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河北衡水中学2013-2014学年高二上学期第五次调研考试 数学文试题 Word版含答案


2013—2014 学年度第一学期第五次调研考试 高二年级文科数学试卷

本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分。 考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

注意事项:1.答卷Ⅰ前,考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.答卷Ⅰ时, 每

小题选出答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 一、 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答

案的序号填涂在答题卡上) 1.抛物线 x 2 ? A. y ? ?

1 y 的准线方程是( 4
B. y ?

) C. x ? ?

1 16

1 16

1 16

D. x ?

1 16

2.椭圆 ? A.3

? x ? 3cos ? (? 为参数 ) 的长轴长为( ? y ? 5sin ?
B.5

) C.6 D.10 )

3.双曲线 C : A. y ? ?

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( 2 a b 2
1 x 4
B. y ? ?

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

4. 若椭圆 A. 9

x2 y2 ? ? 1 的焦距是 2,则 m 的值为( m 8
B. 16 C. 7 )



D. 9 或 7

5. 下列曲线中,离心率为 2 的是(

y2 ?1 A x ? 3
2

B

y2 y2 2 x ? ? 1 C. x ? ?1 5 3
2

y2 ?1 D x ? 5
2

2 6. 设 F 为抛物线 y =4x 的焦点,A、B、C 为该抛物线上三点,若 FA ? FB ? FC =0,则

|FA|+|FB|+|FC|=( A.9 B. 6

) C. 4 D. 3

7.从圆 O : x ? y ? 4 上任意一点 P 向 x 轴作垂线,垂足为 P ? ,点 M 是线段 PP ? 的中点,则
2 2

点 M 的轨迹方程是 A.

( B.

)

9x 2 y 2 ? ?1 16 4
2

x2 ? y2 ? 1 4
9y2 x2 ? ?1 16 4


C. x ?

y2 ?1 4

D.

8、参数方程 ?

? x ? 3 cos ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 表示的图形是( 2? ? y ? 3 sin ? ? 2

A、以原点为圆心,半径为 3 的圆 C、以原点为圆心,半径为 3 的下半圆

B、以原点为圆心,半径为 3 的上半圆 D、以原点为圆心,半径为 3 的右半圆

9.直线 3x-4y-9=0 与圆 ? A.相切 B.相离

? x ? 2 cos? ,(θ 为参数)的位置关系是( ? y ? 2 sin ?
C.直线过圆心

)

D.相交但直线不过圆心

x ? ?2 ? cos ?, (θ 为参数,0≤θ <2π )上任意一点,则 10.设 P(x,y)是曲线 C: ? ? ? y ? sin ?

y 的取值 x

范围是(

) B. (-∞, 3 )∪[ 3 ,+∞] D. (-∞,

A.[- 3 , 3 ] C.[- 3 , 3 ]
3
3

3 3 )∪[ ,+∞] 3 3

11.圆 ? ? 5cos ? ? 5 3 sin ? 的圆心坐标是( A. ( ?5, ?



4? ) 3
2

B. ( ?5,
2

?
3

)

C. (5,

?
3

)

D. (?5,

5? ) 3

( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 的圆心,作直线分别交 x、y 正半轴 12.过圆 C:
于点 A、B, ?AOB 被圆分成四部分(如图) ,若这四部分图形面 积满足 SⅠ ? SⅣ ? SⅡ ? SⅢ ,则这样的直线 AB 有( A 0 条 数条 B 1条 C 2 条 ) D 无

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、 填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上)

13.在极坐标系中,圆 ? ? 4sin ? 的圆心到直线 ? ? 14. 在直角坐标系 xOy 中, 已知曲线 C1 : ?

?
6

( ? ? R) 的距离是 _____ .

? x ? t ? 1, ? x ? a sin ? , (t 为参数)与曲线 C2 : (? ? ? y ? 1 ? 2t ? y ? 3cos ?

为参数, a ? 0 ) 有一个公共点在 X 轴上,则 a ? __ . 15.直线 2? cos ? ? 1 与圆 ? ? 2cos ? 相交的弦长为 .

x2 y 2 16.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 (?c, 0), F2 (c, 0) , 若双曲线上 a b
存在一点 P 使

sin ?PF1F2 a ? ,则该双曲线的离心率的取值范围是 sin ?PF2 F1 c



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在 答题纸的相应位置) 17.(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建

立极坐标系 . 已知直线 l 上两点 M , N 的极坐标分别为 (2, 0), (

2 3 ? , ) , 圆 C 的参数方程 3 2

x ? 2 ? 2 cos ? ? ? ( ? 为参数). ? y ? 3 ? 2sin ? ? ?
(Ⅰ)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

18. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? 数) ,P 为 C1 上的动点,Q 为线段 OP 的中点。 (Ⅰ)求点 Q 的轨迹 C2 的普通方程;

? x ? ?3t ? 2, (t 为参 ? y ? 4t.

(Ⅱ)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴(两坐标系取相同的长度单位)的极坐标系中, N 为曲线 ? ? 2sin ? 上的动点,M 为 C2 与 x 轴的交点,求|MN|的最大值。

19 (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数), ? y ? 2 ? 2sin ?

??? ? ???? ? M 是 C1 上的动点, P 点满足 OP ? 2OM , P 点的轨迹为曲线 C2 .

(I)当求 C2 的普通方程; (II)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ?
A ,与 C2 的异于极点的交点为 B ,求 | AB | .

?
3

与 C1 的异于极点的交点为

20. (本小题满分 12 分)已知双曲线 C 与椭圆 (I)求双曲线 C 的方程; (II)若直线 l : y ? kx ? 点),求 k 的取值范围.

x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点,实半轴长为 3 . 8 4

2 与双曲线 C 有两个不同的交点 A 和 B , 且 OA ? OB ? 2 ( 其中 O 为原

??? ? ??? ?

2 2 21(本小题满分 12 分)设 F1,F2 分别为椭圆 C : x ? y ? 1(( ? 0) 的左、右焦点,过 F2 的 aa?? bb ? 0) 2 2

a

b

直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60°, F1 到直线 l 的距离为 2 3. (I)求椭圆 C 的焦距; (Ⅱ)如果 AF2 ? 2F2 B ,求椭圆 C 的方程.

???? ?

???? ?

22. (本小题满分 12 分)设椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a 2 b2

O 为坐标原点, (I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A、B,且

??? ? ??? ? OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

2013-2014 学年度高二文科数学第五次调研考试答案

一、选择题:ADCDA,BBDDC,AB 12 解:由已知,得: S IV ? S II ? S III ? S I , ,第 II,IV 部分的面积是定值,所以, S IV ? S II 为 定值,即 S III ? S I , 为定值,当直线 AB 绕着圆心 C 移动时,只可能有一个位置符合题意,即直 线 AB 只有一条,故选 B。 二、填空题 13.

3 ;14.

3 ;15. 2

3 .16. e ? (1, 2 ? 1)

16 解:因为在 ?PF1 F2 中,由正弦定理得

PF2 PF1 ? sin PF1 F2 sin PF2 F1

则由已知,得 线的右支上,

a c ,即 aPF1 ? cPF2 ,且知点 P 在双曲 ? P P 1 F2 1F 1

设 点 ( x0 , y0 ) 由 焦 点 半 径 公 式 , 得 PF1 ? a ? ex0 , PF2 ? ex0 ? a 则

a(a ? ex0 ) ? c(ex0 ? a)
解得 x0 ?

a(c ? a ) a (e ? 1) a(e ? 1) 由双曲线的几何性质知 x0 ? a则 ? ? a ,整理得 e(c ? a) e(e ? 1) e(e ? 1)

e2 ? 2e ? 1 ? 0, 解得 ? 2 ? 1 ? e ? 2 ? 1,又e ? (1, ??) ,故椭圆的离心率 e ? (1, 2 ? 1)
三、解答题 17. 解析:(Ⅰ)由题意知 M (2, 0), N (0,

2 3 3 ) ,因为 P 是线段 MN 中点,则 P (1, ) , 3 3
5分

因此 PO 直角坐标方程为: y ?

3 x. 3 2 3 ) 3

(Ⅱ)因为直线 l 上两点 M (2, 0), N (0,

∴ l 垂直平分线方程为: 3x ? 3 y ? 2 3 ? 0 ,圆心(2, ? 3 ),半径 r ? 2 . ∴d ?

2 3 ?3 3 ?2 3 3?9

?

3 ? r ,故直线 l 和圆 C 相交. 2

10 分

18

19 解: (I)设 P ? x, y ? ,则由条件知 M ? , ? ,由于 M 点在 C1 上,所以 2 2
?x ? 2 cos ? ? ? x ? 4cos ? ?2 ,即 ? . ? y ? y ? 4 ? 4sin ? ? ? 2 ? 2sin ? ? ?2

?x y? ? ?

从而 C2 的参数方程为 ?

? x ? 4cos ? ( ? 为参数). ? y ? 4 ? 4sin ?

x2+(y-4)2=16

6分

(II)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? . 射线 ? ? 射线 ? ?

?
3

与 C1 的交点 A 的极径为 ?1 ? 4sin 与 C2 的交点 B 的极径为 ?2 ? 8sin 12 分

?
3

, ,

?
3

?
3

所以 AB ? ?1 ? ?2 ? 2 3 .

21 解: (I)设焦距为 2c,由已知可得 F1 到直线 l 的距离 3c ? 2 3, 故c ? 2. 所以椭圆 C 的焦距为 4. ……4 分 (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),由题意知y1 ? 0, y2 ? 0, 直线 l 的方程为 y ? 3( x ? 2).

? y ? 3( x ? 2), ? 2 ? 2 2 2 2 4 联立 ? x ? y ? 1 得(3a ? b ) y ? 4 3b 2 y ? y ? 3b ? 0. 2 2 ?a b ? ?
解得 y1 ?

???? ? ? 3b 2 (2 ? 2a) ? 3b 2 (2 ? 2a) AF , y 2 ? . 因为 2 ? 2 F2 B, 所以 ? y1 ? 2 y2 . 3a 2 ? b 2 3a 2 ? b 2
…8 分

3b 2 (2 ? 2a) ? 3b 2 (2 ? 2a) ? 2? . 即 3a 2 ? b 2 3a 2 ? b 2

得 a ? 3.而a ? b ? 4, 所以b ? 5. 故椭圆 C 的方程为
2 2

x2 y 2 ? ? 1. ……12 分 9 5

22 解:(1)因为椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a 2 b2

?4 2 ?1 1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? ?a 2 ? 8 x2 y2 ?a b ? a2 8 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 ? ?1 6 1 1 1 8 4 b ? 4 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? a 2 b2 ? b2 4

5分

(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

? y ? kx ? m ??? ? ??? ? ? 得 OA ? OB , 设 该 圆 的 切 线 方 程 为 y ? kx ? m 解 方 程 组 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 4 ?8
x 2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,
2 2 2 2 2 2
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

则△= 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 8) ? 8(8k ? m ? 4) ? 0 ,即 8k ? m ? 4 ? 0
2 2

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?

,

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ?

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 ? ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

??? ? ??? ? 2m 2 ? 8 m 2 ? 8k 2 ? ? 0 ,所以 3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 , 要使 OA ? OB ,需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k
所以 k ?
2

? m2 ? 2 3m2 ? 8 8 2 ,所以 m ? , ? 0 又 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 ,所以 ? 2 8 3 ?3m ? 8

即m ?

2 6 2 6 或m ? ? , 3 3

因 为 直 线 y ? kx ? m 为 圆 心 在 原 点 的 圆 的 一 条 切 线 , 所 以 圆 的 半 径 为

m2 m2 8 2 6 r? ? ? ,r ? ,r ? , 2 2 2 3m ? 8 3 3 1? k 1? k 1? 8
2

m

所求的圆为 x 2 ? y 2 ?

8 , 3

8分

此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ?

2 6 2 6 或m ? ? ,而当切线的斜率不存在时切线 3 3

x2 y2 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 ,? ) 或 (? ,? ) 满足 与椭圆 ? ? 1 的两个交点为 ( 3 3 3 3 3 8 4 ??? ? ??? ? 8 OA ? OB ,综上, 存在圆心在原点的圆 x 2 ? y 2 ? ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 3 ??? ? ??? ? 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB .
为x??

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 因为 ? , 2 ? x x ? 2m ? 8 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
4km 2 2m2 ? 8 8(8k 2 ? m2 ? 4) ) ? 4? ? 所以 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? (? , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 ) 2
2 2

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ? y1 ? y2 ? ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 )
2

8(8k 2 ? m 2 ? 4) (1 ? 2k 2 ) 2

?

32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 k2 ? 4 ? [1 ? ], 3 4k ? 4k 2 ? 1 3 4k 4 ? 4k 2 ? 1

①当 k ? 0 时 | AB |?

32 1 [1 ? ] 1 3 2 4k ? 2 ? 4 k

因为 4k ?
2

1 1 1 32 32 1 ? 4 ? 8 所以 0 ? ? ,所以 ? [1 ? ] ? 12 , 2 1 1 k 8 3 3 2 2 4k ? 2 ? 4 4k ? 2 ? 4 k k
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

所以

2 4 时取”=”. 6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 k ? ? 2 3

② 当 k ? 0 时, | AB |?

4 6 . 3
2 6 2 6 2 6 2 6 ,? ) 或 (? ,? ) ,所以此时 3 3 3 3

③ 当 AB 的 斜 率 不 存 在 时 , 两 个 交 点 为 (

| AB |?

4 6 , 3

综上, |AB |的取值范围为

4 4 6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |? [ 6, 2 3] 3 3

12 分


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