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2011年湖南省益阳市一中保送生招生考试数学试卷及参考答案


2011 年益阳市一中保送生招生考试数学试卷
时量:90 分钟 总分 120 分 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) 1、 2010 年湖南省重点工程完成投资 1230 亿元, 1230 亿元用科学记数法表示为(保留两个有 效数字)( ) E 3 A.1.2×10 元 B.1.2×1010 元 C.1.2×1011 元 D.1.23×1011 元 C D 2、如图,AB∥CD,∠1=120? ,∠ECD=70? ,∠E 的大小是( ) 1 A.30? B.40? C.50? D.60? A B 3、只用下列图形不能进行平面镶嵌的是( ) A.正六边形 B.正五边形 C.正四边形 D.正三边形 2 4、若关于 x 的一元二次方程 mx ―2x―1=0 无实数根,则一次函数 y=(m+1)x-m 的图象 不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5、 “赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形(如图所示), 小亮同学随机地向大正方形及其内部区域投针,若直角三角形的两条直角边的 长分别是 2 和 1,则针扎到小正方形(阴影)区域的概率是( ) 1 1 1 5 A. B. C. D. 3 4 5 5 6、下列命题中,真命题的个数是( ) ① 下列数据 1,3,3,1,2 的方差是 0.8。 ② 对角线互相平分且相等的四边形是菱形; ③依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形是平行四边形; ④一元一次不等式 2 x ? 5 ? 11 的正整数解有 3 个; ⑤二次函数 y ? x ? 3x ? 4 的图象关于直线 x=3 对称;
2

A.1 个 B.2 个 C .3 个 D.4 个 7、如图,在□ABCD 中,E 为 AD 的中点,△DEF 的面积为 1, 则□ABCD 的面积为( ) A.4 B. 6 C.8 D.12
2

A B
2

E F
7 题图

D C

8、抛物线 y ? ax ? bx ? c 的图象如图所示,则一次函数 y ? ?bx ? b ? 4ac 与反比例函数

y?

a?b?c 在同一坐标系内的大致图象为( x
y

) y x x y x O D.

y x x

y

-1

| O 1| 、 、

O A.
2

O B.

O C.

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) 9、因式分解: 2a ? 8 ? 。 x+2 10、函数 y= 中,自变量 x 的取值范围是 x-4



11、六名同学在“爱心捐助”活动中,捐款数额为 8,10,9,10,4,6(单位:元) ,这组 数据的中位数是 。
1

12、小华买了一件衣服和一条裤子,共用了 306 元,其中衣服按标价打七折,裤子按标价打 八折,衣服的标价为 300 元,则裤子的标价为 元. 13、已知实数 x, y满足x 2 ? 3x ? y ? 3 ? 0, 则x ? y 的最大值为 。

14、如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠BCD=90? ,AB=25cm,BC=24cm.将该梯形折 叠,点 A 恰好与点 D 重合,BE 为折痕,那么 tanA= . 15、如图,EB 为半圆 O 的直径,点 A 在 EB 的延长线上,AD 切半圆 O 于点 D,BC⊥AD 于点 C,AB=2,半圆 O 的半径为 2,则 BC 的长为 。 16、如图,在直角坐标系中,已知点 A(?3,0) , B(0,4) ,对△ OAB 连续作旋转变换,依次得 到三角形①、②、③、④、?,则三角形⑩的直角顶点的坐标为 y 4 B D C
14 题图



D E A

C

① A A O 4


16 题图

③ ④ 8 12 16 x

B

E

15 题图

O

B

三、解答题(本大题共 2 小题,每小题 6 分,共 12 分) a2+ab a2-ab 17、先化简,再求值: · 2 ; 其中 | a ? tan 60 0 | ? b ? 3 ? 0 b2 a -b2

18、解不等式组,并把解集在数轴上表示出来.

?5x+2>3(x-1), ? 3 1 ? 7- x≥ x-1. ? 2 2 ?

① ②

2

四、解答题(本大题两小题,每小题 8 分,共 16 分) 19、如图 ,在 △ ABC 中, AB ? AC,?A ? 36° ,线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D, 交 AC 于 E,连接 BE. (1)求∠CBE 的大小; (2)求证: AE ? AC EC .
2

20、某班 13 位同学参加每周一次的卫生大扫除,按学校的要求需要完成总面积为 80 m 的三 个项目任务,三个项目的面积比例和每人每分钟完成各项目的工作量如图所示:

2

各项目面积比例统计图

每人每分钟完成各项目工作量统计 面积(m2)
1 2

地面 55% 玻璃 20% 课桌椅 25%

1 3

1 4

项目 擦玻璃 擦课桌椅 扫地拖地

(1) 在扇形统计图中表示擦玻璃的扇形的圆心角等于
2

度。

(2) 如果 x 人每分钟擦课桌椅面积是 y m , 那么 y 关于 x 的函数关系式是________________; (3) 他们一起完成扫地拖地的任务后, 把这 13 人分成两组,一组去擦玻璃,一组去擦课桌椅, 如果你是卫生委员,该如何分配这两组的人数,才能最快地完成任务?

3

五、解答题(本大题两小题,每小题 10 分,共 20 分) 21、如图,AB 是⊙O 的直径,BD 是⊙O 的弦,延长 BD 到点 C,使 DC=BD,连结 AC,过点 D 作 DE⊥AC,垂足为 E. A (1)求证:AB=AC; (2)求证:DE 为⊙O 的切线; (3)若⊙O 的半径为 5,∠BAC=60°,求 DE 的长. O E C D B

22、某商场试销一种成本为每件 60 元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且 获利不得高于 45%, 经试销发现, 销售量 y(件) 与销售单价 x (元) 符合一次函数 y ? kx ? b , 且 x ? 65 时, y ? 55 ; x ? 75 时, y ? 45 . (1)求一次函数 y ? kx ? b 的表达式; (2)若该商场获得利润为 W 元,试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式;销售单价 定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元? (3)若该商场获得利润不低于 500 元,试确定销售单价 x 的范围.

4

六、解答题(本大题两小题,每小题 12 分,共 24 分) 23、如图,已知矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,P 是边 BC 延长线段上的一点,连接 AP 交 边 CD 于点 E,把射线 AP 沿直线 AD 翻折,交射线 CD 于 Q,设 CP=x,DQ=y (1)求 y 与 x 的函数关系式,并写出 x 的取值范围; (2)当点 P 运动时,△APQ 的面积是否会发生变化?如果发生变化,请求出△APQ 的面 积 S 关于 x 的函数关系式;如果不发生变化,请说明理由。 (3)当以 4 为半径☉Q 与直线 AP 相切,且☉Q 与☉A 也相切时,求☉A 的半径。

Q

A

D

B

23 题图

C

P

∥ O, C 24 、 如 图 所 示 , 已 知 在 直 角 梯 形 O A B C 中, AB

B ⊥C 轴 x 于点

C,A(11) ,、B(31) ,. 动点 P 从 O 点出发, 沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度移动. 过
P 点作 PQ 垂直于直线 P Q ,△O ..OA ,垂足为 Q .设 P 点移动的时间为 t 秒( 0 ? t ? 4 )
直角梯形 OABC 重叠部分的面积为 S . (1)求经过 O、A、B 三点的抛物线解析式; (2)求 S 与 t 的函数关系式; (3)将 △OPQ 绕着点 P 顺时针旋转 90 ° ,是否存在 t ,使得 △OPQ 的顶点 O 或 Q 在抛 物线上?若存在,直接写出 t 的值;若不存在,请说明理由. y 2 1 Q O P 1 第 24 题图 A F B C 3 与

x

5

2011 年益阳市一中保送生招生考试数学试卷参考答案
一、选择题
题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 C 5 C 6 B 7 D 8 D

二、填空题 9、2(a-2)(a+2) 13、4 10、 x ? ?2且x ? 4 14、 11、8.5 15、1 12、120 16、 (36,0)

4 3

三、解答题(本大题共 2 小题,每小题 6 分,共 12 分) 17、 解: 原式 ?

a ( a ? b) a ( a ? b) a2 ???????????? (3 分) ? b2 (a ? b)(a ? b) b2

| a ? tan 600 | ? b ? 3 ? 0 ?a ? tan 600 ? 3, b ? ?3 ????(5 分)
当 a ? 3, b ? ?3时,原式= 18、

( 3) 2 1 ? (?3)2 3

??????????? (6 分)

5 ?5 x ? 2 ? 3( x ? 1) ? ?2 x ? ?5 ? x ? ? 5 ? ?? ?? 解: ? 2 ? ? ? x ? 4 ???(5 分) 3 1 2 7 ? x ? x ? 1 ?2 x ? 8 ? ? ? 2 2 ?x ? 4
? 5O 2
0 4 ?????(6 分)

四、解答题(本大题两小题,每小题 8 分,共 16 分) 19、如图 ,在 △ ABC 中, AB ? AC,?A ? 36° ,线段 AB 的垂直平 分线交 AB 于 D,交 AC 于 E,连接 BE. (1)求∠CBE 的大小;
2 (2)求证: AE ? AC EC .

(1)∵DE 是 AB 的垂直平分线,∴ EA ? EB ,∴ ?EBA ? ?A ? 36° ??(1 分) ∵ AB ? AC,?A ? 36°, ∴ ?ABC ? ?C ? 72° ?????????? (2 分) ∴ ?CBE ? ?ABC ? ?EBA ? 36° . ????????????????? (3 分) ,?CBE ? 36°, (2)由(1)得,在△BCE 中, ?C ? 72° ∴ ?BEC ? ?C ? 72° ,??????????????????????? (4 分) ∴ BC ? BE ? AE ??????????????????????????(5 分) 在△ABC 与△BEC 中, ?CBE ? ?A , ?C ? ?C , ∴ △ ABC ∽△BEC .∴

AC BC 2 ? ,即 BC ? AC EC .?????(7 分) BC EC
6

故 AE 2 ? AC EC . ?????????????????????? (8 分) 20、某班 13 位同学参加每周一次的卫生大扫除,按学校的要求需要完成总面积为 80 m 的三 个项目任务,三个项目的面积比例和每人每分钟完成各项目的工作量如图所示:
2

各项目面积比例统计图

每人每分钟完成各项目工作量统计 面积(m2)
1 2

地面 55% 玻璃 20% 课桌椅 25%

1 3

1 4

项目 擦玻璃 擦课桌椅 扫地拖地

(1) 在扇形统计图中表示擦玻璃的扇形的圆心角等于
2

72

度???(1 分)

(2) 如果 x 人每分钟擦课桌椅面积是 y m ,那么 y 关于 x 的函数关系式是:

y?

1 x ;??????????????????????????? (2 分) 2

(3) 他们一起完成扫地拖地的任务后, 把这 13 人分成两组,一组去擦玻璃,一组去擦课桌椅, 如果你是卫生委员,该如何分配这两组的人数,才能最快地完成任务? 解:(3)设分配 x 人去擦玻璃,那么 (13 ? x) 去擦课桌椅,由题意得

16 20 ,解之得 x ? 8 ? 1 1 x (13 ? x) 4 2

????????????????? (6 分)

经检验, x ? 8 是原方程的解.此时 (13 ? x) =5???????????? (7 分) 答: 分配 8 人去擦玻璃,5 人去擦课桌椅才能最快地完成任务?????? (8 分) 五、解答题(本大题两小题,每小题 10 分,共 20 分) 21、如图,AB 是⊙O 的直径,BD 是⊙O 的弦,延长 BD 到点 C,使 DC=BD,连结 AC,过点 D 作 DE⊥AC,垂足为 E. (1)求证:AB=AC; (2)求证:DE 为⊙O 的切线; (3)若⊙O 的半径为 5,∠BAC=60°,求 DE 的长. A O E C
7

D

B

证: (1)连接 AD,∵AB 为直径,∴∠ADB=90 。????????????(1 分) 又∵CD=BD,∴AD 是 BC 的垂直平分线。∴AB=AC ????????(3 分)

0

(2) 连接 OD,∵BD=DC,BO=OA,∴OD//AC,???????????? (5 分) 又 ED⊥AC,∴ED⊥OD 故 DE 为⊙O 的切线???????????????(6 分) (3)∵∠BAC=60 ,∴∠BAD=30
0 0

????????????????? (7 分)

故在 Rt△ADB 中,AB=10,BD=5,AD=5 3 ?????????????? (8 分) 在 Rt△ADE 中,DE=ADsin∠DAE= 5 3 ?

1 5 3 = ??????????? (10 分) 2 2

22、某商场试销一种成本为每件 60 元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且 获利不得高于 45%, 经试销发现, 销售量 y(件) 与销售单价 x (元) 符合一次函数 y ? kx ? b , 且 x ? 65 时, y ? 55 ; x ? 75 时, y ? 45 . (1)求一次函数 y ? kx ? b 的表达式; (2)若该商场获得利润为 W 元,试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式;销售单价 定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元? (3)若该商场获得利润不低于 500 元,试确定销售单价 x 的范围. 解: (1)根据题意得 ?

?65k ? b ? 55, 解得 k ? ?1,b ? 120 . ?75k ? b ? 45.

所求一次函数的表达式为 y ? ? x ? 120 .???????????????(2 分)
2 (2) W ? ( x ? 60) (? x ? 120) ? ? x ? 180 x ? 7200 ????????? (3 分)

? ?( x ? 90)2 ? 900 ,
抛物线的开口向下,? 当 x ? 90 时, W 随 x 的增大而增大 而 60 ≤ x ≤ 87 ,? 当 x ? 87 时, W ? ?(87 ? 90)2 ? 900 ? 891.

? 当销售单价定为 87 元时,商场可获得最大利润,最大利润是 891 元?? (6 分)
2 (3)由 W ? 500 ,得 500 ? ? x ? 180 x ? 7200 , 2 整理得, x ? 180 x ? 7700 ? 0 ,解得, x1 ? 70,x2 ? 110 .?????? (9 分)

由图象可知,要使该商场获得利润不低于 500 元,销售单价应在 70 元到 110 元之间,而 60 ≤ x ≤ 87 ,所以,销售单价 x 的范围是 70 ≤ x ≤ 87 .??????? (10 分) 六、解答题(本大题两小题,每小题 12 分,共 24 分) 23、如图,已知矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,P 是边 BC 延长线段上的一点,连接 AP 交

8

边 CD 于点 E,把射线 AP 沿直线 AD 翻折,交射线 CD 于 Q,设 CP=x,DQ=y (1)求 y 与 x 的函数关系式,并写出 x 的取值范围; (2)当点 P 运动时,△APQ 的面积是否会发生变化?如果发生变化,请求出△APQ 的面 积 S 关于 x 的函数关系式;如果不发生变化,请说明理由。 (3)当以 4 为半径☉Q 与直线 AP 相切,且☉Q 与☉A 也相切时,求☉A 的半径。 Q 解: (1)∵CE//AB,∴Rt△PCE∽Rt△PBA ∴

CE CP CP 3x ? AB ? , CE ? ?????? (2 分) AB BP BP x?4 DQ AD ? CE CP
即 DQ ?

∵∠AQD=∠AED=∠PEC,∠ADQ=∠PCE=900 ∴Rt△ADQ∽Rt△PCE,

A G

D

AD CE CP
B

4 3x 12 ? ( x ? 0) ????????? (4 分) ∴y? x 4? x x
(2)△APQ 的面积不会发生变化??????? (5 分)

E 23 题图 C P

S?APQ ? S?AEQ ? S?PEQ ?

1 1 EQ BP ? 2 y ( x ? 4) ? 12 ????? (7 分) 2 2

(3)作 QG⊥AP 于 G,则 QG=4。设☉A 的半径外 r 由 S ?APQ ?

1 AP QG ? 12 得:AP=6 ??????????????(8 分) 2
2 2 2 2 2 2

在 Rt△ABP 中:AB +BP =AP ,即:3 +(4+x) =6 ,解得:x= ?4 ? 3 3 ∵x>0, ∴x= ?4 ? 3 3 ,从而 DQ=y=

12 4 3 ? x?4 3

∴ AQ=

AD 2 ? DQ 2 ?

8 3 ?????????????????(10 分) 3 8 3 ?????????(11 分) 3 8 3 ?????????(12 分) 3

①☉Q 与☉A 外切时:AQ=4+r ? r= ?4 ?

② ☉Q 与☉A 内切时:AQ=r-4

∴ r= 4 ?

∥ O, C 24 、 如 图 所 示 , 已 知 在 直 角 梯 形 OABC 中 , A B

B ⊥C 轴 x 于点

沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度移动. 过 C, A ( ,、 1 1 ) B, (. 3动点 1 ) P 从 O 点出发,

P 点作 PQ 垂直于直线 ,△O P Q ..OA ,垂足为 Q .设 P 点移动的时间为 t 秒( 0 ? t ? 4 )
直角梯形 OABC 重叠部分的面积为 S .
9



(1)求经过 O、A、B 三点的抛物线解析式; (2)求 S 与 t 的函数关系式; (3)将 △OPQ 绕着点 P 顺时针旋转 90 ° ,是否存在 t ,使得 △OPQ 的顶点 O 或 Q 在抛 y 物线上?若存在,直接写出 t 的值;若不存在,请说明理由. 2 解: (1)由图象可知:抛物线经过原点, A B 1 设抛物线解析式为 y ? ax2 ? bx(a ? 0) . Q F C 把 A(11) , , B(31) , 代入上式得: O P 1 3 第 24 题图 1 1 ? a?? ? ?1 ? a ? b 1 2 4 ? 3 解得 ? ∴所求抛物线解析式为 y ? ? x ? x ????(3 分) ? 3 3 ?1 ? 9a ? 3b ? 1 ?b ? 4 ? 3 ? (2) 分三种情况: ①当 0 ? t ≤ 2 , 重叠部分的面积是 S△OPQ , 过点 A 作 AF ⊥ x 轴于点 F , y 2 ∵ A(11) , ,在 Rt△OAF 中, AF ? OF ? 1 , ?AOF ? 45° , Q G A B 1 在 Rt△OPQ 中, OP ? t , ?OPQ ? ?QOP ? 45°, F C 2 H P 3 O 1 1? 2 ? 1 2 2 ∴ PQ ? OQ ? t cos 45° ? t ? ? t ?(5 分) t ,∴ S ? ? 第 24 题图 2 2? 2 ? 4 2

x

x

?

?

②当 2 ? t ≤ 3 ,设 PQ 交 AB 于点 G ,作 GH ⊥ x 轴于点 H ,

?OPQ ? ?QOP ? 45°,则四边形 OAGP 是等腰梯形,重叠部分的面积是 S梯形OAGP .
∴ AG ? FH ? t ? 2 , ∴S ?

1 1 ( AG ? OP) AF ? (t ? t ? 2) ?1 ? t ? 1 .????????????(7 分) 2 2

③当 3 ? t ? 4 ,设 PQ 与 AB 交于点 M ,交 BC 于点 N ,重叠部分的面积是 S五边形OAMNC . y 所以重叠部分的面积是 因 为 △P N C和 △BMN 都 是 等 腰 直 角 三 角 形 ,

S五边形OAMNC ? S梯形OABC ? S△BMN .
∵ B(31) , , OP ? t ,∴ PC ? CN ? t ? 3 , ∴ BM ? BN ? 1 ? (t ? 3) ? 4 ? t , ∴S ?

2 1 A

Q M F O 1 N B C 3 P

x

1 1 1 11 第 24 题图 3 (10 分) (2 ? 3) ?1 ? (4 ? t ) 2 ? ? t 2 ? 4t ? .?????????? 2 2 2 2

(3)存在

t1 ? 1

t2 ? 2 ???????????????????(12 分)

10


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