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等差数列的前n项和的性质


等差数列的前 n 项和性质

2016/1/4

复习:
1.等差数列通项公式:

an ? a1 ? (n ?1)d
? dn ? (a1 ? d )
2.等差数列的前n项和公式

当d≠0时,这 是关于n的一 个一次函数。

n( a1 ? an ) Sn ? 2 1 S n ? na1 ? n ( n ? 1) d 2
2016/1/4

d 2 d ? n ? (a1 ? )n 2 2

关于n的二次函数

知三求二
a1
5 100 14.5

an
95

n
10 50

d
10
-2 0.7

Sn
500 2550 604.5

2
32

26

2016/1/4

练习:
1.已知等差数列{an}满足 a1+a2+…+a101=0,则有( C ) A.a1+a101>0
C.a1+a101=0

B.a1+a101<0
D.a51=51

B

3.在等差数列{an}中,已知 S15=90,那么 a8 等于( C )

A.3
2016/1/4

B.4

C.6

D.12

4.在等差数列{an}中, ⑴ 已知a2+a15=20, 求 S16 ;
解:( 1 ) ? a1 ? a16 ? a2 ? a15 ? 20, 16(a1 ? a16 ) 16? 20 ? S16 ? ? ? 160. 2 2

⑵ 已知 a6= 36 , 求S11



(2)? a1 ? a11 ? 2a 6 ? 72, 11(a1 ? a11 ) 72 ? S11 ? ? 11? ? 396. 2 2
2016/1/4

等差数列前 n 项和的性质

1.若?an ? 成等差数列, 则Sm , S2 m ? Sm ,S3m ? S2m也成等差数列.

2016/1/4

1.等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100, 则它的前 3m 项和为( C )

A.30

B.170

C.210

D.260

2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6 =36, 则 a7+a8+a9=( B ) A.63 S6 等于( C ) A.12
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B.45

C.36

D.27

3.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=2,S4=10,则 B.18 C.24 D.42

4.在小于100的自然数中,有多少个被3除 余2的数?它们的和是多少? 33 个 Sn ? 1650

5.在5,27之间插入10个数,使它们同这 两个数成等差数列.求这10个数的和.

2016/1/4

5.在5,27之间插入10个数,使它们同这 两个数成等差数列.求这10个数的和.
解法一:

设插入的10个数依次为a2, a3, … ,a11,
则5,a2,a3, …,a11,27 成等差数 列. 令S= a2+a3+…+a11, 需求出a2, d.

∵ a12=27,a1=5,
∴27=5+11d,d=2.
2016/1/4

a2=5+2=7.

10 ? (10 ? 1) ? s ? 10 ? 7 ? ? 2 ? 160 2

解法二:
设法同上.根据a2 + a11

=32, 10 ? (a2 ? a11 ) S? ? 5 ? 32 ? 160. 2

= a1+a12=5+27

解法三:
设法同上. 12(5 ? 27) S ? S12 ? (5 ? 27) ? ? 32 ? 160. 2
2016/1/4

已知Sn ,求an
?a1 , n ? 1 an ? ? ?sn ? sn?1 , n ? 2

例1、已知数列?an ?的前n项和为Sn =2n 2 -2n+3, 求数列?an ?的通项公式. a ? ?3, n ? 1 ? n ?4n ? 4, n ? 2

练习:
已知数列?an ?的前n项和为Sn =n 2 -48n, 求数列的通项公式.
2016/1/4

an ? 2n ? 49

等差数列前 n 项和的最值问题
例 1.在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求 Sn 的最值.
d? d 2 ? 思维突破:∵Sn=2n +?a1-2?n,∴可用二次函数求最值. ? ?

17×16 9×?9-1? 解:由 S17=S9,得 25×17+ 2 d=25×9+ d, 2 解得 d=-2.

n?n-1? ∴Sn=25n+ 2 · (-2)=-n2+26n.

由二次函数的性质可知,
当n=13时,Sn有最大值为169.
2016/1/4

练习:
12, 1.已知数列?an ?的通项公式为 an ? 2n ? 13

6 6 5或 则使得Sn取得最小值时n的值是____________.
2.数列?an ?的通项为an ? 2n ? 1, n ? N ,
?

其前n项和为Sn,则使Sn >48成立的 n的最小值为_____. 7

2016/1/4

3.数列{an}是首项为 23,公差为整数的等差数列,且第
六项为正,第七项为负. (1)求数列的公差;

(2)求前 n 项和 Sn 的最大值;
(3)当 Sn>0 时,求 n 的最大值.
解:(1)由已知 a6=a1+5d=23+5d>0, 23 23 a7=a1+6d=23+6d<0,解得:- 5 <d<- 6 , 又 d∈Z,∴d=-4.
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(2)∵d<0,∴数列{an}是递减数列, 又a6>0,a7<0, ∴当n=6 时,Sn 取得最大值, 6×5 S6=6×23+ ×(-4)=78. 2 n?n-1? ×(-4)>0, (3)Sn=23n+ 2 整理得:n(25-2n)>0, 25, ∴0<n< 2

又 n∈N*,所求n 的最大值为12.
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例.已知一个等差数列{an}的通项公式 an=25-5n,求数

列{ |an|} 的前 n 项和 Sn.
解:由an≥0 得n≤5, ∴{an}前5 项为非负,从第6 项起为负,
1 ∴Sn=a1+a2+… +an= n(45-5n)(n≤5) , 2

当n≥6时, s ? a ? a ? a ? ? a ? (n ? 5)(5n ? 20) n 6 7 8 n 2 ? n(45 ? 5n) (n ? 5) ? ? 2 ? sn ? ? ? (n ? 5)(5n ? 20) ? 50(n ? 6) ? ? 2
2016/1/4

性质二: 若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项

a n S 2 n ?1 的和分别为Sn和Tn,则 ? bn T2n?1

2016/1/4

例1.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和
Sn 7n ? 1 分别是Sn和Tn,且 ? Tn 4n ? 27 a5 an 求 b 和 . bn 5
a5 64 ? b5 63
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an 14n ? 6 ? bn 8n ? 23

性质三、若等差数列{an}共有2n-1项,

S奇 n S奇 ? S偶 ? a中 ? an , = S偶 n-1
若等差数列{an}共有2n项,则

S偶-S奇=nd,

S奇

an = S偶 an+1

如{an}为等差数列,项数为奇数,奇数项和 为44,偶数项和为33,求数列的中间项和项数。
2016/1/4

a中 =11,n=7



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