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第一章第三节知能达标训练 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词


第一章 第三节 简单的逻辑联结词、 全称量词与存在量词
(时间 40 分钟,满分 80 分) 一、选择题(6×5 分=30 分) 1.命题“对任意的 x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是 A.不存在 x∈R,x3-x2+1≤0 B.存在 x∈R,x3-x2+1≥0 C.存在 x∈R,x3-x2+1>0 D.对任意的 x∈R,x3-x2+1>0 解析 写命题的否定需要注意

“任意”和“存在”的互换,还要注意小于等于的否定是大于, 根据上述分析,可知选 C. 答案 C 2.(2011· 安徽)命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是 A.所有不能被 2 整除的整数都是偶数 B.所有能被 2 整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 答案 D 3.下列命题中,真命题是 A.?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数 B.?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数 C.?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数 D.?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数 解析 m=0 时,f(x)=x2+mx 是偶函数.故选 A. 答案 A 4.下列 4 个命题: ?1? ?1? p1:?x∈(0,+∞),?2?x<?3?x ? ? ? ? p2:?x∈(0,1), log 1 x > log 1 x
2 3

-1-

?1? p3:?x∈(0,+∞),?2?x> log 1 x ? ?
2

1? ?1? ? p4:?x∈?0,3?,?2?x< log 1 x ? ? ? ?
3

其中的真命题是 A.p1,p3 C.p2,p3 解析 p1 是假命题,p2 是真命题, 1 ? 1 ?2 对于 p3,x= 时, ? ? = 2 ?2?
1

B.p1,p4 D.p2,p4

1 2 1 = <1, log 1 =1,∴p3 是假命题, 2 2 2
2

x 1? 1 ? ?1? 对于 p4,当 x∈?0,3?时, ? ? <1,而 log 1 x > log 1 3=1, ? ? ?2?
3 3

∴是真命题,故选 D. 答案 D 5.已知命题 p1:函数 y=2x-2-x 在 R 上为增函数, p2:函数 y=2x+2-x 在 R 上为减函数, 则在命题 q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(綈 p1)∧p2 和 q4:p1∧(綈 p2)中,真命题是 A.q1,q3 C.q1,q4 B.q2,q3 D.q2,q4

?1? 解析 ∵y=2x 在 R 上为增函数,y=2-x=?2?x 在 R 上为减函数, ? ? ?1? ∴y=-2-x=-?2?x 在 R 上为增函数, ? ? ∴y=2x-2-x 在 R 上为增函数,故 p1 是真命题. y=2x+2-x 在 R 上为减函数是错误的,故 p2 是假命题. ∴q1:p1∨p2 是真命题,因此排除 B 和 D, q2:p1∧p2 是假命题,q3:綈 p1 是假命题, (綈 p1)∨p2 是假命题,故 q3 是假命题,排除 A.故选择 C. 答案 C 6.下列命题的否定是真命题的有
-2-

①p:Δ<0 时方程 ax2+bx+c=0(a≠0)无实根; ②p:存在一个整数 b,使函数 f(x)=x2+bx+1 在[0,+∞)上不是单调函数; ③p:?x∈R,使 x2+x+1≥0 不成立. A.0 C.2 答案 B 二、填空题(3×4 分=12 分) 7.命题“存在向量 a,b,使|a+b|=|a|+|b|”的否定是________,它是________命题. 答案 对任意向量 a,b,|a+b|≠|a|+|b|.假. 8.已知命题:“?x∈[1,2],使 x2+2x+a≥0”为真命题,则 a 的取值范围是________. 解析 当 1≤x≤2 时,8≥x2+2x≥3, 如果“?x∈[1,2],使 x2+2x+a≥0”为真命题应有 -a≤8,所以 a≥-8. 答案 a≥-8 9.已知命题 p:?m∈R,m+1<0,命题 q:?x∈R,x2+mx+1>0 恒成立,若 p∧q 为假 命题,则实数 m 的取值范围是________. 解析 因为 p∧q 为假命题,所以 p、q 中至少有一个为假命题,而命题 p:?m∈R,m+1< 0 为真命题,所以命题 q:?x∈R,x2+mx+1>0 恒成立必定为假命题,所以 Δ=m2-4×1≥0, 解得 m≤-2 或 m≥2,又命题 p:?m∈R,m+1<0 为真命题,所以 m<-1,故综上可知:m≤ -2. 答案 m≤-2 三、解答题(38 分) 10.(12 分)写出下列命题的“否定”,并判断其真假: 1 (1)p:?x∈R,x2-x+4≥0; (2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:?x∈R,x2+2x+2≤0; (4)s:至少有一个实数 x,使 x3+1=0. B.1 D.3

-3-

1 解析 (1)綈 p:?x∈R,x2-x+4<0,这是假命题, 1 ? 1? 因为?x∈R,x2-x+4=?x-2?2≥0 恒成立. ? ? (2)綈 q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题. (3)綈 r:?x∈R,x2+2x+2>0,真命题,这 是由于?x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0 成立. (4)綈 s:?x∈R,x3+1≠0,假命题, 这是由于 x=-1 时,x3+1=0. 3? ? 11.(12 分)设命题 p:函数 f(x)=?a-2?x 是 R 上的减函数,命题 q:函数 f(x)=x2-4x+3 在[0, ? ? a]的值域为[-1,3].若“p 且 q”为假命题,“p 或 q”为真命题,求 a 的取值范围. 3 3 5 解析 由 0<a-2<1 得2<a<2. ∵f(x)=(x-2)2-1 在[0,a]上的值域为[-1,3],得 2≤a≤4. ∵p 且 q 为假,p 或 q 为真,得 p、q 中一真一假. 3 若 p 真 q 假得,2<a<2, 5 若 p 假 q 真得,2≤a≤4. 3 5 综上,2<a<2 或2≤a≤4. ?1 ? 12.(14 分)已知 c>0,设命题 p:函数 y=cx 为减函数.命题 q:当 x∈?2,2?时,函数 f(x)=x ? ? 1 1 + x>c恒成立.如果 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题.求 c 的取值范围. 解析 由命题 p 知:0<c<1. 1 5 由命题 q 知:2≤x+x ≤2, 1 1 要使 x+x >c 恒成立, 1 1 则 2>c,即 c>2. 又由 p 或 q 为真,p 且 q 为假知, p、q 必有一真一假,
-4-

当 p 为真,q 为假时, 1 c 的取值范围为 0<c≤2. 当 p 为假,q 为真时,c≥1.
? ? ? ? ? 1 综上,c 的取值范围为?c?0<c≤2或c≥1 ?. ? ? ? ? ?

-5-


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