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2016高考数学全国各地最新押题——甘肃省兰州一中2016届高三最后一次模拟(三模)数学(理)试题(含答案)


兰州第一中学 2016 届高三第三次模拟考试试题 数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 请将答案填在答题卡上.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
注意事项: 1. 答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清 楚,并请认真核准条形

码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定的位置贴好条形码. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后, 再选择其它答案标号,在试卷上答案无效. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知复数 z 满足 z ? A. 第一象限

(3 ? i)2 (i 为虚数单位), 则复数 z 所对应的点所在象限为( 1? i
B. 第二象限 C. 第三象限 ) D. 第四象限

)

2. 已知命题 p : ?x ? R, x ? 2 ? x ,命题 q : ?x ? R, x 2 ? 0 ,则( A. 命题 p ? (?q ) 是真命题 C. 命题 p ? q 是假命题

B. 命题 p ? q 是真命题 D. 命题 p ? (?q ) 是假命题

3. 向量 a, b 均为非零向量, (a ? 2b) ? a, (b ? 2a ) ? b ,则 a, b 的夹角为( A.

?

?

? ?

?

?

? ?



?
6

3 2x ?1 4.函数 f ( x) ? 的图象的对称中心是( 1? x
A. (0, 0) B. (1, ? 2)

B.

?

C.

2? 3

D.

5? 6

) C. (?2, 1) D. (1, ? 1)

5. 直线 m,n 均不在平面 α,β 内,给出下列命题: ①若 m∥n,n∥α,则 m∥α; ③若 m⊥n,n⊥α,则 m∥α; 其中正确命题的个数是( A.1 ) C.3 D.4 ②若 m∥β,α∥β,则 m∥α; ④若 m⊥β,α⊥β,则 m∥α.

B.2

6.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践,但去何工厂可自由选择,甲工厂必 须有班级要去,则不同的分配方案有( )
·1·

A.16 种

B.18 种

C.37 种

D.48 种

??? ? ??? ? ? x ? 4 y ? 3 ? 0, OP ? OA ? ? 的最大值是( 7. 已知点 P 的坐标 ( x, y ) 满足: ?3 x ? 5 y ? 25, A(2, 0) ,则 ??? | OA | ? x ? 1 ? 0, ?



A. 3

B. 4

C. 5

D. 6 )

8. 如图,当输入 a4=5, a3=4, a2=3, a1=2, a0=1, x= -1 时, 程序框图中输出的是( A.4 B.3 C.2 D.1
n=1, v= a4 开始 输入 a0, a1, a2, a3, a4, x

n≤4 ?




v=vx+a4- n

n=n+1

输出 v

结束

(m>0,n>0 ) 9. 若直线 mx ? ny ? 2 ? 0 截得圆 (x ? 3 )? (y ? 1 ) ? 1 的弦长为 2,则
2 2

1 3 ? 的最 m n

小值为( A. 4

) B. 12 C. 16 D. 6 )

π 3? 10. 已知当 x= 时,函数 f(x)=sin(x+φ)取得最小值,则函数 y=f( -x )满足( 4 4 π ? A.是奇函数且图象关于点? ?2,0?对称 B.是偶函数且图象关于点(π,0)对称 π C.是奇函数且图象关于直线 x= 对称 2 D.是偶函数且图象关于直线 x=π 对称 11. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的外接球的表面积是( A.4 ? C.12 ? B.6 ? D.24 ? )

·2·

12. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的减函数,其导函数 f ? ? x ? 满足 ( )

f ( x) ? x ? 2 ,则下列结论正确的是 f ?( x)

A.对于任意 x ? R , f ( x) <0 C.当且仅当 x ? ?? ?,1? , f ( x) <0

B.对于任意 x ? R , f ( x) >0 D.当且仅当 x ? ?1,?? ? , f ( x) >0

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
注意事项: 本卷共 10 小题,用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 若随机变量 ? ~ N (2, 1) ,且 P(? ? 3) =0.1587,则 P(? ? 1) ? __________.
a 3 3 3 2 ) (a>0)的展开式的第二项的系数为 ? ,则 ? x dx 的值是____. ? 2 6 2

14. 二项式(ax-

15. 在?ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边.若

sin C 3 =2,b2-a2= ac,则 cosB= 2 sin A

.

x2 y 2 16.设 F 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点,O 为坐标原点,点 A,B 分别在双曲线的两 a b
??? ? ??? ? 条渐近线上,AF?x 轴,BF∥OA, AB ? OB =0,则该双曲线的离心率为



·3·

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2, 且 2a1 , a3 ,3a2 成等差数列. (Ⅰ)求等比数列 ?an ? 的通项公式;
?b ? (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 bn ? log 2 an ,数列 ? n ? 的前 n 项和为 Tn . 求证: Tn ? 2 . ? an ?

18. (本小题满分 12 分) 近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、 呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机对入院的 50 人进行 了问卷调查得到了如下的列联表: 患心肺疾病 男 女 合计 10 50 不患心肺疾病 5 合计

已知在调查的 50 人中随机抽取 1 人,抽到患心肺疾病的人的概率为 (Ⅰ)请将上面的列联表补充完整;

3 . 5

(Ⅱ)是否有 99.5% 的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由; (Ⅲ)已知在患心肺疾病的 10 位女性中,有 3 位又患胃病.现在从患心肺疾病的 10 位女性中, 抽取 3 名进行其他方面的排查,记抽取患胃病的女性人数为 X,求 X 的分布列及数学期望. 下面的临界值表供参考:
2 P( K ? k ) 0.15

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k
(参考公式: K ?
2

2.072

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

·4·

19.(本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PA?平面 ABCD, AD∥BC, AD⊥CD, 且 AD ? CD ? 2 2, BC ? 4 2 , PA=2,点 M 在 PD 上. (Ⅰ)求证:AB⊥PC; (Ⅱ)若二面角 M-AC-D 的大小为 45? , 求 BM 与平面 PAC 所成角的正弦值.

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :
6 的正方形.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为 a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 Q(2, 0) 的直线与椭圆 C 相交于 A, B 两点, 点 P(3, 2) , 记直线 PA, PB 的斜率分别为 k1 , k2 , 当 k1 ?k2 最大时,求直线 l 的方程.

21. (本小题满分 12 分) 设 l 为函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 l 的方程;

ln x 在点(1,0)处的切线. x

(Ⅱ)证明:当 x ? 1 时, ( x ? 1)e x ?3 ? ln( x ? 1) ? 0 .

·5·

选考题:(请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分; 做 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.) 22. (本小题满分 10 分)选讲 4-1:几何证明选讲 如图,过圆 O 外一点 P 作圆的切线 PC,切点为 C,割线 PAB、割线 PEF 分别交圆 O 于 A 与 B、 E 与 F.已知 PB 的垂直平分线 DE 与圆 O 相切. (Ⅰ)求证:DE∥BF; (Ⅱ)若 PC ? 2 3 ,DE=1,求 PB 的长.

23(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? x ? 2 ? 2cos ? 已知曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数) .在平面直角坐标系中,以坐标原点为极 ? y ? 2sin ?

点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? 2 2 4
( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) .

?

(Ⅰ)求 C1 与 C2 交点的极坐标; (Ⅱ)P 是 C1 上的任意一点,过 P 点作与 C2 的夹角为 45 的直线交 C2 于点 A. 求∣PA∣的最大值.
?

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-3|. (Ⅰ)若不等式 f(x-1)+f(x)<a 的解集为空集,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若|a|<1,|b|<3,且 a≠0,判断

f (ab) b 与 f( )的大小,并说明理由. a a

·6·

甘肃省兰州第一中学 2016 届高三第三次模拟考试 数学(理科)参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 题号 答案 1 A 2 A 3 B 4 B 5 D 6 C 7 C 8 B 9 D 10 C 11 B 12 A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 0.8413 14. 3 15.
1 4

16.

2 3 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 解(Ⅰ)设数列 ?an ? 的公比为 q ,? 2a1 , a3 ,3a2 成等差数列,

? 2a1 ? 3a2 ? 2a3 , 2a1 ? 3a1q ? 2a1q 2 , ? 2q 2 ? 3q ? 2 ? 0 ,
解得 q ? 2 或 q ? ?

1 , 2
? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n . ……6 分
? bn 1 ? n ? ( )n , an 2

? q ? 0 ,? q ? 2

(Ⅱ)? bn ? log 2 an ? n ,

1 1 1 ?Tn ? 1? ( )1 ? 2 ? ( )2 ? ? ? n ? ( )n , 2 2 2 1 1 1 1 ? Tn ? 1? ( )2 ? 2 ? ( )3 ? ? ? n ? ( )n?1 . 2 2 2 2 1 1 1 1 1 相减得 Tn ? ( )1 ? ( )2 ? ? ? ( )n ? n ? ( )n?1 2 2 2 2 2
1 1 [1 ? ( )n ] 2 ? n ? ( 1 )n ?1 ? 1 ? (2 ? n) ? ( 1 )n ?1 . ?2 1 2 2 1? 2

1 Tn ? 2 ? (n ? 2) ? ( )n ? 2 . 2 18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)列联表补充如下 患心肺疾病

…….12 分

不患心肺疾病
·7·

合计

男 女 合计 (Ⅱ)因为 K 2 ?

20 10 30
2

5 15 20

25 25 50 ……2 分

n(ad ? bc) 2 ,所以 K ? 8.333 >7.789 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 2 又 P(k ? 7.789) ? 0.005 ? 0.5% . 所以,有 99.5% 的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的. ……4 分

(Ⅲ)解: X 的所有可能取值:0,1,2,3 C3 35 7 C1 C2 63 21 = = P(X=0)= 37 = ; P(X=1)= 3 3 7 = ; C10 120 24 C10 120 40 P(X=2)=
2 1 C3 C7 21 7 = = ; 3 C10 120 40

P(X=3)=

C3 1 3 = ; 3 C10 120

……8 分

分布列如下: X

0

1

2

3

P

7 24

21 40

7 40

1 120
……10 分 ………12 分

7 21 7 1 9 则 E(X)= 0 ? +1? +2 ? +3 ? = . 24 40 40 120 10 19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)取 BC 中点 E ,连结 AE ,
则 AD ? EC , AD // EC , 所以四边形 AECD 为平行四边形,故 AE ? BC , 又 AE ? BE ? EC ? 2 2 , 所以 ?ABC ? ?ACB ? 45? ,故

AB ? AC ,又 AB ? PA , AC ? PA ? A ,
所以 AB ? 平面PAC , 故有 AB ? PC (Ⅱ)方法一:如图建立空间直角坐标系 A ? xyz 则 A?0,0,0 ?, B 2 2 ,?2 2 ,0 , C 2 2 ,2 2 ,0 , P?0,0,2 ?, 【来源:全,品…中&高*考+网】设 PM ? ? PD ? 0,2 2? ,?2? ?0 ? ? ? 1? ,易得 M 0,2 2? ,2 ? 2? 设平面 AMC 的一个法向量为 n1 ? ? x, y, z ? ,
·8·

………………5 分

?

? ?

?

?

?

?

?

则?

? ?n1 ? AC ? 2 2 x ? 2 2 y ? 0

? ?n1 ? AM ? 2 2?y ? ?2 ? 2? ?z ? 0 2? 令 y ? 2 , 得x ? ? 2 , z ? , ? ?1
即 n1 ? ? ? 2 , 2 ,

? ?

2? ? ? …………8 分 ? ?1 ?

又平面 ACD 的一个法向量为 n2 ? ?0,0,1? ,

cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 n1 ? n2

?

2? ? ?1 ? 2? ? 4?? ? ? ? ?1 ?
2

? cos 45? ,

解得 ? ?

而 AB ? 2 2 ,?2 2 ,0 是平面 PAC 的一个法向量,
???? ? ??? ? ?8 ? 12 5 3 ? 设直线 BM 与平面 PAC 所成的角为?,则 sin ? ? cos BM , AB ? . 9 4?3 3

?

1 ,即 M 0, 2 ,1 , BM ? ? 2 2 ,3 2 ,1 , 2

?

?

?

?

?

故直线 BM 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 方法二:如图建立空间直角坐标系 A ? xyz .

5 3 9 .

…………………12 分

则 A?0,0,0 ?, B 2 2 ,?2 2 ,0 , C 2 2 ,2 2 ,0 , P?0,0,2 ?, 过点 M 作 MN⊥AD 于点 D,则 MN⊥平面 ABCD, 过点 N 作 NH⊥AC 于点 H,则∠MHN 为二面角 M-AC-D 的平面角, ……8 分 ∴∠MHN=45?, ∴MN=NH, 则 AN= 2 NH,则可设 M(0, 2 z,z) ,
???? ? ??? ? 由 PM / / PD ,得 z=1,∴M(0, 2 ,1) ,

?

? ?

?

……10 分

BM ? ? 2 2 ,3 2 ,1 ,而 AB ? 2 2 ,?2 2 ,0 是平面 PAC 的一个法向量,
???? ? ??? ? ?8 ? 12 5 3 ? 设直线 BM 与平面 PAC 所成的角为?,则 sin ? ? cos BM , AB ? . 9 4?3 3

?

?

?

?

·9·

故直线 BM 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意可得 a ? 6, b ? 所以椭圆 C 的方程是

5 3 . 9

…………………12 分

a 2

? 3.
. . .4 分 . . .5 分

x2 y 2 ? ?1. 6 3

(Ⅱ)当直线 l 的斜率不存在时,易得 k1 ? k2 ? 3 . 当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y ? k ( x ? 2), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .
? y ? k ( x ? 2) 联立 ? 2 ,消 y 得 (2k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 6 ? 0, 2 ?x ? 2 y ? 6

? x1 ? x2 ?

8k 2 8k 2 ? 6 , , x1 x2 ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1
?4k , 2k 2 ? 1

. . . . . .6 分

? y1 ? y2 ? k ( x1 ? 2) ? k ( x2 ? 2) ? k ( x1 ? x2 ) ? 4k ?

?2k 2 , 2k 2 ? 1 y ? 2 y2 ? 2 y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 6k 2 ? 8k ? 4 8k ? 5 ? k1 ? k2 ? 1 ? ? ? ? 3? 2 . . . . .8 分 2 x1 ? 3 x2 ? 3 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9 2k ? 3 2k ? 3 y1 y2 ? k ( x1 ? 2) ? k ( x2 ? 2) ? k 2 [ x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4] ?
令 8k ? 5 ? t ,则 k ?

t ?5 32t , k1 ? k2 ? 3 ? 2 . 8 t ? 10t ? 121
32 32 ? 3? ?4, 121 22 ? 10 t? ? 10 t

只考虑 t ? 0 的情形, k1 ? k2 ? 3 ?

. . . . .10 分

11 ? 5 ?2, 8 故所求直线 l 的方程为 y ? 2( x ? 2) ,即 2 x ? y ? 4 ? 0 .
当且仅当 t ? 11 时,等号成立,此时 k ? 另解提示:求 k1 ? k2 ?
2 2

. . . . .12 分

6k ? 8k ? 4 6k ? 8k ? 4 ,令 t= ,则(2t-6)k2-8k+3t-4=0. 2 2k ? 3 2k 2 ? 3 1 由?=64-4(2t-6)(3t-4)?0,得 ? t ? 4 ,即 k1 ?k2 的最大值为 4, 3 2 此时由 2k -8k+2=0 得 k=2, 故所求直线 l 的方程为 y ? 2( x ? 2) , 即 2x ? y ? 4 ? 0 .

21. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) f ( x) 的定义域为 {x | x ? 0}, ? f ?( x) ?

1 ? ln x , f ?(1) ? 1 x2 ? f ( x) 在点 (1, 0) 处的切线 l 的方程为 y ? 0 ? 1? ( x ? 1) ,即 x ? y ? 1 ? 0 .
·10·

….1 分 ……4 分

(Ⅱ)令 g ( x) ? e x ? ( x ? 1) ,则 g ?( x) ? e x ? 1 ,由 g ?( x) ? 0 得 x ? 0 ,
? g ( x) 在区间 (??, 0) 上单调递增,在区间 [0, ? ? ) 上单调递减,

? g ( x)min ? g (0) ? 0 ,? 对 ?x ? [0, ? ?) ,有 e x ? x ? 1 成立,用 x ? 3 替换 x 得 e x ?3 ? x ? 2 ,

故当 x ? 1 时,不等式 ( x ? 1)ex ?3 ? ( x ? 1)( x ? 2) 恒成立. 设 h( x) ? ( x ? 1)( x ? 2) ? ln( x ? 1), x ? 1 .
1 2( x ? )( x ? 2) 2 , ? x ? 1, ? h?( x) ? 0 ? x ? 2, 故 h?( x) ? x ?1



….8 分

? h( x) 在区间 (1, 2) 上单调递减,在区间 [2, ? ? ) 上单调递增,? h( x)min ? h(2) ? 0 ,

故对 ?x ? 1 , 不等式 ( x ? 1)( x ? 2) ? ln( x ? 1) ? 0 恒成立, 即对 ?x ? 1 ,不等式 ( x ? 1)( x ? 2) ? ln( x ? 1) 恒成立. 综合①、②得,对 ?x ? 1 , ( x ? 1)ex ?3 ? ln( x ? 1) , 即 ( x ? 1)e x ?3 ? ln( x ? 1) ? 0 恒成立. 22. (本小题满分 10 分)选讲 4-1:几何证明选讲 (Ⅰ)证明:连接 BE,? DE 与圆 O 相切于 E , ?? B E D ? ?, F 又∵DE 垂直平分 BP,∴∠BED=∠DEF ? DE / / BF ∴∠F=∠DEF (Ⅱ)解:设 PD ? x, DA ? y, ? PA ? x ? y , 又? D 这 PB 的中点, ?DB ? x, PB ? 2 x.
2 ? ?( x ? y) ? 2 x ? (2 3) , 由切割线定理得 ? 2 ? ? yx ? 1 ,



…..12 分

…….5 分

解得 x ? 5.

? PB ? 2 x ? 2 5 .

…….10 分

23(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)将 ?

? x ? 2 ? 2cos ? , 2 2 消去参数 ? ,得 ? x ? 2? ? y ? 4 , y ? 2sin ? ?
2

所以 C1 的普通方程为: x

? y 2 ? 4x ? 0 .
解得 ?

将曲线 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程得: x ? y ? 4 ? 0 . 由?

? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0, ? x ? y ? 4 ? 0,

? x ? 4, ? x ? 2, 或? ? y ? 0 ? y ? ?2.

所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为

? 4,0? 或 ? ?2
?
·11·

2,

7? 4

? ? . ……………………5 分 ?

(2 ? 2cos ?, 2sin ?), (Ⅱ)设 P PP到直线 C2 的距离为 d ,

d?

2 ? 2cos ? ? 2sin ? ? 4 2

? ? 2 sin ? ? cos ? ? 1 ? 2 2 sin (? ? ) ?1 . 4

d max ? 2? ( 2 2 ? 1) ? 2 2 ? 2. ………………………10 分 ? sin 4 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 (Ⅰ)因为 f ( x ? 1) ? f ( x) ?| x ? 4 | ? | x ? 3 | ≥ | x ? 4 ? 3 ? x |? 1 , 不等式 f ( x ? 1) ? f ( x) ? a 的解集为空集,则 1 …a 即可, 所以实数 a 的取值范围是 (?? , ………………………5 分 1] . PA max ?
(Ⅱ)
f (ab) b f (ab) b ? f ( ) ,证明:要证 ? f ( ) ,只需证 | ab ? 3 | ? | b ? 3a | , |a| a |a| a

即证 (ab ? 3) 2 ? (b ? 3a) 2 , 又 (ab ? 3) 2 ? (b ? 3a) 2 ? a 2 b 2 ? 9a 2 ? b 2 ? 9 ? (a 2 ? 1)(b 2 ? 9) , 因为 | a |? 1 , | b |? 3 , 所以 (ab ? 3) 2 ? (b ? 3a) 2 ? 0 ,所以原不等式成立. ………………………10 分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

·12·


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