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广东省韶关市2015届高三上学期期末数学试卷(文科)


广东省韶关市 2015 届高三上学期期末数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)若集合 A={x|x≥0},且 A∩B=B,则集合 B 可能是() A.{1,2} B.{x|x≤1} C.{﹣1,0,1} D.R 2. (5 分)已知 i 为虚数单位,复数

z= A.1 B. ,|z|=() C. D.3

3. (5 分)下列函数中,在定义域上既是奇函数又存在零点的函数是() A.y=cosx B. C.y=lgx D.y=e ﹣e
x
﹣x

4. (5 分)已知 α 为第二象限角,sinα= ,则 sin(π+2α)=() A.﹣ B. C. D.﹣

5. (5 分)阅读程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为()

A.3

B. 4

C. 5

D.6

6. (5 分)已知两条直线 a,b,两个平面 α,β.给出下面四个命题: ①a∥b,a∥α?b∥α; ②a?α,b⊥β,α∥β?a⊥b; ③a⊥α,a∥b,b∥β?α∥β; ④α∥β,a∥b,a⊥α?b⊥β. 其中正确的命题序号为()

A.①②

B.②③

C.①④

D.②④

7. (5 分)如图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方图,则由图可估计样本的平均重 量为()

A.10

B.11

C.12

D.13

8. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣3y 的最大值为()

A.﹣4

B. 4

C. 3

D.﹣3

9. (5 分)过双曲线



=1, (a>0,b>0)的右焦点 F 作垂直于 x 轴的直线,交双曲线

的渐近线于 A、B 两点,若△ OAB(O 为坐标原点)是等边三角形,则双曲线的离心率为() A. B. C. D.2

10. (5 分)记[x]表示不超过 x 的最大整数,例如[1. 3]=1,[﹣2.7]=﹣3.函数 f(x)= (a>0 且 a≠1) ,在 x>0 时恒有[f(x)]=0,则实数 a 的取值范围是() A.a>1 B.0<a<1 C . a> D.0<a<



二、填空题:本大共 3 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 15 分.(一)必做题(11~ 13 题) 11. (5 分)设 x∈R,向量 =(x,1) , =(1,﹣2) ,且 ⊥ ,则| + |=.

12. (5 分)设曲线 y=xlnx 在点(e,e)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a=.

13. (5 分)已知各项都是正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若存在不同的两项 am 和 an,使 得 am?an=16a1 ,则
2

的最小值是.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 【坐标系与参数方程选做题】 14. (5 分)在极坐标系中,圆 ρ=4cosθ 的圆心到直线 θ= (θ∈R)的距离是.

【几何证明选讲选做题】 15.如图,在半圆 O 中,C 是圆 O 上一点,直径 AB⊥CD,垂足为 D,DE⊥BC,垂足为 E, 若 AB=6,AD=1,则 CE?BC=.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=2cos(2x+ )+ sin2x

(1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值; (2)设△ ABC 的三内角分别是 A、B、C.若 f( )= ,且 AC=1,BC=3,求边 AB 和 sinA 的值. 17. (12 分)汽车是碳排放量比较大的行业之一,某地规定,从开始,将对二氧化碳排放量超 过 130g/km 的轻型汽车进行惩罚性征税.检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取 5 辆进行 二氧化碳排放量检测,记录如下(单位:g/km) . 甲 80 110 120 140 150 乙 100 120 x 100 160 经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为 =120g/km.

(1)求表中 x 的值,并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性; (2) 从被检测的 5 辆甲品牌轻型汽车中任取 2 辆, 则至少有一辆二氧化碳排放量超过 130g/km 的概率是多少? 18. (14 分)如图,ABCD 是边长为 3 的正方形,ABEF 是矩形,平面 ABCD⊥平面 ABEF, G 为 EC 的中点. (1)求证:AC∥平面 BFG; (2)若三棱锥 C﹣DGB 的体积为 ,求三棱柱 ADF﹣BCE 的体积.

19. (14 分)已知数列{an}满足 a1= ,



=0,n∈N .

*

(1)求证:数列{

}是等差数列;

(2)设 bn=

﹣1,数列{bn}的前 n 项之和为 Sn,求证:Sn< .

20. (14 分)设 A、B 是焦距为 2

的椭圆 C1:x +

2

=1(a>1)的左、右顶点,曲线 C2 上

的动点 P 满足 kAP﹣kBP=a,其中,kAP 和 kBP 是分别直线 AP、BP 的斜率. (1)求曲线 C2 的方程; (2)直线 MN 与椭圆 C1 只有一个公共点且交曲线 C2 于 M,N 两点,若以线段 MN 为直径的 圆过点 B,求直线 MN 的方程.

21. (14 分)已知函数 f(x)= x +

3

x ﹣a x+a,x∈R,a∈R.

2

2

(1)若函数 f(x)在区间[0,2]内恰有两个零点,求实数 a 的取值范围; (2)若 a=﹣1,设函数 f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为 M(t) ,最小值为 m(t) ,记 F(t) =M(t)﹣m(t) ,求函数 F(t)在区间[﹣3,﹣1]上的最小值.

广东省韶关市 2015 届高三上学期期末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)若集合 A={x|x≥0},且 A∩B=B,则集合 B 可能是() A.{1,2} B.{x|x≤1} C.{﹣1,0,1} D.R

考点: 交集及其运算. 专题: 计算题;集合. 分析: 由集合 A={x|x≥0},且 A∩B=B,得 B?A,由此能求出结果. 解答: 解:∵集合 A={x|x≥0},且 A∩B=B, ∴B?A, 观察备选答案中的 4 个选项, 只有{1,2}?A. 故选:A. 点评: 本题考查交集性质的应用,是基础题,解题时要认真审题.

2. (5 分)已知 i 为虚数单位,复数 z= A.1 B.

,|z|=() C. D.3

考点: 复数求模. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出. 解答: 解:∵复数 z= ∴|z|= = = . =﹣1﹣2i,

故选:C. 点评: 本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,属于基础题. 3. (5 分)下列函数中,在定义域上既是奇函数又存在零点的函数是() A.y=cosx B. C.y=lgx D.y=e ﹣e
x
﹣x

考点: 专题: 分析: 解答: B.

函数奇偶性的判断;函数零点的判定定理. 函数的性质及应用. 根据函数奇偶性的定义进行判断即可. 解:A.y=cosx 为偶函数,不满足条件.

为减函数,则不存在零点,不满足条件.

C.函数的定义域为(0,+∞) ,为非奇非偶函数,不满足条件. D.y=e ﹣e 为奇函数,由 y=e ﹣e =0,解得 x=0,存在零点,满足条件. 故选:D 点评: 本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数零点的求解,要求熟练掌握常见函数的奇 偶性的性质.
x
﹣x

x

﹣x

4. (5 分)已知 α 为第二象限角,sinα= ,则 sin(π+2α)=()

A.﹣

B.

C.

D.﹣

考点: 二倍角的正弦;运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由 α 为第二象限角及 sinα 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 cosα 的值,原 式利用诱导公式化简后, 再利用二倍角的正弦函数公式化简, 将各自的值代入计算即可求出值. 解答: 解:∵α 为第二象限角,sinα= , ∴cosα=﹣ =﹣ , .

则原式=﹣sin2α=﹣2sinαcosα=

故选:C. 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键. 5. (5 分)阅读程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为()

A.3

B. 4

C. 5

D.6

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 通过程序框图的要求,写出前四次循环的结果得到输出的值. 解答: 解:该程序框图是循环结构 经第一次循环得到 i=1,a=2; 经第二次循环得到 i=2,a=5; 经第三次循环得到 i=3,a=16; 经第四次循环得到 i=4,a=65 满足判断框的条件,执行是,输出 4 故选 B 点评: 本题考查解决程序框图中的循环结构时,常采用写出前几次循环结果,找规律. 6. (5 分)已知两条直线 a,b,两个平面 α,β.给出下面四个命题:

①a∥b,a∥α?b∥α; ②a?α,b⊥β,α∥β?a⊥b; ③a⊥α,a∥b,b∥β?α∥β; ④α∥β,a∥b,a⊥α?b⊥β. 其中正确的命题序号为() A.①② B.②③

C.①④

D.②④

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据线面平行的判定定理可得①错误; 根据线面垂直的判断定理与性质定理可得②正确; 由 a⊥α,a∥b,b∥β 可得 α⊥β,得③错误; 根据 α∥β,a⊥α 得 a⊥β,再根据平行线中的一条垂直于平面,另一条也垂直于平面,可得 ④正确. 解答: 解:①b 可能在平面 α 内,故①错误; ②由 b⊥β,α∥β 得 b⊥α,又 a?α,故 a⊥b,②正确; ③由 a⊥α,a∥b,b∥β 可得 α⊥β,故③错误; ④由 α∥β,a⊥α 得 a⊥β,又 a∥b,∴b⊥β,故④正确. 故选:D. 点评: 本题考查了线面垂直、平行的判定与性质,熟练掌握线面平行,线面垂直的判断定 理及性质定理是关键. 7. (5 分)如图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方图,则由图可估计样本的平均重 量为()

A.10

B.11

C.12

D.13

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据频率分布直方图,求出样本的平均重量即可. 解答: 解:根据频率分布直方图,得; 重量在[15,20]的频率是 1﹣(0.06+0.1)×5=0.2, ∴该样本的平均重量为 7.5×0.06×5+12.5×0.1×5+17.5×0.2=12. 故选:C. 点评: 本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了平均数的计算问题,是基础题目.

8. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣3y 的最大值为()

A.﹣4

B. 4

C. 3

D.﹣3

考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合;不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,结合可行域可知,当直 线 过点 A 时,截距最小,z 最大,联立直线方程求出 A 的坐标,代入 z=x﹣3y 求 z

得最大值.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如图,

由 z=x﹣3y,得 要使 z 最大,则直线 由图可知,当直线

. 在 y 轴上的截距最小. 过点 A 时,截距最小,z 最大.

联立

,解得



∴A(﹣2,﹣2) . 则 z=x﹣3y 的最大值为﹣2﹣3×(﹣2)=4. 故选:B. 点评: 本题考查了简单的线性规划,解答的关键是正确作出可行域,是中档题.

9. (5 分)过双曲线



=1, (a>0,b>0)的右焦点 F 作垂直于 x 轴的直线,交双曲线

的渐近线于 A、B 两点,若△ OAB(O 为坐标原点)是等边三角形,则双曲线的离心率为() A. B. C. D.2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由等边三角形和双曲线的对称性, 可得, ∠OAF=30°, 再由渐近线方程, 可得 b= 再由 a,b,c 的关系和离心率公式,即可计算得到. 解答: 解:由于△ OAB(O 为坐标原点)是等边三角形, 则由对称可得,∠OAF=30°, 双曲线的渐近线方程为 y= 即有 tan30°= ,即 b= 又 c= 则 e= = = . a, a, x, a,

故选 B. 点评: 本题考查双曲线方程和性质,考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法,属于基础 题.

10. (5 分)记[x]表示不超过 x 的最大整数,例如[1.3]=1,[﹣2.7]=﹣3.函数 f(x)=



(a>0 且 a≠1) ,在 x>0 时恒有[f(x)]=0,则实数 a 的取值范围是() A.a>1 B.0<a<1 C . a> D.0<a<

考点: 函数的值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意知 0≤ ﹣ <1,从而化简可得当 x>0 时,1+a ≥2;从而求解.
x

解答: 解:∵在 x>0 时恒有[f(x)]=0, ∴0≤ ﹣ <1;

∴ ≤ ﹣ <

< ;

≤ ;
x

故当 x>0 时,1+a ≥2; 故 a>1;

故选 A. 点评: 本题考查了函数的性质的综合应用,属于基础题. 二、填空题:本大共 3 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 15 分.(一)必做题(11~ 13 题) 11. (5 分)设 x∈R,向量 =(x,1) , =(1,﹣2) ,且 ⊥ ,则| + |= .

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系;向量的模. 专题: 平面向量及应用. 分析: 通过向量的垂直,其数量积为 0,建立关于 x 的等式,得出 x 求出向量 ,推出 然后求出模. 解答: 解:因为 x∈R,向量 =(x,1) , =(1,﹣2) ,且 所以 x﹣2=0,所以 =(2,1) , 所以 则 =(3,﹣1) , = = , , ,

故答案为: . 点评: 本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系、向量的基本运算,模的求法,考查 计算能力.

12. (5 分)设曲线 y=xlnx 在点(e,e)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a= .

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用;直线与圆. 分析: 先求出导数,求得函数 y 在点(e,e)处的斜率,再利用两条直线互相垂直,斜率之 间的关系 k1?k2=﹣1,求出未知数 a. 解答: 解:y′=lnx+x? =1+lnx, 令 x=e 解得在点(e,e)处的切线的斜率为 2, 由于切线与直线 ax+y+1=0 垂直, 即有 2?(﹣a)=﹣1 解得 a= . 故答案为: . 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及导数的几何意义:在切点 处的导数值即为切线的斜率,两直线垂直则斜率乘积为﹣1,属于基础题.

13. (5 分)已知各项都是正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若存在不同的两项 am 和 an,使 得 am?an=16a1 ,则
2

的最小值是 .

考点: 基本不等式在最值问题中的应用;等比数列的性质. 专题: 综合题;不等式的解法及应用. 分析: 由 a7=a6+2a5 求得 q=2,代入 am?an=16a1 求得 m+n=6,利用基本不等式求出它的最 小值. 2 解答: 解:由各项均为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,可得 q ﹣q﹣2=0,∴q=2. 2 m+n﹣2 m+n﹣2 4 ∵am?an=16a1 ,∴q =16,∴2 =2 ,∴m+n=6, ∴ = (m+n) ( )= (5+ + )≥ = ,
2

当且仅当 = 故

时,等号成立.

的最小值等于 ,

故答案为: . 点评: 本题主要考查等比数列的通项公式,基本不等式的应用,属于基础题. (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 【坐标系与参数方程选做题】 14. (5 分)在极坐标系中,圆 ρ=4cosθ 的圆心到直线 θ= (θ∈R)的距离是 1.

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 先将极坐标方程化为普通方程,可求出圆心的坐标,再利用点到直线的距离公式即 可求出答案. 2 2 2 2 2 解答: 解:∵圆 ρ=4cosθ,∴ρ =4ρcosθ. ,化为普通方程为 x +y =4x,即(x﹣2) +y =4, ∴圆心的坐标为(2,0) . ∵直线 θ= (ρ∈R) ,∴直线的方程为 y= y=0 的距离 x,即 x﹣ y=0. =1.

∴圆心(2,0)到直线 x﹣

故答案为:1. 点评: 正确化极坐标方程为普通方程及会利用点到直线的距离公式是解题的关键. 【几何证明选讲选做题】 15.如图,在半圆 O 中,C 是圆 O 上一点,直径 AB⊥CD,垂足为 D,DE⊥BC,垂足为 E, 若 AB=6,AD=1,则 CE?BC=5.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 直线与圆;推理和证明. 2 分析: 由已知条件利用垂直径定理和相交弦定理得 CD =AD?BD,从而得 CD= = , 由 DE⊥BC, 利用等积法能求出 DE=

, ,

, 由勾股定理得 CE=

由此能求出 CE?BC. 解答: 解:∵C 是圆 O 上一点,直径 AB⊥CD,垂足为 D,AB=6,AD=1, 2 ∴CD =AD?BD=1×(6﹣1)=5,解得 CD= , ∴ = = ,

∵DE⊥BC,垂足为 E, ∴ ∴CE= ∴CE?BC= 故答案为:5. × ,解得 DE= = =5. = , = = ,

点评: 本题考查两线段乘积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意垂径定理和相交 弦定理的合理运用. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=2cos(2x+ )+ sin2x

(1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值; (2)设△ ABC 的三内角分别是 A、B、C.若 f( )= ,且 AC=1,BC=3,求边 AB 和 sinA 的值. 考点: 余弦定理的应用;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (1)由两角和的余弦公式化简解析式可得 f(x)=cos2x,从而可求最小正周期和最 大值; (2)由已知先求得 cosC 的值,即可求 sinC 的值,由余弦定理可得 AB 的值,从而由正弦定 理得 sinA 的值. 解答: 解: (1) ∵( f x) =2cos (2x+ ∴T= =π ) + sin2x=2 (cos2xcos ﹣sin2xsin ) + sin2x=cos2x

∴f(x)max=1 (2)∵f(x)=cos2x, ∴f( )=cosC= ,可得:cosC= . ∴sinC= =
2 2 2

∴由余弦定理可得:AB =BC +AC ﹣2×AC×BC×cosC=9+1﹣2×1×3× =7,即得 AB=

∴由正弦定理:

可得:sinA=

=

=



点评: 本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦定 理、余弦定理的综合应用,综合性较强,属于中档题. 17. (12 分)汽车是碳排放量比较大的行业之一,某地规定,从开始,将对二氧化碳排放量超 过 130g/km 的轻型汽车进行惩罚性征税.检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取 5 辆进行 二氧化碳排放量检测,记录如下(单位:g/km) . 甲 80 110 120 140 150 乙 100 120 x 100 160 经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为 =120g/km.

(1)求表中 x 的值,并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性; (2) 从被检测的 5 辆甲品牌轻型汽车中任取 2 辆, 则至少有一辆二氧化碳排放量超过 130g/km 的概率是多少? 考点: 概率的应用. 专题: 计算题;应用题;概率与统计. 分析: (1)由平均数 = =120 求 x,再求方差比较可得稳定性;

(2)符合古典概型,利用古典概型的概率公式求解. 解答: 解: (1)由 x=120; = S S
2


=

=120 得,

=120;
2 2 2 2 2

= [(80﹣120) +(110﹣120) +(120﹣120) +(140﹣120) +(150﹣120) ]=600; = [(100﹣120) +(120﹣120) +(120﹣120) +(100﹣120) +(160﹣120) ]=480;
2 2 2 2 2 2 2

2



因为 S 甲>S 乙; 故乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性更好; (2)从被检测的 5 辆甲品牌轻型汽车中任取 2 辆,共有 至少有一辆二氧化碳排放量超过 130g/km 的情况有 × =10 种情况, +1=7 种,

故至少有一辆二氧化碳排放量超过 130g/km 的概率是



点评: 本题考查了数据的分析与应用,同时考查了古典概型在实际问题中的应用,属于中 档题. 18. (14 分)如图,ABCD 是边长为 3 的正方形,ABEF 是矩形,平面 ABCD⊥平面 ABEF, G 为 EC 的中点. (1)求证:AC∥平面 BFG; (2)若三棱锥 C﹣DGB 的体积为 ,求三棱柱 ADF﹣BCE 的体积.

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)根据线线平行得到线面平行即可, (2)先求出三角形 BCE 的面积,从而求出三 棱柱 ADF﹣BCE 的体积. 解答: 解: (1)如图示:

连结 AE 交 BF 于点 O,连结 OG, ∵O、G 分别是 AE、CE 的中点, ∴OG∥AC, ∵AC?平面 BFG,OG?平面 BFG, ∴AC∥平面 BFG; (2)∵VC﹣DGB= ?S△ BCG?3= , ∴S△ BCG= , ∴S△ BCE= ,

∴三棱柱 ADF﹣BCE 的体积是:3× =



点评: 本题考查了面面平行的判定定理,考查了求几何体的体积问题,本题属于中档题.

19. (14 分)已知数列{an}满足 a1= ,



=0,n∈N .

*

(1)求证:数列{

}是等差数列;

(2)设 bn=

﹣1,数列{bn}的前 n 项之和为 Sn,求证:Sn< .

考点: 数列与不等式的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1) 把已知的数列递推式变形, 得到 可得到答案; (2)由(1)中的等差数列求出数列{an}的通项公式,代入 bn= 项相消法求数列{bn}的前 n 项和后得答案. 解答: 证明: (1)由 ﹣ =0,得 = , ﹣1 并整理,然后利用裂 , 然后代入 即



,即

,∴





=



∴数列{

}是以﹣1 为公差的等差数列;

(2)由数列{

}是以﹣1 为公差的等差数列,且





,则



bn=

﹣1=



Sn=b1+b2+…+bn= = = .

点评: 本题考查了数列递推式,考查了等差关系的确定,训练了裂项相消法求数列的和, 是中档题.

20. (14 分)设 A、B 是焦距为 2

的椭圆 C1:x +

2

=1(a>1)的左、右顶点,曲线 C2 上

的动点 P 满足 kAP﹣kBP=a,其中,kAP 和 kBP 是分别直线 AP、BP 的斜率. (1)求曲线 C2 的方程; (2)直线 MN 与椭圆 C1 只有一个公共点且交曲线 C2 于 M,N 两点,若以线段 MN 为直径的 圆过点 B,求直线 MN 的方程. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1) 由题易知 A (﹣1, 0) 、 B (1, 0) , 通过设 P (x, y) , 利用 计算即得结论; (2)通过分析可设直线 MN 的方程为:y=kx+m,代入椭圆 C1 方程,利用根的判别式可得 2 2 m =k +4,结合 kBM?kMN=m﹣k=﹣1,计算即可. 2 解答: 解: (1)由题易知 b =1, ∴ ,解得 a=2, ﹣ =2 (x≠±1)

∴A、B 的坐标为 A(﹣1,0) 、B(1,0) , 设 P(x,y) ,则 ﹣
2

=2(x≠±1) ,即 y=1﹣x (x≠±1) ,

2

∴曲线 C2 的方程为:y=1﹣x (x≠±1) ; (2)若直线 MN 垂直于 x 轴,则与曲线 C2 只有一个交点,与题意不符, ∴直线 MN 垂直斜率,设直线 MN 的方程为:y=kx+m, 2 2 2 代入椭圆 C1 方程,整理得: (4+k )x +2kmx+m ﹣4=0, 由题意可得直线与椭圆相切, 2 2 2 2 2 ∴△1=(2km) ﹣4(4+k ) (m ﹣4)=0,即 m =k +4, 2 将 y=kx+m 代入 y=1﹣x (x≠±1) , 2 整理得:x +kx+m﹣1=0, 2 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则△ 2=(﹣k) ﹣4(m﹣1)>0 (*) 由韦达定理可知:x1+x2=﹣k,x1x2=m﹣1,

∴kBM?kMN=

?

=

=

=

=m﹣k,

∵以线段 MN 为直径的圆过点 B,∴BM⊥BN,∴m﹣k=﹣1, 又∵m =k +4,∴k=﹣ ,m=﹣ , 经检验满足条件(*)式, ∴直线 MN 的方程为:3x+2y+5=0. 点评: 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,注意解题方法的积累, 属于中档题.
2 2

21. (14 分)已知函数 f(x)= x +

3

x ﹣a x+a,x∈R,a∈R.

2

2

(1)若函数 f(x)在区间[0,2]内恰有两个零点,求实数 a 的取值范围; (2)若 a=﹣1,设函数 f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为 M(t) ,最小值为 m(t) ,记 F(t) =M(t)﹣m(t) ,求函数 F(t)在区间[﹣3,﹣1]上的最小值. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数的零点. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)求出原函数的导函数,得到函数在[0,2]内的极值点,求得极小值为 g(1) ,由

求解不等式组得到 a 的取值范围;

(2)把 a=﹣1 代入函数解析式,求出函数的导函数,得到函数的单调期间,然后对 t 的范围 分类讨论,求出函数 F(t)在区间[﹣3,﹣1]上的解析式,利用导数求得函数的最小值 .
3 2 2

解答: 解: (1)由 f(x)= x +
2 2 2

x ﹣a x+a,x∈R,a∈R,得
2

f′(x)=x +(a ﹣1)x﹣a x,由 f′(x)=0,得 x=﹣a 或 x=1, 当 x∈[0,1)时,f′(x)<0,f(x)为减函数, 当 x∈(1,2]时,f′(x)>0,f(x)为增函数. ∴在 x∈[0,2]上 f(x)有极小值,为 f(1) ,

若函数 f(x)在区间[0,2]内恰有两个零点,则





,解得:





∴使函数 f(x)在区间[0,2]内恰有两个零点的实数 a 的取值范围是 ; (2)当 a=﹣1 时,f(x)= ,f′(x)=x ﹣1,
2

由 f′(x)=0,得 x=±1. 当 x∈(﹣∞,﹣1) , (1,+∞)时,f′(x)>0,当 x∈(﹣1,1)时 f′(x)<0, ∴f(x)在(﹣∞,﹣1) , (1,+∞)上为增函数,在(﹣1,1)上为减函数. 若 t+3≤﹣1 或 t≥1,即 t≤﹣4 或 t≥1 时,f(x)在[t,t+3]上为增函数,M(t)=f(t+3) = m(t)=f(t)= , ,F(t)=M(t)﹣m(t)=3t +9t+6;
2



,即﹣4<t≤﹣2 时,M(t)=f(﹣1)= ,

m(t)=min{f(t) ,f(t+3)}=f(t)= F(t)= ;





,即﹣1≤t<1 时,m(t)=f(1)= ,

M(t)=max{f(t) ,f(t+3)}=f(t+3)= F(t)= 若 ﹣ = ,即﹣2≤t≤﹣1 时,M(t)=f(﹣1)= , . ;



m(t)=f(1)= ,F(t)=


2



F′(t)=﹣t +1 在 x∈[﹣3,﹣2]上小于 0, F(t)= 在[﹣3,﹣2]上为减函数,





∴函数 F(t)在区间[﹣3,﹣1]上的最小值为 . 点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性,考查了利用导数求函数的最值,考查了数学 转化思想方法和分类讨论的数学思想方法, 正确的分类是解答该题的关键, 属难度较大的题目.


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