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命题充要条件


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第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件

[备考方向要明了]

考 什 么

怎 么 考 1.对本节内容的考查形式多为选择题或填空题. 2.对命题及其关系的考查主要有以下两种方式: (1)考查简单命题

的真假判断,其中结合命题的四种形式、充 要条件以及复合命题、 全称命题等组成的混合选项问题是命题

1.理解命题的概念. 2.了解“若 p,则 q”形式的 命题的逆命题、否命题和逆 否命题,会分析四种命题的 相互关系. 3.理解必要条件、 充分条件与 充要条件的意义.

的重点. (2)考查命题的四种形式,以原命题的否命题、逆否命题的形 式为考查重点.如 2012 年湖南 T2. 3.对充要条件的考查,主要从以下三个方面命题: (1)以其他知识模块内容为背景,考查充要条件的判断,多以 函数的性质、 不等式的性质及其应用、 解析几何中的直线与圆、 圆锥曲线的位置关系以及空间中的线面位置关系等为主.如 2012 年北京 T3,天津 T2,安徽 T6 等. (2)以其他知识模块内容为背景,考查充要条件的探求,尤其 要注意逻辑联结词“非”与充要条件相结合的问题. (3)考查利用条件和结论之间的充要条件关系求解参数的取值 范围.如 2011 年陕西 T12.

[归纳· 知识整合] 1.命题 在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中 判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题. 2.四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系

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(2)四种命题的真假关系: ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. [探究] 1.在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这 4 个命题中,真命题的个数可能 有几个? 提示:由于原命题与逆否命题是等价命题;逆命题与否命题是等价命题,所以真命题的 个数可能为 0,2,4. 3.充分条件与必要条件 (1)如果 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. (2)如果 p?q,q?p,则 p 是 q 的充分必要条件.记作 p?q. [探究] 2.“p 是 q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是 q”两者的说法 相同吗? 提示:两者说法不相同.“p 的一个充分不必要条件是 q”等价于“q 是 p 的充分不必 要条件”,显然这与“p 是 q 的充分不必要条件”是截然不同的. 3.命题“若 p,则 q”的逆命题为真,逆否命题为假,则 p 是 q 的什么条件? 提示:逆命题为真即 q?p,逆否命题为假,即 p?/ q,故 p 是 q 的必要不充分条件. [自测· 牛刀小试] 1.(教材改编题)给出命题:“若 x2+y2=0,则 x=y=0”,在它的逆命题、否命题、 逆否命题中,真命题的个数是( A.0 个 C.2 个 ) B.1 个 D.3 个

解析:选 D 逆命题为:若 x=y=0,则 x2+y2=0,是真命题. 否命题为:若 x2+y2≠0,则 x≠0 或 y≠0,是真命题. 逆否命题为:若 x≠0 或 y≠0,则 x2+y2≠0,是真命题. 2.下列命题: ①“a>b”是“a2>b2”的必要条件;②“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要条件;③“a>b”是“a+c>b+ c”的充要条件. 其中是真命题的是( )
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A.①② C.①③

B.②③ D.①②③

解析:选 B ①a>b?/ a2>b2,且 a2>b2?/ a>b;故①不正确;②a2>b2 ?|a|>|b|,故②正 确; ③“a>b”?a+c>b+c,且 a+c>b+c?a>b,故③正确. 3.命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是( A.若 f(x)是偶函数,则 f(-x)是偶函数 B.若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 C.若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 D.若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 解析:选 B 原命题的否命题是既否定题设又否定结论,故“若 f(x)是奇函数,则 f(- x)是奇函数”的否命题是 B 选项. π 4.(2012· 湖南高考)命题“若 α= ,则 tan α=1”的逆否命题是( 4 π A.若 α≠ ,则 tan α≠1 4 π C.若 tan α≠1,则 α≠ 4 π B.若 α= ,则 tan α≠1 4 π D.若 tan α≠1,则 α= 4 ) )

π π 解析:选 C 命题“若 α= ,则 tan α=1”的逆否命题是“若 tan α≠1,则 α≠ ”. 4 4 5. (2012· 天津高考)设 φ∈R, 则“φ=0”是“f(x)=cos (x+φ)(x∈R)为偶函数”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:选 A 因为 f(x)是偶函数?φ=kπ,k∈Z,所以“φ=0”是“f(x)是偶函数”的充 分而不必要条件.

四种命题及其真假判断

[例 1] 在命题 p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中,真命题的个数 记为 f(p),已知命题 p:“若两条直线 l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0 平行,则 a1b2-a2b1=0”.那么 f(p)等于( A.1 C.3 ) B.2 D.4

[自主解答] 原命题 p 显然是真命题, 故其逆否命题也是真命题. 而其逆命题是: 若 a1b2

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-a2b1=0,则两条直线 l1 与 l2 平行,这是假命题,因为当 a1b2-a2b1=0 时,还有可能 l1 与 l2 重合,逆命题是假命题,从而否命题也为假命题,故 f(p)=2. [答案] B ————— —————————————— 判断四种命题间的关系的方法 (1)在判断四种命题之间的关系时,首先要注意分清命题的条件与结论,再比较每个命 题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为原命题,也 就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”. (2)当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时,必须保留大前提,也就是大前提不 动;对于由多个并列条件组成的命题,在写其他三种命题时,应把其中一个(或 n 个)作为大 前提.

1.设原命题是“当 c>0 时,若 a>b,则 ac>bc”,写出它的逆命题、 否命题与逆否命题, 并分别判断它们的真假. 解:“当 c>0 时”是大前提,写其他命题时应该保留,原命题的条件是 a>b,结论是 ac>bc. 因此它的逆命题: 当 c>0 时, 若 ac>bc, 则 a>b.它是真命题; 否命题: 当 c>0 时, 若 a≤b, 则 ac≤bc.它是真命题; 逆否命题:当 c>0 时,若 ac≤bc,则 a≤b.它是真命题. 充分条件、必要条件的判断

[例 2] (1)(2012· 浙江高考)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2: x+(a+1)y+4=0 平行”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

(2)下面四个条件中,使 a>b 成立的充分不必要的条件是( A.a>b+1 C.a2>b2 B.a>b-1 D.a3>b3

[自主解答] (1)“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的充要条 -1 a 2 件是:由 = ≠ ,解得 a=-2 或 1. 1 a+1 4 故“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的充分不必 要条件. (2)a>b+1?a-b>1>0?a>b,但 a=2,b=1 满足 a>b,但 a=b+1,故 A 项正确.或
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用排除法:对于 B,a>b-1 不能推出 a>b,排除 B;而 a2>b2 不能推出 a>b,如 a=-2,b =1,(-2)2>12,但-2<1,故 C 项错误;a>b?a3>b3,它们互为充要条件,排除 D. [答案] (1)A ————— (2)A —————————————— 充分条件、必要条件的判断方法 判断 p 是 q 的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件 p 能否推得条件 q;二是由条 件 q 能否推得条件 p.

2.已知命题 p:函数 f(x)=|x-a|在(1,+∞)上是增函数,命题 q:f(x)=ax(a>0 且 a≠1) 是减函数,则 p 是 q 的( A.必要不充分条件 C.充要条件 ) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 A 若命题 p 为真,则 a≤1;若命题 q 为真, 则 0<a<1.∵由 q 能推出 p 但由 p 不能推出 q, ∴p 是 q 的必要不充分条件.

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充要条件的应用

[例 3] 已知 P={x|x2-8x-20≤0},S={x|1-m≤x≤1+m}. (1)是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件,若存在,求出 m 的范围; (2)是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的必要条件,若存在,求出 m 的范围. [自主解答] (1)由 x2-8x-20≤0 得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}, ∵x∈P 是 x∈S 的充要条件,∴P=S,
? ? ?1-m=-2, ?m=3, ∴? ∴? ?1+m=10, ?m=9, ? ?

这样的 m 不存在. (2)由题意 x∈P 是 x∈S 的必要条件,则 S?P.
?1-m≥-2, ? ∴? ? ?1+m≤10,

∴m≤3. 综上,可知 m≤3 时,x∈P 是 x∈S 的必要条件.

保持本例条件不变,若綈 P 是綈 S 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 解:由例题知 P={x|-2≤x≤10}, ∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件, ∴P?S 且 S?/ P. ∴[-2,10] [1-m,1+m].
?1-m≤-2, ?1-m<-2, ? ? ∴? 或? ?1+m>10 ?1+m≥10. ? ?

∴m≥9,即 m 的取值范围是[9,+∞). ————— ——————————————

1.解决与充要条件有关的参数问题的方法 解决此类问题一般是把充分条件、 必要条件或充要条件转化为集合之间的关系, 然后根 据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解. 2.利用转化的方法理解充分必要条件 若綈 p 是綈 q 的充分不必要?必要不充分、 充要?条件, 则 p 是 q 的必要不充分?充分不必 要、充要?条件.

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1 3.已知不等式 <1 的解集为 p,不等式 x2+(a-1)x-a>0 的解集为 q,若 p 是 q 的 x-1 充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是( A.(-2,-1] C.[-3,1] ) B.[-2,-1] D.[-2,+∞)

x-2 1 1 解析: 选 A 不等式 <1 等价于 -1<0, 即 >0, 解得 x>2 或 x<1, 所以 p 为(- x-1 x-1 x-1 ∞,1)∪(2,+∞).不等式 x2+(a-1)x-a>0 可以化为(x-1)(x+a)>0,当-a≤1 时,解得 x>1 或 x<-a,即 q 为(-∞,-a)∪(1,+∞),此时 a=-1;当-a>1 时,不等式(x-1)(x +a)>0 的解集是(-∞,1)∪(-a,+∞),此时-a<2,即-2<a<-1.综合知-2<a≤-1.

1 个转化——正难则反的转化 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性, 因而当判断一个命题的真假比较困难 时,可转化为判断它的逆否命题的真假. 2 个区别——“否命题”与“命题的否定”以及“充分条件”与“必要条件”的区 别 (1)否命题是既否定命题的条件,又否定命题的结论,而命题的否定是只否定命题的结 论.要注意区别. (2)充分必要条件的判断应注意问题的设问方式,①A 是 B 的充分不必要条件是指:A? B 且 B?/ A;②A 的充分不必要条件是 B 是指:B?A 且 A?/ B,在解题中一定要弄清它们 的区别,以免出现错误. 3 种方法——判断充分条件和必要条件的方法 (1)命题判断法. 设“若 p,则 q”为原命题,那么: ①原命题为真,逆命题为假时,p 是 q 的充分不必要条件; ②原命题为假,逆命题为真时,p 是 q 的必要不充分条件; ③原命题与逆命题都为真时,p 是 q 的充要条件; ④原命题与逆命题都为假时,p 是 q 的既不充分也不必要条件. (2)集合判断法. 从集合的观点看,建立命题 p,q 相应的集合:p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}, 那么: ①若 A?B,则 p 是 q 的充分条件;若 A B 时,则 p 是 q 的充分不必要条件; ②若 B?A,则 p 是 q 的必要条件;若 B A 时,则 p 是 q 的必要不充分条件; ③若 A?B 且 B?A,即 A=B 时,则 p 是 q 的充要条件.
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(3)等价转化法. p 是 q 的什么条件等价于綈 q 是綈 p 的什么条件.

创新交汇——与充要条件有关的交汇问题

1.充分条件、必要条件和充要条件的判断是每年高考的热点内容,多与函数、不等式、 向量、立体几何、解析几何等交汇命题. 2.突破此类问题的关键有以下四点: (1)要分清命题的条件与结论; (2)要善于将文字语言转化为符号语言进行推理; (3)要注意等价命题的运用; (4)当判断多个命题之间的关系时,常用图示法,它能使问题直观、易于判断. [典例] (2011· 陕西高考)设 n∈N*,一元二次方程 x2-4x+n=0 有整数根的充要条件是 n=________. 4± 16-4n [解析] x= =2± 4-n,因为 x 是整数,即 2± 4-n为整数,所以 4-n为 2 整数,且 n≤4,又因为 n∈N*,取 n=1,2,3,4,验证可知 n=3,4 符合题意,所以 n=3,4 时 可以推出一元二次方程 x2-4x+n=0 有整数根. [答案] 3 或 4 [名师点评] 1.本题有以下两个创新点 (1)考查内容创新:本题以一元二次方程为背景,探求方程有整数根的充要条件. (2)命题方式创新:此题目的特点是给出结论,未给条件,由结论探求条件. 2.解决本题的关键有以下两点 (1)从结论出发,正确求出使结论成立的必要条件; (2)要验证所得到的必要条件是否满足充分性,否则极易得出 n=1,2,3,4 的错误答案. [变式训练] 1.已知向量 a=(x-1,2),b=(2,1),则 a⊥b 的充要条件是( 1 A.x=- 2 C.x=5 B.x=-1 D.x=0 )

解析:选 D a⊥b?a· b=0,a· b=(x-1,2)· (2,1)=2(x-1)+2×1=2x=0,∴x=0. 2.对于常数 m、n,“mn>0”是“方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 )

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C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:选 B 当 m<0,n<0 时,mn>0,但 mx2+ny2=1 没有意义,不是椭圆;反之,若 mx2+ny2=1 表示椭圆,则 m>0,n>0,即 mn>0. 3.设集合 A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B” 是“x∈C”的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

解析:选 C 化简得 A={x|x>2},B={x|x<0}, C={x|x<0,或 x>2}. ∵A∪B=C,∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) π 1.(2013· 潍坊模拟)命题“若△ABC 有一内角为 ,则△ABC 的三内角成等差数列”的 3 逆命题( )

A.与原命题同为假命题 B.与原命题的否命题同为假命题 C.与原命题的逆否命题同为假命题 D.与原命题同为真命题 解析:选 D 原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列, π 则△ABC 有一内角为 ”,它是真命题. 3 2.设集合 M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:选 B M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},所以 N M,故 a∈M 是 a∈N 的必要不 充分条件. 3.(2013· 日照模拟)已知直线 l1:x+ay+1=0,直线 l2:ax+y+2=0,则命题“若 a= 1 或 a=-1,则直线 l1 与 l2 平行”的否命题为( A.若 a≠1 且 a≠-1,则直线 l1 与 l2 不平行 B.若 a≠1 或 a≠-1,则直线 l1 与 l2 不平行 C.若 a=1 或 a=-1,则直线 l1 与 l2 不平行 D.若 a≠1 或 a≠-1,则直线 l1 与 l2 平行 解析:选 A 命题“若 A,则 B”的否命题为“若綈 A,则綈 B”,显然“a=1 或 a=
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)

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-1”的否定为“a≠1 且 a≠-1”,“直线 l1 与 l2 平行”的否定为“直线 l1 与 l2 不平行”. 4.已知 a,b 为非零向量,则“函数 f(x)=(ax+b)2 为偶函数”是“a⊥b”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )

解析:选 C 依题意得 f(x)=a2x2+2(a· b)x+b2.由函数 f(x)是偶函数,得 a· b=0,又 a· b 为非零向量, 所以 a⊥b; 反过来, 由 a⊥b 得, a· b=0, f(x)=a2x2+b2, 函数 f(x)是偶函数. 综 上所述,“函数 f(x)=(ax+b)2 为偶函数”是“a⊥b”的充要条件. 5.(2012· 安徽高考)设平面 α 与平面 β 相交于直线 m,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在平 面 β 内,且 b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 A 若 α⊥β,又 α∩β=m,b?β,b⊥m,根据两个平面垂直的性质定理可得 b⊥α,又因为 a?α,所以 a⊥b;反过来,当 a∥m 时,因为 b⊥m,一定有 b⊥a,但不能保 证 b⊥α,即不能推出 α⊥β. 8x 6.设 p:f(x)=x3+2x2+mx+1 在(-∞,+∞)内单调递增,q:m≥ 2 对任意 x>0 恒 x +4 成立,则 p 是 q 的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 f(x)在(-∞,+∞)内单调递增,则 f′(x)≥0 在(-∞,+∞)上恒成立,即

A.充分不必要条件 C.充要条件 解析:选 B

4 8x 3x2+4x+m≥0 对任意 x 恒成立,故 Δ≤0,即 m≥ ;m≥ 2 对任意 x>0 恒成立,即 x>0 3 x +4 8x 8x 8 8 时,m≥?x2+4?max,而 2 = ≤ =2,故 m≥2.当 p 成立时 q 不一定成立,即 p 不 4 2 4 ? ? x +4 x+ x 4 是 q 的充分条件,但如果 p 不成立,即 m< 时,q 一定不成立,即 p 是 q 的必要不充分条件. 3 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.(2013· 南京模拟)有下列几个命题: ①“若 a>b,则 a2>b2”的否命题; ②“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ③“若 x2<4,则-2<x<2”的逆否命题. 其中真命题的序号是________. 解析:①原命题的否命题为“若 a≤b 则 a2≤b2”错误. ②原命题的逆命题为:“x,y 互为相反数,则 x+y=0”正确. ③原命题的逆否命题为“若 x≥2 或 x≤-2,则 x2≥4”正确.
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答案:②③ 8.(2013· 石家庄质检)下列四个命题: ①“?x∈R,x2-x+1≤0”的否定; ②“若 x2+x-6≥0,则 x>2”的否命题; 1 ③在△ABC 中,“A>30° ”是“sin A> ”的充分不必要条件; 2 ④“函数 f(x)=tan(x+φ)为奇函数”的充要条件是“φ=kπ(k∈Z)”. 其中真命题的序号 是________(把真命题的序号都填上). 解析:“?x∈R,x2-x+1≤0”的否定为“?x∈R,x2-x+1>0”,①是真命题;“若 x2+x-6≥0,则 x>2”的否命题是“若 x2+x-6<0,则 x≤2”,②也是真命题;在△ABC 1 中,“A>30° ”是“sin A> ”的必要不充分条件,③是假命题;“函数 f(x)=tan(x+φ)为奇 2 kπ 函数”的充要条件是“φ= (k∈Z)”,④是假命题. 2 答案:①② 9. 已知 α: x≥a, β: |x-1|<1.若 α 是 β 的必要不充分条件, 则实数 a 的取值范围为________. 解析:α:x≥a,可看作集合 A={x|x≥a}, ∵β:|x-1|<1,∴0<x<2, ∴β 可看作集合 B={x|0<x<2}. 又∵α 是 β 的必要不充分条件,∴B A,∴a≤0. 答案:(-∞,0] 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10.已知集合 A={x|x2-4mx+2m+6=0},B={x|x<0},若命题“A∩B=?”是假命题, 求实数 m 的取值范围. 解:因为“A∩B=?”是假命题,所以 A∩B≠?. 设全集 U={m|Δ=(-4m)2-4(2m+6)≥0}, 3 则 U={m|m≤-1 或 m≥ }. 2 假设方程 x2-4mx+2m+6=0 的两根 x1,x2 均非负,则有 m∈U, ? ? ?x1+x2≥0, ? ?x1x2≥0 m∈U, ? ? ??4m≥0, ? ?2m+6≥0 3 ?m≥ . 2

3 又集合{m|m≥ }关于全集 U 的补集是{m|m≤-1}, 2 所以实数 m 的取值范围是{m|m≤-1}.

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? 3 2 2 ?3 ?? ? 11.已知集合 A=?y? ?y=x -2x +1,x∈?4,2? ,B={x|x+m ≥1}.若“x∈A”是“x ? ?

∈B”的充分条件,求实数 m 的取值范围. 3?2 7 3 解:y=x2- x+1=? ?x-4? +16, 2 3 ? 7 ∵x∈? ?4,2?,∴16≤y≤2,
? 7 ? ∴A=?y|16≤y≤2?. ? ?

由 x+m2≥1,得 x≥1-m2, ∴B={x|x≥1-m2}. ∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件, 7 ∴A?B,∴1-m2≤ , 16 3 3 解得 m≥ 或 m≤- , 4 4 3? ?3 ? 故实数 m 的取值范围是? ?-∞,-4?∪?4,+∞?. 12.已知两个关于 x 的一元二次方程 mx2-4x+4=0 和 x2-4mx+4m2-4m-5=0,求 两方程的根都是整数的充要条件. 解:∵mx2-4x+4=0 是一元二次方程, ∴m≠0. 又另一方程为 x2-4mx+4m2-4m-5=0,且两方程都要有实根,
? ?Δ1=16?1-m?≥0, ∴? 2 2 ?Δ2=16m -4?4m -4m-5?≥0, ?

5 ? 解得 m∈? ?-4,1?. ∵两方程的根都是整数,故其根的和与积也为整数,

? ?m∈Z, ∴?4m∈Z, ? ?4m -4m-5∈Z.
2

4

∴m 为 4 的约数. 5 ? 又∵m∈? ?-4,1?, ∴m=-1 或 1. 当 m=-1 时,第一个方程 x2+4x-4=0 的根为非整数; 而当 m=1 时,两方程的根均为整数,
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∴两方程的根均为整数的充要条件是 m=1.

1.已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2≥3”的否命题是( A.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3 B.若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2<3 C.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2≥3 D.若 a2+b2+c2≥3,则 a+b+c=3

)

解析:选 A a+b+c=3 的否定是 a+b+c≠3,a2+b2+c2≥3 的否定是 a2+b2+c2<3. 2.设 x,y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“x2+y2≥4”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 A 由 x≥2 且 y≥2 可得 x2+y2≥4,但反之不成立. 3.“a=b”是“直线 y=x+2 与圆(x-a)2+(y-b)2=2 相切”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 解析:选 A a=b 时,圆心到直线距离 |a-b+2| d= = 2, 2 |a-b+2| 所以相切;若直线与圆相切时,有 d= = 2, 2 所以 a=b 或 a=-4+b.
? 1 x ? 4.已知集合 A=?x|2<2 <8,x∈R?,B={x|-1<x<m+1,x∈R},若 x∈B 成立的一个 ? ?

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

充分不必要的条件是 x∈A,则实数 m 的取值范围是________.
? 1 x ? 解析: A=?x|2<2 <8,x∈R?={x|-1<x<3}, ∵x∈B 成立的一个充分不必要条件是 x∈A, ? ?

∴A B,∴m+1>3,即 m>2. 答案:(2,+∞)

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