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高中数学人教版必修4三角函数的图像与性质(学案)有答案


1.4 三角函数的图象与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
学习目标 1、会用“五点法”和“几何法”画正弦函数、余弦函数的图,体会“几何法”作正弦函数 图象的过程,提高动手能力; 2、通过函数图象的应用,体会数形结合在解题中的应用; 3、三角函数图象和图象的应用; 自主梳理 1. 正弦函数(或余弦函数)的概念 任意给定一个实数 x ,有唯一确定的值 sin x (或 cos x )与之对应,由这个对应法则所确定 的函数 y ? sin x (或 y ? cos x )叫做正弦函数(或余弦函数) ,其定义域为 2. 正弦曲线或余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做 3. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : 。





(1)正弦函数 y ? sin x, x ? ?0,2? ?的图象中,五个关键点是: , , 。



(2)余弦函数 y ? cos x, x ? ?0,2? ? 的图象中,五个关键点是: , 预习检测 1、函数 y ? sin( x ? , 。



?
3

) 的定义域为____________________;值域为____________________;

2、函数 y ? 2 cos( x ?

?
3

) 的定义域为__________________;值域为____________________;

互动课堂 问题探究 1: 【例】 作出函数 y ? 1 - cos x 在 [?2? ,2? ] 上的图像; 【变式】 y ? sin(

1 3

x ? 3? ); 2

问题探究 2: 【例】已知 x ? [ ?

? 3

3 , ? ] ,解不等式 sin x ? ? ; 2 2 2
1

【变式】已知 x ? R ,解不等式 sin x ? ?

3 ; 2

问题探究 3: 【例】求下列函数的值域: (1) y ?| sin x | ? sin x (2) y ? 2 sin( 2 x ? (3) y ?

?
3

), x ? [?

? ?

cos x ? 2 cos x ? 1

, ] 6 6

【变式】求函数 y ? 3 sin x ? 4 sin x ? 1, x ? [
2

?
3

, ? ] 的值域;

问题探究 4: 【例】 (1)讨论方程 lg x ? sin x 解的个数; (2)若函数 f ( x) ? sin x ? 2 | sin x |, x ?[0,2? ] 与直线 y ? k 有且仅有两个不同的交点,求

k 的取值范围;
【变式】当 k 为何值时,方程 sin x ? 2 | sin x |? k 有一解、三解、四解?

课堂练习 1、在同一坐标系内的函数 y ? sin x 与 y ? cos x 的图象的交点坐标是 A. (k? ,0), k ? Z B ( )

(2k? ?

?
2

,1), k ? Z

C

(k? ?

?
2

, (?1) k ), k ? Z

D

(k? ?

? (?1) k
4 , 2

), k ? Z

2、下面有四个判断: ① 作正、余弦函数的图象时,单位圆的半径长与 x 轴上的单位长可以不一致; ② y ? sin x, x ? ?0,2? ?的图象关于 P (? ,0) 成中心对称; ③ y ? cos x, x ? ?0,2? ? 的图象关于直线 x ? ? 成轴对称; ④ 正、余弦函数的图象不超过两直线 y ? 1, y ? ?1 所夹的范围。 其中正确的有 ( )

2

A 1个 B 2个 C 3、与图中曲线对应的函数是

3个 (

D )

4个

y 1 -π
A

x π
B

O


C

y ? sin x

y ? sin x

y ? ? sin x

D

y ? ? sin x
) D

4、在 (0,2? ) 内,使 sin x ? cos x 成立的 x 的取值范围是( A

? ? 5? ( , ) ? (? , ) 4 2 4

B

( ,? ) 4

?

C

? 5? ( , ) 4 4

? 5? 3? ( ,? ) ? ( , ) 4 4 2

反思总结: 1、这节课你学到了哪些知识和解题方法; 2、这节课你学到了哪些数学思想方法? 3、你还有哪些收获? 选作:函数 y ? f (x) 的图象与直线 x ? a, x ? b 及 x 轴所围成图形的面积成为函数 f (x) 在

? 2 ? [a, b] 上的面积, 已知函数 y ? sin nx 在 [0, ] 上的面积为 , n ? N , (1) 则 函数 y ? sin 3x n n 2? ? 4? ] 上的面积为___________________; ] 上的 在 [ 0, (2)函数 y ? sin(3x ? ? ) ? 1在 [ , 3 3 3
面积为_______________________;

1.4.2

正、余弦函数的性质(一)

学习目标 1、理解周期和周期函数的概念,掌握正弦函数、余弦函数的周期性; 2、掌握证明或求解函数周期的基本方法; 3、通过正弦、余弦函数的图象来理解函数的性质,培养数形结合的能力; 自主预习 1. 周期函数的定义:对于函数 f (x) ,如果存在一个非零常数 T ,使得当 x 取定义域内的 每一个值时,都有: f ( x ? T ) ? f ( x) ,那么函数 f (x) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫 做这个函数的周期。若函数 f (x) 的周期为 T ,则 也是 f (x) 的周期。即

f ( x) ? f ( x ? T ) ? f ( x ? 2T ) ? ... f ( x ? kT ), k ? Z , k ? 0

3

2. 正弦函数 y ? sin x, x ? R 是周期函数,它的周期是 正周期是 ;

;最小

3. 正弦函数 y ? cos x, x ? R 是周期函数,它的周期是 正周期是 ;

;最小

4. 函数 y ? A sin(?x ? ? ), x ? R, (其中 A, ? , ? 为常数,且 A ? 0, ? ? 0 )是周期函数, 它的最小正周期 T = ;

5. 函数 y ? A cos(?x ? ? ), x ? R, (其中 A, ? , ? 为常数,且 A ? 0, ? ? 0 )是周期函数, 它的最小正周期 T = 预习检测: 1、函数 y ? 2 sin 2 x 的最小正周期为____________; 2、函数 y ? 2 cos ;

1 x ? 3 的最小正周期为____________; 2

互动探究 问题探究 1: 【例】 (1)下列函数中,周期为 A

? 的是 2

( ) C

y ? sin

x 2

B

y ? sin 2 x

y ? cos

x 4

D

y ? cos 4 x

(2)函数 y ? sin(ax ? ? ) ( a ? 0 )的周期为 【变式】 (1)函数 y ? 3 cos( A

2 ? 5

2 ? x ? ) 的最小正周期是 ( 5 6 5 2? ? B C 2

) D

5?

(2)函数 y ?

sin x 的周期是 tan x

问题研究 2: 【例】 作出下列函数的图象,并根据图象判断函数是否为周期函数。若为周期函数,说出 其最小正周期。 (1) y ? sin x (2) y ? sin x

4

【变式】 求函数 y ?| cos( 2 x ?

?
6

) | 的最小正周期;

课堂练习 1、设函数 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
2

), x ? R ,则 f (x) 是 (



A 最小正周期为 ? 的奇函数 C 最小正周期为

? 的奇函数 2

B 最小正周期为 ? 的偶函数 D 最小正周期为

? 的偶函数 2

2、作出函数 y ? 2 cos x ? 1 的图象,并根据图象判断函数是否为周期函数。若为周期函数, 说出其最小正周期。

反思总结: 1、这节课你学到了哪些知识和解题方法; 2、这节课你学到了哪些数学思想方法? 3、你还有哪些收获?

1.4.2

正、余弦函数的性质(二)

学习目标: 1、掌握正弦、余弦函数的奇偶性、单调性、对称性; 2、通过正余弦函数的图象来理解性质,培养数形结合的能力; 3、体会正余弦函数的有界性,并根据此性质来解决一些最值有关的问题; 自主梳理: 1. 奇偶性 (1) 正弦函数的奇偶性:如果点 ( x, y ) 是函数 y ? sin x 的图象上任意一点,那么与它关 于原点对称的点__________也在函数 y ? sin x 的图象上, 这时我们说函数 y ? sin x 是_______函数。即:若__________________,则称函数 f (x) 为奇函数。 (2) 余弦函数的奇偶性:如果点 ( x, y ) 是函数 y ? cos x 的图象上任意一点,那么与它关 于 y 轴 对 称 的 点 ___________ 也 在 函 数 y ? cos x 的 图 象 上 , 这 时 我 们 说 函 数

y ? cos x 是_______函数。即:若__________________,则称函数 f (x) 为偶函数。
2. 单调性

5

(1) 正弦函数在每一个闭区间______________________________上都是增函数,其值从

? 1 增大到 1 ;在每一上闭区间______________________________上都是减函数,其值从1 减 小到 ? 1 。
(2) 余弦函数在每一个闭区间______________________________上都是增函数,其值从

? 1 增大到 1 。在每一个闭区间______________________________上都是减函数,其值从1 减 小到 ? 1 。
3. 对称轴、对称中心 正弦曲线的对称轴为________________________;对称中心为_______________________; 余弦曲线的对称轴为________________________;对称中心为_______________________;

预习检测 1、函数 y ? 2 sin 2 x 的单调递增区间为_____________________; 2、比较大小: sin 1940 ________ 1600 ; cos 3、函数 y ? A 奇函数

2 sin 2x 的奇偶性为 ( )
B 偶函数 C 既奇又偶函数 D 非奇非偶函数

互动探究 问题探究 1: 【例】判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ?

5 2 sin( 2 x ? ? ) 2

(2) f ( x) ? 2 sin x ?1

【变式】 f ( x) ? lg(sin x ? 1 ? sin 2 x ) 问题探究 2: 【例】求函数 y ? 3 sin( 2 x ?

?
6

) 的对称轴方程;

【变式】若 f ( x) ? sin x ? a cos x 的图象关于直线 x ?

?
6

对称,求 a 的值;

问题探究 3:

6

【例】求下列函数的单调区间: (1) y ? sin(

?

x ? ? 2 x) ; (2) y ? log1 cos( ? ) 4 3 4 2

【变式】求函数 y ? ? | sin( x ?

?
4

) | 的单调区间;

问题探究 4: 【例】 求下列函数的值域: (1)y ? 3 ? 2 cos( 2 x ?

?
3

); (2)y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

), x ? [?

? ?

, ] 6 6

【变式】若 y ? a ? b sin x 的值域是 [?

1 3 , ] ,求 a, b 的值; 2 2

课堂练习 1、同时具有以下性质: “①函数的最小正周期是 ? ;②函数图象关于直线 x ? 在 ??

?
3

对称;③

? ? ?? 上是增函数”的一个函数是 ( , ? 6 3? ?
x ? ? ) 2 6
B y ? cos( 2 x ?



A y ? sin(

?
3

)

C

y ? sin( 2 x ?

?
6

)

D

y ? cos( 2 x ?

?
6

)

2、 (1)函数 y ? sin( x ?

?
2

)( x ? R) 在 (
B



A

? ? ?? ?? 2 , 2 ? 上是增函数 ? ?

?0, ? ?上是减函数

C

?? ? ,0? 上是减函数
2 3

D ?? ? , ? ?上是减函数 ) D 既奇又偶函数

(2) y ? 2 sin x ? cos x ? 2 cos x 的奇偶性为 ( A 奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶函数

3、已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 的图象关于直线 x ? A

?
8

对称,则 ? 可能是( ) D

? 2

B

?

?
4

C

4、已知函数 f ( x ) ? sin(?x ? A 关于直线 x ? C 关于点 (

?

? 4

3? 4

?
4

3

)(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象 ( )
B 关于点 (

对称

?
4

,0) 对称

?
3

,0) 对称

D 关于直线 x ?

?
3

对称

7

反思总结: 1、这节课你学到了哪些知识和解题方法; 2、这节课你学到了哪些数学思想方法? 3、你还有哪些收获?

选做: y ? ?2 cos(

1 ? 28 x ? ), x ? [ ? , a] ,若该函数是单调函数,求实数 a 的最大值; 2 3 5

1.4.3 正切函数的性质与图象
学习目标: 1、理解并掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性、值域等相关性质. 2、会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象. 3、经历根据正切函数的性质描绘函数图象的过程,进一步体会函数线的作用. 自主梳理 1.正切函数 y ? tan x 的定义域是 ;

2.回顾跟正切函数有关的诱导公式,想一想:正切函数是周期函数吗?如果是,那么 最小正周期是 ; (奇、偶)函数;

3. 回顾跟正切函数有关的诱导公式,想一想:正切函数是

4.正切函数在每个开区间_____________________________内均为增函数; 预习检测 1.函数 y ? tan ? 2 x ?

? ? ? ?

?? ??

? 的定义域是 4? ? 的最小正周期是 4?
8



2.函数 y ? tan ? 2 x ?



3. 比较大小: tan100?

tan 200? ;

互动探究 问题探究 1 【例】求函数 f ( x) ? ln(tanx) 的定义域; 【变式】求函数 y ? 问题探究 2 【例】若 x ? [ ?

1 的定义域; tan x(tan x ? 3)

? ?

1 , ] ,求函数 y ? ? 2 tan x ? 1 的最值及相应的 x 的值; 3 4 cos 2 x

【变式】函数 y ? sin x ? tan x, x ? [?

? ?

, ] 的值域为 4 4

问题探究 3 【例】作出函数 y ? tan(

1 ? x ? ) 在一个周期内的图象; 2 3

【变式】作出函数 y ? tan x ? sin x? | tan x ? sin x | 在区间 (

? 3?
2 , 2

) 内的大致图象;

问题探究 4 【例】 (1) 求函数 f ( x ) ? 3 tan( 的大小; 【变式】是否存在实数 a ,且 a ? Z ,使得函数 y ? cot( 增的?若存在,求出 a 的一个值;若不存在说明理由;

?

x 3? ? ) 的周期和单调递减区间; 试比较 f (? ) 与 f ( ) (2) 2 6 4

?

? 5? ? ax ) 在 x ? ( , ) 上是单调递 4 8 8

问题探究 5 【例】 (1)求函数 y ? sin x ? tan x 的定义域; (2)画出函数 y ?| tan x | 的简图,并根据图象写出其最小正周期和单调区间;

9

【变式】利用正切函数的图象解不等式 tan x ? 【课堂练习】 1、与函数 y ? tan ? 2 x ?

3 3

? ?

??

? 的图象不相交的一条直线是( 4?



? A? x ?

?
2

? B? x ? ?

?
2

?C ? x ?

?
4

? D? x ?


?
8

2、函数 y ? 1 ? tan x 的定义域是

3、函数 y ?

2 的最大值是 tan x ? 2 tan x ? 2
2



4、已知函数 y ? tan ?x 在 ( ? 5、函数 y ?| tan( x ? 选做:

? ?

?
4

, ) 内是减函数,则 ? 的取值范围是____________; 2 2

) | 的单调递增区间是__________________;

? 已知函数 f ( x) ? tan( x ? ? ) ,且对于定义域内任何实数 x ,

? ? 都有 f ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) ,试比较 tan( a ? ? ? 3? ) 与 tan( a ? ? - 3? ) 的大小;

1.4 三角函数的图象与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
自主梳理 1、 R 2、正弦曲线 余弦曲线 3、 (1) (0,0) 、 (

?
2

,1) 、 (? ,0) 、 (

(2) (0,1) 、 ( 预习检测 1、 R 互动课堂 问题探究 1: 【例】 图略

?
2

,0) 、 (? ,?1) 、 (

3? ,0) 、 (2? ,1) 2

3? ,?1) 、 (2? ,0) 2

[ ?1, 1]

2、 R

[?2,] 2

10

【变式】图略 问题探究 2: 【例】 [ ?

? 4?
3 , 3

]

【变式】 [2k? ? 问题探究 3:

?
3

,2k? ?

4? ], k ? Z 3
(3) [ ,?? )

【例】 (1) [0,2] (2) [0,2] 【变式】 [? ,1] 问题探究 4: 【例】 (1)3 个

3 2

1 3

(2) 1 ? k ? 3 三解: k ? 0或k ? 1 四解: 0 ? k ? 1

【变式】一解: k ? 3 课堂练习 1、D 2、C 3、B 4、C

选作:

4 3

??

2 3

1.4.2
自主预习 (3) kT , k ? Z , k ? 0 (4) 2k? , k ? Z , k ? 0 (5) 2k? , k ? Z , k ? 0

正、余弦函数的性质(一)

2? 2?

2? ? 2? (7) ?
(6) 预习检测: (4) ? (5) 4?

11

互动探究 问题探究 1: 【例】 (1)D (2) 【变式】 (1)D (2) 2? 问题研究 2: 【例】 (1)图略 不是周期函数 (2)图略 周期为 ? 【变式】

2? |a|

? 2

课堂练习 1、B 2、图略 不是周期函数

1.4.2
自主梳理: (3)奇偶性 4、 (? x,? y ) (4)单调性 (1) ?? 奇

正、余弦函数的性质(二)

f ( ? x ) ? ? f ( x)

(2) (? x, y )



f ( ? x) ? f ( x)

? ? ? ? ? 2k? , ? 2k? ?(k ? Z ) 2 ? 2 ?

3? ?? ? ? 2 ? 2k? , 2 ? 2k? ?(k ? Z ) ? ?

(2) ?(2k ? 1)? ,2k? ?(k ? Z ) (5)对称轴、对称中心

?2k? , (2k ? 1)? ?(k ? Z )
Z;

x ? k? ?

?
2

,k ?Z

0 ? k?,? , k?

x ? k? , k ? Z

? ? ? 0 ? k? ? ,? , k ? Z 2 ? ?

12

预习检测 4、 [k? ? 5、 ? 3、A 互动探究 问题探究 1: 【例】

?
4

, k? ?

?
4

], k ? Z

5 2 sin( 2 x ? ? ) ? 2 cos 2 x 故为偶函数 2 ? 5? ], k ? Z 不关于原点对称,故为非奇非偶函数 (2)定义域为 [2k? ? ,2k? ? 6 6
(1) f ( x) ? 【变式】奇函数 问题探究 2: 【例】 x ?

k? ? ? ,k ?Z 2 6

【变式】 3 问题探究 3:

5? ? ? 3? , k? ? ], k ? Z ], k ? Z 减区间: [ k? ? , k? ? 8 8 8 8 3? 3? 9? 3? ,6k? ? ), k ? Z ,6k? ? ], k ? Z (2)增区间: [6k? ? 减区间: (6k? ? 4 4 4 4
【例】 (1)增区间: [ k? ? 【变式】增区间: [k? ?

3? ? , k? ? ], k ? Z 4 4

减区间: [k? ?

?

, k? ? ], k ? Z 4 4

?

问题探究 4: 【例】 (1) [1,5] 【变式】 a ? (2) [0,2]

1 1 , b ? 1 或 a ? , b ? ?1 2 2

课堂练习 1、C 2、 (1)B 3、C 4、C 选做:

(2)B

22? 3

13

1.4.3 正切函数的性质与图象
自主梳理 1. {x | x ? 2. ? 3.奇 4. (? 预习检测 1. {x | x ? 2.

?
2

? k? , k ? Z }

?
2

? k? ,

?
2

? k? ), k ? Z

?
8

?

? 2

k? , k ? Z} 2

3. ? 互动探究 问题探究 1 【例】 (k? , 【变式】 (? 问题探究 2 【例】当 x ? ? 【变式】 [? 问题探究 3 【例】图略 【变式】图略 问题探究 4 【例】 (1) T ? 4? (2) f (? ) ? f ( 减区间: [4k? ?

?

?

2

? k? ), k ? Z

? k? , k? ) ? (k? , k? ? ) ? (k? ? , k? ? ), k ? Z 2 3 3 2

?

?

?

?
4

时, ymin ? 1 ;当 x ?

?
4

时, ymin ? 5

2 2 ? 1, ? 1] 2 2

3? ) 2 【变式】存在, a ? ?2

4? 8? ,4k? ? ], k ? Z 3 3

14

问题探究 5 【例】 (1) {x | 2k? ? x ? 2k? ? (2)图略 T ? ? 【变式】 [k? ? 【课堂练习】 1、D 2、 (k? ?

?
2

, k ? Z } ? {x | x ? 2k? ? ? , k ? Z }

增区间: [k? , k? ?

?
2

), k ? Z

减区间: ( k? ?

?
2

, k? ], k ? Z

?

, k? ? ), k ? Z 6 2

?

?

, k? ? ], k ? Z 2 4

?

3、2
4、 ? 1 ? ? ? 0 5、 [k? ?

?

, k? ? ), k ? Z 4 4

?

? ? 选做: tan( a ? ? ? 3? ) ? tan( a ? ? - 3? )

15



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