? ? ? 4?

,若 a ?
2

1
? ?? 2sin 2 ? x ? ? ? 4?

恒成立,则 a ?

1 2 ,∴ 0 ? a ? , 2 2

综上,实数 a 的取值范围是 ? 0 , ?

? ?

2? ?. 2?

I1

I4 I5 I
7

7.已知 A ? B ? C ? ?a, b, c, d , e? , A ? B ? ?a, b, c? ,

I3 I6

c ? A ? B ? C ,则符合上述条件的 ? A, B, C? 共有 ____________________ 组.
【解析】如右图,集合 A ? B ? C 可分为 7 个互不相交的区域, 分别记为 I1 , I 2 , I 3 , I 4 , I 5 , I 6 , I 7 .

I2

已知 c ? I 7 ,元素 a, b 属于 I 4 、 I 7 中的某一个区域,共有 4 种可能, 元素 d , e 属于 I1 、 I 2 、 I 3 、 I 5 、 I 6 中的某一个区域,各有 5 种可能,共有 25 种可能, 因此符合条件的 ? A, B, C? 共有 100 组. 8.已知函数 f ? x ? ,对 ?x ? R ,有 f ? x ? 1006 ? ?

1 ? 2

f ? x ? ? f 2 ? x ? , f ? ?1005? ?

3 , 4

____________________ . 则 f ? 2013? ?
【解析】由已知得: f ?1? ? f ? ?1005 ? 1006 ? ?

1 ? 2

f ? ?1005? ? f 2 ? ?1005? ?

1 3 , ? 2 4

f ?1007 ? ? f ?1 ? 1006 ? ?

1 ? 2

f ?1? ? f 2 ?1? ?

3 , 4

·2·

11111111111111111

f ? 2013? ? f ?1007 ? 1006 ? ?

1 ? 2

f ?1007 ? ? f 2 ?1007 ? ?

1 3 . ? 2 4
A B

9.用五种不同颜色给三棱台 ABC ? DEF 六个顶点涂色, 要求每个点涂一种颜色,且每条棱的两个端点涂不同颜色, ____________________ 种. 则不同的涂色方法有 【解析】当六个顶点使用三种颜色涂满时, A、B、C 三点的涂色方法共有 A5 ? 60 种,
3

C D E

这时,点 D、E、F 只有两种涂色方法, 故共有 A5 ? 2 ? 120 种涂色方法;
3 4

F

当六个顶点使用四种颜色涂满时,A、B、C、D 三点的涂色方法共有 A5 ? 120 种, 这时,点 E、F 只有三种涂色方法,故共有 A5 ? 3 ? 360 种涂色方法;
4

当六个顶点使用五种颜色涂色涂完时,先用五种颜色涂不同的五点的涂色方法有 A6 ? 720 种,
5

这时,余下的那一点只有两种涂色方法,共有 A6 ? 2 ? 1440 种涂色方法;
5

综上知,满足题意的所有不同的涂色方法共有 1920 种. 10.假设实数 b, c 满足 b2 ? c2 ? 1 ,且 f ? x ? ? ax ? b sin x ? c cos x 的图像上存在两条切线垂直,则 实数 a 的取值范围是

____________________ .

【解析】由已知得: f ? x ? ? ax ? b 2 ? c 2 sin ? x ? ? ? ? ax ? sin ? x ? ? ? ,

f ' ? x ? ? a ? cos ? x ? ? ? ,其中 sin ? ? c,cos ? ? b ,
若 f ? x ? ? ax ? b sin x ? c cos x 的图像上存在两条切线垂直, 则存在实数 x1 , x2 使得: ? a ? cos ? x1 ? ? ? ? ? a ? cos ? x2 ? ? ? ? ? ?1 , (*) ? ?? ? 即 a ? a ?cos ? x1 ? ? ? ? cos ? x2 ? ? ? ? ? cos ? x1 ? ? ? cos ? x2 ? ? ? ? 1 ? 0 , ? ?
2

从而 ? ? ? cos ? x1 ? ? ? ? cos ? x2 ? ? ? ? ? 4 ? 0 ,∴ cos ? x1 ? ? ? ? cos ? x2 ? ? ? ? 2 , ? ?
2

又 cos ? x1 ? ? ? ? 1, cos ? x2 ? ? ? ? 1 ,∴ cos ? x1 ? ? ? ? cos ? x2 ? ? ? ? 2 , 故 cos ? x1 ? ? ? ? ? cos ? x2 ? ? ? , cos ? x1 ? ? ? cos ? x2 ? ? ? ? ?1 , 于是(*)式化为 a 2 ? 0 ,解得 a ? 0 ,因此实数 a 的取值范围是 ?0? .
·3·

11111111111111111

二、解答题(本大题共 4 个小题,前两个小题各 15 分,后两个小题各 20 分,共 70 分) 11. (本小题满分 15 分)如图所示, 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 已知 AD ? 1, AB ? 2, AA1 ? c , 若对角线 BD1 上存在一点 P 使得 PB1 ? PC1 , 求实数 c 的取值范围. 【解析】以点 D 为原点,分别以 DA, DC , DD1 为 x, y, z 轴的正向,建立空间直角坐标系. 则 B ?1, 2, 0 ? , B1 ?1, 2, c ? , C1 ? 0, 2, c ? , D1 ? 0, 0, c ? ,设 D1 P ? ? D1 B ? ? ? , 2? , ?c? ? , 则 PC1 ? ? ?? , 2 ? 2? , c? ? , PB1 ? ?1 ? ? , 2 ? 2? , c? ? ,
2 2 ∴ PC1 ?PB1 ? ?? ?1 ? ? ? ? ? 2 ? 2? ? ? ? c? ? ? c ? ? ? ? 9? ? 4 ? 0 , 2 2

z
D1 P B1 D C B C1

A1

y

??? ???? ???? ? ?

x
???? ?

A

???? ?

???? ?

????

???? ???? ?

?

?

由 ? ? 81 ? 16 c ? ? ? 1 ? 16c ? 0 ,解得: 0 ? c ?
2 2

?

?

1 ? 1? ,因此实数 c 的取值范围是 ? 0, ? . 4 ? 4?

12. (本小题满分 15 分)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1的 4 3

y
B A

内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点 F1 , F2 , 求该平行四边形面积的最大值. 【解析】由已知得: F1 F2 ? 2 ,如图所示, 由于四边形 ABCD 是椭圆的内接四边形, 所以原点 O 是其对称中心,且 S? ABCD ? 2S四边形ABF1F2
C F1

G O F2

x

D

? 2 S ?AF1F2 ? S ?AF1B ? 2 S ?AF1F2 ? S ?BF1F2 ? F1 F2 ? y A ? yB ? ? 2 y A ? yD ,
当直线 AD 的斜率存在时,设其方程为 y ? k ? x ? 1? , 代入椭圆方程,整理得: 3 ? 4k 由韦达定理得: xA ? xD ?

?

?

?

?

?

2

?x

2

? k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,

8k 2 4k 2 ? 12 , , xA xD ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
·4·

11111111111111111

∴ ? y A ? yD ? ? k
2

2

? xA ? xD ?

2

? k ?? xA ? xD ? ? 4 xA xD ? ? ? ?
2 2

144k 2 ? k 2 ? 1?

? 3 ? 4k ?
2

2 2



∴ S? ABCD ? 2 y A ? yD ? 2

144k 2 ? k 2 ? 1?

? 3 ? 4k 2 ?

2

? 6 1?

8k 2 ? 9

? 3 ? 4k 2 ?

? 6,

当直线 AD 的斜率不存在时,易得: A ?1, ? , D ?1, ?

? 3? ? 2?

? ?

3? ? ,∴ S? ABCD ? 2 y A ? yD ? 6 , 2?

综上知,符合条件的椭圆内接四边形面积的最大值是 6. 【法二】求出 AD ?

12 ? k 2 ? 1? 3 ? 4k 2

,再求出 AD 与 BC 间的距离 d ?

2k k 2 ?1

,亦可解出.

13. (本小题满分 20 分)已知数列 ? an ? 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 1 ? an ? n ? N *? . ⑴ 试求数列 ? an ? 的通项公式; ⑵ 设 cn ?

1 1 1 ? ,求证:列 ?cn ? 的前 n 项和 Pn ? 2n ? . 1 ? an 1 ? an ?1 5

【解析】⑴ ∵ Sn ? 1 ? an ? n ? N *? ,∴ Sn ?1 ? 1 ? an ?1 ,作差得: an ?1 ?

1 an ? n ? N *? , 2

1 1 ,故 an ? n ? n ? N *? . 2 2 1 ⑵ 由已知得:当 n ? 1 时, P ? 2 ? 2 ? ,结论成立, 1 5
又当 n ? 1 时, a1 ? 当 n ? 2 时, Pn ? ?

? 1 ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? 1 ? a1 1 ? a2 ? ? 1 ? a2 1 ? a3 ? ? 1 ? an 1 ? an ?1 ?
n ? ? 1 ? 1 2 1 ? ? ? 2? ? ? ? 2 ? 1 ? n1?1 i ? 2 ? 1 ? ai ? ? 1 ? an ?1 3 2

?

? 1 ? 1 1 1 ? 1 ?? ? ? ? ?? ? ? 1 ? a1 ? 1 ? a2 1 ? a2 ? ? 1 ? an 1 ? an

?

n n ? 4i ? 2 2n ?1 2 1 ? ? 1 ? ? ? 2? ? i ? n ?1 ? ? 2? ? 1 ? i ? ? ? ??? n ?1 ? 3 2 ?1 3 4 ?1 ? ? 2 ?1 ? i?2 ? 4 ? 1 ? i?2 ?

?

2 2 1 ? 2 2 1 ? ? 2 ? n ? 1? ? 2 ? ??? n ?1 ? ? ? 2 ? n ? 1? ? 2 ? 1 ? 2n ? ,结论也成立, 3 4 ?1 ? 2 ?1 ? 3 4 ?1 5

综上知,对 ?n ? N * , Pn ? 2n ?

1 都成立. 5
·5·

11111111111111111

14. (本小题满分 20 分)已知 n, a, b 均为正整数,且 n ? a ? b , p 是一素数, n, a, b 的 p 进制表示 分别为 n ?

? ni pi ? a ? ? ai pi ? b ? ? bi pi ,其中 0 ? ni , ai , bi ? p ? 1, i ? 0,1, 2,?, s ,用 ? x ? 表示不
i ?0 i ?0 i ?0

s

s

s

超过 x 的最大整数,用 A 表示集合 A 中元素的个数,证明: ⑴ 若n ?

?d p ?d
i i ?0 i

s

i

? 0, i ? 0,1, 2,? , s ,且对整数 j ? 0 ? j ? s ? 有 ? di p i ? ? ? p ? 1? p i ,
i? j i? j

则?

? n ? s ? ? di p i ? j ? ? ? p ? 1? p i ; j ? i? j ? p ? i? j

⑵ p?

n! , p ? ?1 a !b !
j

n! ? ? ? ?i ai ? bi ? ni , i ? 0,1, 2,? , s? . a !b !
j ?1

【证明】⑴ ∵ p ? ? p ? 1? p

? ? p ? 1? p j ?2 ? ? ? ? p ? 1? p ? p ,∴ p j ? 1 ? ? ? p ? 1? p i ,
i? j
i i j

∴ n ? pj

? d p ? ? d p ? ? p ? 1? p ? ? d p ? p
i i i? j i i? j i

p

j

?

i? j

i? j

i

p

j

?

? 1? ? ? d i p i
i? j

p

j

?

?p

j

? 1?
j

p

? ? di p i ? j
i? j



∴?

? n ? ? ? di p i ? j . p j ? i? j ? ?

⑵ 不会做.

·6·


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