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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):8.3圆的方程


[知识能否忆起]

1.圆的定义及方程

[动漫演示更形象,见配套课件]

(x-a)2+(y-b)2=r2 标准 _____________________ (a,b) r 圆心: ,半径:__ (r>0) 方程
? D E? x2+y2+Dx+Ey+F=0 _____________________ 圆心: ?- ,- ? , 2? 一般 ? 2 方程 1 2 (D2+E2-4F>0) 半径: D +E2-4F 2

2.点与圆的位置关系

点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:
2 2 2 (1)若M(x0,y0)在圆外,则 (x0-a) +(y0-b) >r .

(2)若M(x0,y0)在圆上,则 (x0-a)2+(y0-b)2=r2. (x0-a)2+(y0-b)2<r2 . (3)若M(x0,y0)在圆内,则

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示

圆的充要条件是
1 A. <m<1 4 1 C.m< 4
2

(
1 B.m< 或 m>1 4 D.m>1

)

1 解析:由(4m) +4-4×5m>0得m< 或m>1. 4
答案:B

2.(教材习题改编)点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4内,则
实数a的取值范围是 A.(-1,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析:∵点(1,1)在圆的内部, ∴(1-a)2+(1+a)2<4, ∴-1<a<1. B.(0,1) D.(1,+∞) ( )

答案:A

3.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( )

A.x2+(y-2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1

B.x2+(y+2)2=1
D.x2+(y-3)2=1

解析:设圆心坐标为(0,b),则由题意知

?0-1?2+?b-2?2 =1,解得b=2,故圆的方程为x2+(y -2)2=1.

答案:A

4.(教材习题改编)圆心在原点且与直线 x+y-2=0 相切 的圆的方程为____________________.

解析:设圆的方程为 x2+y2=a2(a>0) |2| ∴ =a,∴a= 2,∴x2+y2=2. 1+1

答案:x2+y2=2

5.(2013· 潍坊调研)圆 x2-2x+y2-3=0 的圆心到直线 x+ 3y-3=0 的距离为________.

|1-3| 解析:圆心(1,0),d= =1. 1+3

答案:1

1.方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的

充要条件是:
(1)B=0;(2)A=C≠0;(3)D2+E2-4AF>0. 2.求圆的方程时,要注意应用圆的几何性质简化 运算. (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上.

(2)圆心在任一弦的中垂线上.
(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共 线.

圆的方程的求法

[例1]

(1)(2013· 顺义模拟)已知圆C关于y轴对称,

经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长之比为1∶2,则圆C 的方程为
? 3?2 2 4 ? A.?x± ? +y = 3 3? ? ? ? 3?2 2 1 ? B.?x± ? +y = 3 3? ? ?

(

)

C.x

2

? 3?2 4 ? +?y± ? = 3? 3 ? ?

D.x

2

? 3?2 1 ? +?y± ? = 3? 3 ? ?

(2)已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,
则圆C的方程为________________.
[自主解答] (1)由已知知圆心在 y 轴上,且被 x 轴 2π 所分劣弧所对圆心角为 ,设圆心(0,b),半径为 r, 3 π π 2 3 则 rsin =1,rcos =|b|,解得 r= ,|b|= ,即 b= 3 3 3 3 ± 3 . 3 故圆的方程为 x
2

? 3?2 4 ? +?y± ? = . 3? 3 ? ?

(2)圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+F=0,
?26+5D+F=0, ? 则? ?10+D+F=0, ? ?D=-4, ? 解得? ?F=-6. ?

圆 C 的方程为 x2+y2-4x-6=0.
[答案] (1)C (2)x2+y2-4x-6=0

1.利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a,b, r或D,E,F的方程组.

2.利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和
半径,进而写出方程,体现了数形结合思想的运用.

1.(2013· 浙江五校联考)过圆x2+y2=4外一点P(4,2)作圆 的两条切线,切点分别为A,B,则△ABP的外接圆 的方程是 ( )

A.(x-4)2+(y-2)2=1

B.x2+(y-2)2=4

C.(x+2)2+(y+1)2=5 D.(x-2)2+(y-1)2=5 解析:易知圆心为坐标原点O,根据圆的切线的性质 可知OA⊥PA,OB⊥PB,因此P,A,O,B四点共圆, △PAB的外接圆就是以线段OP为直径的圆,这个圆 的方程是(x-2)2+(y-1)2=5.

答案:

D

与圆有关的最值问题

[例2]

(1)(2012· 湖北高考)过点P(1,1)的直线,将圆

形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面

积之差最大,则该直线的方程为
A.x+y-2=0 C.x-y=0

(
B.y-1=0

)

D.x+3y-4=0

(2)P(x,y)在圆C:(x-1)2+(y-1)2=1上移动,则x2 +y2的最小值为________.

[自主解答]

(1)当圆心与P的连线和过点P的直线垂

直时,符合条件.圆心O与P点连线的斜率k=1,∴直线

OP垂直于x+y-2=0.
(2)由 C(1,1)得|OC|= 2,则|OP|min = 2-1,即 ( x2+y2)min= 2-1.所以 x2+y2 的最小值为( 2-1)2= 3-2 2.
[答案] (1)A (2)3-2 2

1.研究与圆有关的最值问题时可借助图形的几何性质, 数形结合求解. y-b 2.形如 Z= 的形式的最值问题可转化为动直线斜率 x-a 的最值问题. 3. 形如 Z=(x-a)2+(y-b)2 形式的最值问题可转化为动 点到定点距离的平方的最值问题.

2.已知点(x,y)在圆(x-2)2+(y+3)2=1 上.
(1)求 x+y 的最大值和最小值; (2)求 x2+y2+2x-4y+5的最大值和最小值.

解:(1)设 t=x+y,则 y=-x+t,t 可视为直线 y=-x+t 的纵截距, 所以 x+y 的最大值和最小值就是直线与圆有公 共点时直线纵截距的最大值和最小值,即直线与圆相切时 的纵截距.由直线与圆相切,得圆心到直线的距离等于半 |2+?-3?-t| 径,即 =1, 2 解得 t= 2-1 或 t=- 2-1, 所以 x+y 的最大值为 2-1,最小值为- 2-1.

(2) x2+y2+2x-4y+5= [x-?-1?]2+?y-2?2,表示点 (x,y)到定点(-1,2)的距离,又因为圆心到定点(-1,2) 的距离为 34,所以 x2+y2+2x-4y+5的最大值为 34 +1,最小值为 34-1.

与圆有关的轨迹问题

[例 3]

设定点 M(-3,4), 动点 N 在圆 x2+y2=4 上运动,

以 OM,ON 为两边作平行四边形 MONP,求点 P 的轨迹.
[自主解答] 如图所示,设 P(x,y),
?x y ? 的中点坐标为?2,2?, ? ?

N(x0,y0),则线段 OP 线段 MN

?x0-3 y0+4? ? ? 的中点坐标为? , ?. 2 ? ? 2

x x0-3 y 因为平行四边形的对角线互相平分,故 = , = 2 2 2
?x =x+3, ? 0 y0+4 ,从而? N(x+3,y-4)在圆上,故 (x+3)2 2 ?y0=y-4, ?

+(y-4)2=4,因此所求 P 点的轨迹为圆:(x+3)2+(y-4)2
? 9 12? ? 21 28? =4,但应除去两点:?-5, 5 ?和?- 5 , 5 ?(点 ? ? ? ?

P 在 OM 所

在的直线上时的情况).

求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采
用以下方法; (1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法:根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程. (3)几何法:利用圆与圆的几何性质列方程. (4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点 满足的关系式等.

3.(2013·郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)
的距离的2倍,则动点P的轨迹方程为 ( )

A.x2+y2=32
C.(x-1)2+y2=16

B.x2+y2=16
D.x2+(y-1)2=16

解析:设 P(x,y),则由题意可得 2 ?x-2?2+y2 = ?x-8?2+y2,化简整理得 x2+y2=16.

答案:B

与圆有关的交汇问题是近几年高考命题的热点,这

类问题,要特别注意圆的定义及其性质的运用.同时,
要根据条件,合理选择代数方法或几何方法,凡是涉及 参数的问题,一定要注意参数的变化对问题的影响,以 便确定是否分类讨论.同时要有丰富的相关知识储备, 解题时只有做到平心静气地认真研究,不断寻求解决问 题的方法和技巧,才能真正把握好问题.

[典例]

(2011· 江苏高考)设集合A=
? ? ? ? ?

? ?m ? ??x,y?? ≤?x-2?2+y2≤m2,x,y∈R ? ?2 ?

,B={(x,

y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R}.若A∩B≠?,则实数m的 取值范围是________. [解析] 由题意知A≠?,则

m 2

≤m2,即m≤0或

1 m≥ .因为A∩B≠?,则有: 2 1 (1)当2m+1<2,即m< 时,圆心(2,0)到直线x+y=2m+1 2
|2-2m-1| 的距离为d1= ≤|m|,化简得2m2-4m+1≤0, 2 2 2 2 1 解得1- ≤m≤1+ ,所以1- ≤m≤ ; 2 2 2 2

1 (2)当2m≤2≤2m+1,即 ≤m≤1时,A∩B≠?恒成立; 2 (3)当2m>2,即m>1时,
|2-2m| 圆心(2,0)到直线x+y=2m的距离为d2= ≤|m|, 2 化简得m2-4m+2≤0, 解得2- 2≤m≤2+ 2, 所以1<m≤2+ 2.
?1 综上可知:满足题意的m的取值范围为?2,2+ ? ?1 ? [答案] ?2,2+ 2? ? ? ? 2 ?. ?

[题后悟道]

该题是圆与集合,不等式交汇问题,解

决本题的关键点有: ①弄清集合代表的几何意义; ②结合直线与圆的位置关系求得m的取值范围.

?针对训练
若直线l:ax+by+4=0(a>0,b>0)始终平分圆C:x2 +y2+8x+2y+1=0,则ab的最大值为 A.4 B.2
1 C.1 D. 4 解析:圆C的圆心坐标为(-4,-1),
则有-4a-b+4=0,即4a+b=4. 1 1?4a+b?2 1 ?4?2 ? 所以ab= (4a· b)≤ ? ? 2 ? =4×?2? =1. 4 4? ? ? ? 1 当且仅当a= ,b=2取得等号. 2

(

)

答案:C

教师备选题(给有能力的学生加餐) 1.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上

任意一点,则△ABC面积的最小值是________.

解题训练要高效 见“课时跟踪检 测(五十一)”

3 解析:lAB:x-y+2=0,圆心(1,0)到l的距离d= , 2 3 则AB边上的高的最小值为 -1. 2
? 3 ? 1 ? 故△ABC面积的最小值是 ×2 2×? -1?=3- 2. ? 2 ? 2 ?

答案:3- 2

2.(2012· 抚顺调研)已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0), B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.

(1)求线段AP中点的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程. 解:(1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可 知,P点坐标为(2x-2,2y). 因为P点在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4.

故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.

(2)设PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|, 设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,所以|OP|2= |ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2, 所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.



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