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第十二届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考解答


中学生数学

2009 年 7 月上

第 373 期 ( 高中 )

应 用 与 建 模

第十二届北京高中数学知识应用竞赛 决赛试题及参考解答
2009 年 3 月 22 日 1 . ( 满分 16 分 ) 目前 , 电脑液晶显示屏的 宽高比一般为 4 3、 16 9 和 16 10 等标准. 4 3的为普屏, 16 9 的为 小宽屏, 16 10 的 为宽屏. r 寸液晶显示屏是指对角线长为 r 英 寸( in ) , 1 英寸 25. 4mm . 液晶显示屏还有两个常见的技术指标: 最 佳分辨率, 点距 . 最佳分辨率就是最高分辨率, 在这个分辨率下 , 每个液晶单元负责显示一个 像素. 点距是指每个液晶单元中心到相邻液晶 单元中心的距 离. 在最高分辨率下 , 液晶的点 距就是相邻像素间的距离 . 一般认为, 每个像素在 0. 25~ 0. 30m m 之 间人眼觉得比较舒服 , 所以液晶的标准点距都 在这一范围 . 请回答以下问题 : ( 1) 常用的 19 寸宽屏的电脑液晶显示屏 的宽为多少 ? 高为多少? ( 2) 为 了在电脑 液晶显示 屏上清晰 地看 高清的图像( 分辨率为 1920 1080 像素) , 应 选择普屏、 小宽屏、 宽屏中的 哪一种 ? 多少寸 合适? 说明理由 . 解 ( 1 ) 19 寸 宽 屏 对 角 线 长 度 为 482. 6mm , 设高度 为 a, 因为宽屏 的宽高 比为 16 8 2 2 10 , 所以 宽度 b = 5 a, 又因为 a + b = 当点距为 0. 30m m 时 , 宽约为 1920 = 576( mm ) ; 高约为 1080 对角线长约为 661mm , 约为 26 in . 故应该选择大约在 22~ 26 寸之间的 小宽 屏 或 宽屏 . 2. ( 满分 16 分) 2008 年 10 月央行宣布, 存 量房贷可以享受 7 折优惠利率. 如果某人以等 额本息还款方式 ( 即借款人每月以相等的金额 偿还贷款本息) 贷款买 房, 在 2008 年 10 月 27 日之前享受的是 8. 5 折优惠, 商业贷款 5 年以 上的年利率是 5. 94% , 存量房贷为 a, 贷款期还 有 8 年零 1 个月 . 当他成功申请到 7 折优惠利 率后 , 每月还款额是多少? 比 8. 5 折优惠时每 月少还多少? 注: 存量房贷是指 2008 年 10 月 27 日房贷 新政策出台前发 放的个人住房 贷款中尚未还 清的部分 . 解 月均还款额为 d, r 为月利率, 令 C k 为 第 k 个月末还款后的本息余额 . 则 C1 = a ( 1+ r) - d, C2 = [ a ( 1+ r) - d] ( 1+ r ) - d = a ( 1+ r ) - d ( 1+ r ) - d = a ( 1+ r ) - [ ( 1+ r) + 1] d, C3 = [ a ( 1+ r) 2 - [ ( 1+ r ) + 1] d] ( 1+ r) - d = a ( 1+ r ) - [ ( 1+ r) + ( 1+ r ) + 1 ] d,
k- 1 3 2 2 2

0. 30

0. 30= 324( m m) ;

482. 6 2 , 所 以, a2 + ( 8 a ) 2 = 482. 62 , 得 a = 5

中 学 生 数 学

255. 7775, b= 409 . 244 . 即宽为 409 . 244mm , 高 为 255. 7775mm . ( 2) 由 1920 1080 16 9 应选择 小宽 屏 , 或 宽屏 . 选择点距在 0. 25~ 0. 30mm 之 间的液晶显示屏产品 . 当点距为 0. 25mm 时 , 宽约为 1920 0. 25 = 480( mm ) ; 高约为 1080 0. 25= 270( m m) ; 对角线长约为 551mm , 约为 22 in ;

一般地 C k = a ( 1+ r ) k = a ( 1+ r ) ( 1+ r ) n r a. ( 1+ r ) n - 1 0. 7
k

i= 0

( 1+ r ) i d
k

( 1+ r ) - 1 d. r

根据题意, 当 k = n 时, C n = 0, 于是 d =

已知贷款期还有 n= 97 个月 , 月利率为 r = 5. 94% 12= 4. 158% 12

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= 0. 3465% , ( 1+ 0. 003465) 97 0. 003465 得 d= a ( 1+ 0 . 003465) 97 - 1 1. 4 0. 003465 = a= 0. 01213 a. 1 . 4- 1 若延续 8. 5 折优惠还款 , 这时的月利率为 r = 5. 94% 0. 85 12= 0. 42% . 得
97

一角处被一个半径为 30 米的圆形街心花园的 四分之一占去, 某单位要在这块场地中盖一座 南北朝向、 高度一定的矩形办公楼 , 要求办公 楼与街心花园的最近距离不得小于 10 米 , 请你 设计一 个方 案, 使得 办公楼的占地面积最 大, 面向南 的楼 面面 积 尽 量 大, 并 加 以 证明 . 解 如图 2 设置
图2

d = ( 1+ 0. 0042) 970. 0042a = 0. 0126a. ( 1+ 0. 0042) - 1 利率的 7 折优惠比 8. 5 折优 惠每月少还 0. 00047a. 3 . ( 满分 16 分 ) 在队列 操练中 , 通过口 令: 立正 、 向右转 、 向后转 、 向左转 操 练队列朝向的转换 . 连续执行两个口令得到的 结果可以理解 为两个转向的叠加, 例 如, 向右 转+ 向右转 = 向后转, 向右转 + 向后转 = 向左 转. 如果分别用数 0、 1、 2、 3 表示立正、 向右转、 向后转、 向左转, 两个 转向的叠加就可以用数 的运算表示 , 例 如, 向 右转 + 向 后转 = 向左 转 可以表示为 1+ 2= 3 , 我们称其为代数形 式. 请列出队列转向叠加的所有代数 形式, 并 指出它与我们熟悉 的整数的加法 运算有什么 异同. 解 所有的叠加的结果为下表 . 立正 0 立正 0 右转 1 后转 2 左转 3 0 1 2 3 右转 1 1 2 3 0 后转 2 2 3 0 1 左转 3 3 0 1 2

应 用 与 建 模

办公楼 BCDE, 其中 点 B 在以 A 为圆心, 半径为 40 米的圆上 .

设 BA F = , 矩形 B CDE 的面积为 S . S = BE BC = ( 80- 40cos ) ( 80- 40sin ) = 402 ( 2- co s ) ( 2- sin ) = 40 ( 4- 2cos - 2sin + sin (0 2)
2

cos ) .

S = 4- 2( sin + cos ) + sin cos 2 40 1 1 = 4- 2( sin + cos ) + 2 ( 2sin cos + 1) - 2 = 4- 2( sin + cos ) + 1 ( sin + co s ) 2 - 1 2 2 = 1 ( sin + cos ) 2 - 4( sin + cos ) + 4 + 3 2 2 = = 1 ( sin + cos ) - 2 2 1 2 2sin ( + 1 2 4 )- 2
2

+
2

3 2 3 . 2
2

+

这个运算与整数的加法运算不同 , 因为表 中右下角的六个运算的结果不是相加的结果 . 它与整数加法相似之处是这个 加法 对 于{ 0, 1 , 2, 3} 这 四个 数是封闭的 , 而且同样 满足交换律和结合律 . 4 . ( 满 分 16 分 ) 如图 1 , 一 块 边 长 80 米的正方形场地 , 其中
图1

所以, S = 402

2sin( +

4

)- 2 +

3 . 2 4 .

由于图形的对称性, 不妨先考虑 0 4 + 4 2 ,

此时 sin ( + 4 ) 恒为正且单调递增 , 2 2 sin ( + 4 ) 1,

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2sin ( + 4

4

)

2. 4 ) 最大, 此时

应 用 与 建 模

有一块矩形平地目标区域 , 大小为 100 米 200 米 , 需要进行全境搜索. 要求持探测仪器 沿着平行于矩形边缘的方向搜索, 直线搜索可 覆盖宽度为 20 米, 行进平均速度为 0. 5 米 / 秒 ; 非搜索行进时 , 平均速度为 3 米/ 秒; 每次沿一 ) 最小, 此时 条直线方向探测宽 20 米的矩形区域时, 起点和 终点分别设在据端点 10 米位置即可测到全部 区域 . 行进路线转弯时需要 15 秒的时间调整搜 索仪器的 前进方 向. 搜索 的出 发点 是区 域中 心; 出口在区域左侧短边的中点处 , 搜索到区 域内每一点并最后到达出口即完成任务 . 请回 答以下问题:

当 = S 最小 . 当 = 0( 或 S 最大 .

时, 2 sin ( +

2

) 时, 2sin( +

4

图3

图4

( 1) 为使完成搜索任务所用时间尽量少 , 需要控制哪些因素? ( 2) 能否在 34 分钟内完成搜索任务? 如 果可以, 请画出一个路线图, 如果不可以 , 请给 出证明. 解 ( 1) 需要控制的因素主要有两个 , 一 是拐弯次数尽量少 , 二是非搜索行进路线尽量 短, 若因为减少拐弯而不得已增加非搜索行进 路线时, 要折算一减一增的总体是增是减. ( 2) 可以 . 搜索路线如图 5 所示 , 其中双线 箭头表示搜索行进路线 , 单线箭头表示非搜索 行进路线 . 这样 , 搜索行进路线长度为 20 米 42= 880 米, 用时 880 米 0. 5 米 / 秒 = 1760 秒. 拐弯 10 个 , 用时 15 秒 10= 150 秒. 非搜 索行进路线长度为 200 米, 用时约 66. 7 秒 . 总 用时约: 1977 秒, 即约 33 分钟.

为了面向南的楼面面积尽量 大, 选择 = 2 ( 图 4 ) 方案 . 5 . ( 满分 18 分 ) 一个雪球, 在融化时其半 径的减小量与时间成正比, 已知两小时内融化 了其体积的四 分之一. 问 : 其余部分在多长时 间内全部融化完 ? 解 设雪球的半径为 r ( t) , r( 0) 记作 r 0 , 由 于在融化时其半径的减小量与时间成正比, 设 比例常数为 k( > 0) , 时间为 t , 于是有 r( 0 ) - r ( t ) = k t, r ( 2) = r 0 - 2 k. 由于两小时内融化了其体积的四分之一, 所以 4 ( r 0 - 2k) 3 = 3 3 4 得 k= 1 ( 12
3

4 r 03, 3 3 ) r0 . 4

中 学 生 数 学

若雪球全部融化完, 也就是 r 0 - kt = 0, 即t= r0 = k 2 13

3 4

21. 87 22 ( 小时 ) .

这表明 , 雪球全部融化需要 22 小时, 那么 开始融化两小时之后再需 20 小时才能融化完. 6 . ( 满分 18 分) 在大地震造成的严重惨状 面前 , 救援人员需要在废墟中 搜救遇险人员. 考虑如下经简化的情况.
图5

( 北京数学会普及委员会提供 )

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