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北京市房山区2013届高三4月第一次模拟考试数学文试题


北京市房山区 2013 届高三第一次模拟考试 数 学 (文科) 2013.04

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知全集 U ? R ,集合 M ? {x | x( x ? 3) ? 0} ,则 CR M A. [0,3] C. (??,3] B. (0,3) D. (??

,0) ? (3, ??) 开始

2.已知 {an } 为等差数列, S n 为其前项和.若 a1 + a9 = 18, a4 = 7 ,则 S10 = A. 55 C. 90 3.执行如图所示的程序框图.若输出 S ? 15 , 则框图中 ① 处可以填入 A. n ? 4 B. n ? 8 C. n ? 16 D. n ? 16 B. 81 D. 100

S ? 0, n ? 1

S ? S ?n
n ? 2n


① 是 输出 S
结束

4.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成绩的统计表如下表所示,则 环数 频数 4 1 5 1 甲 A.甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数 C.甲成绩的方差小于乙成绩的方差
2 5. “ m ? 2 ”是“函数 f ( x) ? x ? 2 x ? m 存在零点”的

6 1

7 1

8 1

环数 频数

5 3 乙

6 1

9 1

B. 甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数 D. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差

A. 充分但不必要条件 C. 充要条件

B. 必要但不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

??? ? ??? ? ??? ? ???? 6.在正三角形 ABC 中, AB ? 3 , D 是 BC 上一点,且 BC ? 3BD ,则 AB ? AD ?
A. C.

15 2
9

B. D.

9 2
6

1

7.某三棱椎的三视图如图所示,该三棱锥 的四个面的面积中,最大的是 A. 4 3 B.
8

C. 4 7 D. 8 3 8.设集合 M 是 R 的子集,如果点 x0 ? R 满足: ?a ? 0, ?x ? M ,0 ? x ? x0 ? a ,称 x0 为 集合 M 的聚点.则下列集合中以 ①{ A.②③
0

为聚点的有:

n | n ? N} ; n ?1

② {x | x ? R, x ? 0} ; B. ②④

2 ③ { | n ? N* } ; n
C. ①③

④Z D. ①③④

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 复数

2i ? 1? i

.

10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c , A ? 为 .

? ,a ? 2,c ? 2 ,则角 C 的大小 4

11.直线 x ? y ? 2 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 相交于 A,B 两点,则线段 AB 的长等于

.

? x ? y ? 5 ? 0, ? 12.若不等式组 ? y ? kx ? 5, 表示的平面区域是一个锐角三角形,则 k 的取值范是 ?0 ? x ? 2 ?
13.某商品在最近 100 天内的单价 f (t ) 与时间的函数关系是

.

?t ? 22 (0 ? t ? 40, t ? N) ? ?4 f (t ) ? ? ?? t ? 52 (40 ? t ? 100, t ? N) ? ? 2
t 109 (0 ? t ? 100, t ? N) .则这种商品 日销售量 g (t ) 与时间的函数关系是 g (t ) ? ? ? 3 3
的日销售额的最大值为 .

14.已知函数 f ( x) 的定义域是 D,若对于任意 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 则称函数 f ( x) 在 D 上为非减函数.设函数 f ( x) 在 [0, 1] 上为非减函数,且满足以下三个 条件:① f (0) ? 0 ;

x 1 4 ② f ( ) ? f ( x) ; ③ f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) .则 f ( ) ? 5 2 5



1 f( )? 12

.

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分)
2

已知函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期;

? (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [0, ] 上的最小值和最大值. 2

16. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, BC // AD ,

?ADC ? 90? , BC ? CD ?
的中点.

1 AD , PA ? PD , E ,F 为 AD,PC 2

(Ⅰ)求证:PA//平面 BEF; (Ⅱ)求证: AD ? PB .

17. (本小题满分 13 分)

PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国 PM2.5 标准采用世卫组织设
定的最宽限值,即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级;在 35 微克/立方米 ? 75 微克/立方米 之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上空气质量为超标. 某城市环保局从该市市区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机 的抽取
6

PM2.5 日均值(微克/立方米)

天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个

位为叶) . (Ⅰ) 若从这
6

天的数据中随机抽出 2 天,求至多有一天空气质

3 4 7 9

3 8 9 7

1 3

量超标的概率; (Ⅱ)根据这
6

天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 365 天计算)中平均有多少天的空

气质量达到一级或二级?

18. (本小题满分 13 分) 1 1 已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x ? (a ? R, a ? 0) . 2 2 (Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若对任意的 x ? [1, ??) ,都有 f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 和点 P (4,0) ,垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点,连结 PB 交椭圆 C 于另一点 4 3

E.
(Ⅰ)求椭圆 C 的焦点坐标和离心率;
3

(Ⅱ)证明直线 AE 与 x 轴相交于定点.

20.(本小题满分 13 分) 对于实数 x ,将满足“ 0 ? y ? 1 且 x ? y 为整数”的实数 y 称为实数 x 的小数部分,用记号 x 表示.例如

1.2 ? 0.2, ?1.2 ? 0.8,
? 1 ? a1 ? a , an ?1 ? ? an ? ?0
(Ⅰ)若 a ?

8 1 ? .对于实数 a ,无穷数列 ?an ? 满足如下条件: 7 7
an ? 0, an ? 0,

其中 n ? 1,2,3, ?.

3 ,求数列 ?an ? 的通项公式; 11 1 (Ⅱ)当 a ? 时,对任意的 n ? N* ,都有 a n ? a ,求符合要求的实数 a 构成的集合 A ; 2 p (Ⅲ)设 a ? ( p 是正整数, p 与 2013 互质) ,对于大于 2013 的任意正整数 n ,是否都有 a n ? 0 成立, 2013
证明你的结论.

房山区高三年级第一次模拟考试参考答案 数 学 (文科) 2013.04

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1A 2D 3B 4C 5B 6A 7C 8A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ?1 ? i 12. (?1, 0) 10.

?
6

或 30?

11.

6

13.

808.5

14.

1 1 , 2 4

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分. 15(本小题满分 13 分) (Ⅰ) f ( x) ? 2 cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1

? cos 2 x ? 3 sin 2 x
1 3 ? 2( cos 2 x ? sin 2 x) 2 2
? 2 sin( 2 x ?

………………………… 4 分

?
6

)

……………………… 6 分

4

周期为 T ? (Ⅱ)? 0 ? x ?

?
2

2? ? ?. 2
?

………………………7 分

?
6

? 2x ?

?
6

?

) ? 1 此时 f ( x) max ? 2 …………………………11 分 2 6 ? 7? ? 1 时, sin( 2 x ? ) ? ? 此时 f ( x) min ? ?1 …………13 分 ?当 2x ? ? 6 6 6 2
?当 2x ?

?

6

?

?

时, sin( 2 x ?

?

7? 6

………………………………9 分

16(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:连接 AC 交 BE 于 O,并连接 EC,FO

?

BC // AD

, BC ?

1 AD , 2

E 为 AD 中点

? AE//BC,且 AE=BC ? 四边形 ABCE 为平行四边形 …………………1 分 ………………………………...2 ? O 为 AC 中点 又? F 为 AD 中点 ………………………......….4 分 ? OF // PA ? OF ? 平面BEF , PA ? 平面BEF ..……..……..5 分 ?



PA // 平面BEF

…………………………………………..……..……..7 分

(Ⅱ)连接 PE

? PA ? PD, E为AD中点
? BC// AD, BC ?

? AD ? PE …………………………….…………….8 分

1 AD, E为AD中点 2 ? BCDE为平行四边形
? BE// CD

? AD ? CD ? AD ? BE

…………………………………..………..9 分

? PE ? BE ? E
? AD ? 平面PBE
? PB ? 平面PBE ? AD ? PB
……………………………………………………….…….....12 分 ………………………………………………………………….14 分

17(本小题满分 13 分) 解:由茎叶图可知:6 天有 4 天空气质量未超标,有 2 天空气质量超标???2 分 记未超标的 4 天为 w1 , w2 , w3 , w4 ,超标的两天为 c1 , c2 ,则从 6 天抽取 2 天的所有情况为:

w1w2 , w1w3 , w1w4 , w1c1 , w1c2 , w2 w3 , w2 w4 , w2c1 , w2c2 , w3 w4 , w3c1 , w3c2 , w4c1 , w4c2 , c1c2 ,
基本事件总数为 15 ????????????????????4 分
5

(Ⅰ)记“至多有一天空气质量超标”为事件 A ,则“两天都超标”为事件 A , 易得 P ( A) ?

1 , 15 1 14 ? 15 15
????????????9 分

所以 P ( A) ? 1 ? P ( A) ? 1 ?

(Ⅱ) 6 天中空气质量达到一级或二级的频率为

4 2 ? 6 3

?????11 分

365 ?

2 1 ? 243 , 3 3 1 3

所以估计一年中平均有 243 天的空气质量达到一级或二级. ???? 13 分 (说明:答 243 天,244 天不扣分) 18(本小题满分 13 分) (Ⅰ) a ? 2 时, f ( x) ?

1 2 1 x ? 2 ln x ? , 2 2

f (1) ? 0

………………1 分

2 f '( x) ? x ? , x

f '(1) ? ?1

………………………………………………2 分

曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程 x ? y ? 1 ? 0

………………3 分

a x2 ? a (Ⅱ) f '( x) ? x ? ? x x
①当 a ? 0 时, f '( x) ?

( x ? 0)

…………………………………………………4 分

x2 ? a ? 0 恒成立,函数 f ( x) 的递增区间为 ? 0, ?? ? x
………………………………………………………………6 分

②当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 ,解得 x ? x f’(x) f(x) ( 0, 减

a或x?? a a
( ( a , ??) ,1) + 增

a)

所以函数 f ( x) 的递增区间为

?

a , ?? ,递减区间为 (0, a )

?

…………………………………………………………………8 分 (Ⅲ)对任意的 x ? [1, ??) ,使 f ( x) ? 0 成立,只需任意的 x ? [1, ??) , f ( x) min ? 0 ①当 a ? 0 时, f ( x) 在[1,+?)上是增函数,

6

所以只需 f (1) ? 0 而 f (1) ?

1 1 ? a ln1 ? ? 0 2 2

所以 a ? 0 满足题意; …………………………………………………………………9 分 ②当 0 ? a ? 1 时, 0 ? 所以只需 f (1) ? 0 而 f (1) ?

a ? 1 , f ( x) 在[1,+?)上是增函数,

1 1 ? a ln1 ? ? 0 2 2

所以 0 ? a ? 1 满足题意;…………………………………………………………………10 分 ③当 a ? 1 时, a ? 1 , f ( x) 在[1, a ] 上是减函数,[ a ,+?)上是增函数, 所以只需 f ( a ) ? 0 即可 而 f ( a ) ? f (1) ? 0 从而 a ? 1 不满足题意; …………………………………………………………………12 分 综合①②③实数 a 的取值范围为 (??, 0) ? (0,1] .………………………………13 分

19(本小题满分 14 分) (Ⅰ)由题意知: a =4,
2

b 2 =3,

所以 c =a ? b =1
2 2 2

所以,焦点坐标为 ( ? 1,0)



离心率 e=

c 1 = ??????????4 分 a 2

(Ⅱ)由题意知:直线 PB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y =k (x ? 4) ????????????5 分

B( x1 ,

y1 ) , E ( x2 ,
? y ? k (x ? 4) ? 2 2 ?3 x ? 4 y ? 12

y2 ) ,则 A( x1 , ? y1 ) ,



得 (3+4k )x ? 32k x ? 64k ? 12 ? 0
2 2 2 2

则 x1 +x2 =

32k 2 64k 2 ? 12 , x x = 1 2 3+4k 2 3+4k 2

(1) ????????????8 分

直线 AE 的方程为 y ? y2 =

y2 +y1 (x ? x2 ) , x2 ? x1

7

令 y =0 ,得 x =x2 ?

y2 (x2 ? x1 ) y1 +y2

(2)

????????????10 分

又 y1 =k (x1 ? 4) , y2 =k (x2 ? 4) 代入(2)式,得 x =

2x1x 2 ? 4(x1 +x2 ) (3) x1 +x2 ? 8

把(1)代入(3)式,整理得 x =1 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 (1,0) . 20(本小题满分 13 分) (Ⅰ) a1 ? ????????????14 分

3 3 1 11 2 1 3 1 ? ? ? ? ? , a2 ? , a3 ? 11 11 a1 3 3 a2 2 2
1 ? 2 ?0, a3

a4 ?

3 2 1 ……………………………………4 分 , a2 ? , a3 ? , an ? 0 (n ? 4) 11 3 2 1 1 1 (Ⅱ)? a1 ? a ? a , a ? 则 ? a ? 1 ,从而 1 ? ? 2 2 2 a
所以 a1 ? 则 a2 ?

1 1 1 ? ? ?1 ? a a1 a a

所以 a 2 ? a ? 1 ? 0

解得: a ?

?1 ? 5 ?1 ? 5 ? 1 ? , (a ? ? ? ,1? ,舍去) 2 2 ?2 ?
5

……………….6 分

? ?1 ? ?? 所以集合 Aa 2
(Ⅲ)结论成立.

?.

………………………………………7 分 ……………………………………………8 分

易知 a 是有理数,所以对一切正整数 n , an 为 0 或正有理数, 设 an ? 由 a1 ?
pn ( qn

p n 是非负整数, q n 是正整数,且 pn , qn 互质)
…………………………………9 分

p p ? 1 ,可得 0 ? p1 ? 2013 ; 2013 q1

若 p n ? 0 ,设 qn ? ? pn ? ? ( 0 ? ? ? p n , ? , ? 是非负整数) 则

qn pn q ? 1 ?? ? ? n ,而由 a n ? 得 pn qn an pn pn
q 1 ? ? n ? ,故 p n ?1 ? ? , q n ?1 ? p n ,可得 0 ? p n ?1 ? p n an pn pn
………11 分

an ?1 ?

若 p n ? 0 则 p n ?1 ? 0 ,

8

若 a1 ,a2 , a3 , ???, a2013 均不为 0, 则这 2013 个正整数 pn (n ? 1, 2,3,? , 2013) 互不相同且都小于 2013 , 但小于 2013 的正整数共有 2012 个,矛盾. 故 a1 ,a2 , a3 , ? ? ?, a2013 中至少有一个为 0,即存在 m (1 ? m ? 2013) ,使得 a m ? 0 . 从而数列 ?a n ? 中 a m 以及它之后的项均为 0, 所以对于大于 2013 的自然数 n ,都有 a n ? 0 …………………………………………13 分

9


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