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第15讲 特征值与特征向量


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授课题目(教学章、节或主题) : 第十五讲 特征值与特

征向量 教学目的、要求(分掌握、熟悉、了解三个层次) : 掌握矩阵特征值与特征向量的定义与计算;熟悉特征值与特征向量的性质及其应用. 教学重点及难点: 重点:矩阵特征值与特征向量的定义与计算. 难点:矩阵特征值与特征向量的性质及其应用. 教 学 基 本 内 容 一、特征值与特征向量 1、 定义: 对于 n 阶方阵 A , 若存在数 ? 和向量 x ? 0 满足 A x ? ? x , 则称 ? 为 备注

A 的特征值, 称 x 为 A 的属于特征值 ? 的特征向量.
[注] 线性变换 y ? A x 得到的向量 y 与 x 共线.
? 0 2? ? 1? 例1:设 A ? ? ? 2 0 ? , x ? ? 1 ? , ? ? 2 ,则有 A x ? ? x . ? ? ? ? ? ? ?

? 1 2 3? ? 1? ? ? ? ? 例2:设 A ? ? 2 3 1 ? , x ? ? 1 ? ,则有 A x ? 6 x . ? 3 1 2? ? 1? ? ? ? ?

2、求法:
A x ? ? x ( x ? 0 ) ? ( A ? ?E ) x ? 0 有非零解 x ?| A ? ?E |? 0

特征方程: | A ? ?E |? 0 特征矩阵: A ? ? E 或者 ? E ? A

a11 ? ?
特征多项式: f (? ) ?| A ? ? E |?

a12 ? a n2

? ?

a1n a 2n ?

a 21 ? a n1

a 22 ? ? ?

? a nn ? ?
[ a 0 ? ( ?1) n ]

? a 0 ? n ? a 1 ? n ?1 ? ? ? a n ?1 ? ? a n

[注] f (? ) ? 0 在复数域上必有 n 个根,而在实数域上不一定有 n 个根,甚 至无根.因此关于矩阵特征值与特征向量的问题在复数域上考虑. 步骤: (1)解特征方程 | A ? ?E |? 0 ,求出 A 的所有特征值 ?1 , ? 2 ,?, ? s ; (2)对于每一个 ? i ,解方程组 ( A ? ?E ) x ? 0 ,求出它的一组基础解 系: ? i 1 , ? i 2 , ? , ? i ,n ? ri .则属于 ? i 的全部特征向量为:

? i ? k i 1 ? i 1 ? k i 2 ? i 2 ? ? k i ,n? r ? i ,n? r , ( k i 1 , k i 2 , ? , k i ,n? r 不全为零)
i i i

?1 2 2? 例 3:求 A ? ? 2 1 2? 的特征值与特征向量. ? ? ?2 2 1? ? ? 1? ? 2 1? ? 2 2 2 1? ? ? (5 ? ? )( ? ? 1) 2

解: f (? ) ?

2 2

f (? ) ? 0 ? ?1 ? 5, ? 2 ? ? 3 ? ?1

求 ?1 ? 5 的特征向量:
2 2? ?? 4 ? 1 0 ? 1? ?1? 行 ? 2 ?4 ? ? ?0 1 ? 1? ? ? ?1? A ? 5E ? ? 2? ? ?, 1 ? ? ? 2 ?0 0 ?1? 2 ? 4? 0? ? ? ? ? ? ?

? ? k 1 ? 1 ( k 1 ? 0)
求 ? 2 ? ? 3 ? ?1 的特征向量:
? 2 2 2? ? 1 1 1? ? ? 1? ? ? 1? 行 ? 2 2 2 ? ? ? 0 0 0 ? ? ? ? 1? ? ? ? 0 ? A ? ( ?1) E ? ? ? ? ?, 2 ? ?, 3 ? ? ? 2 2 2? ?0 0 0? ? 0? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? k2 ? 2 ? k3 ? 3

( k 2 , k 3 不同时为 0)

? ? 1 1 0? 例 4:求 A ? ? ? 4 3 0? 的特征值与特征向量. ? ? ? 1 0 2? ? ?

[注] 在例 3 中, 对应 2 重特征值 ? ? ?1 有两个线性无关的特征向量; 在例 4 中, 对应 2 重特征值 ? ? 1 只有一个线性无关的特征向量.

一般结论:对应 r 重特征值 ? 的线性无关的特征向量的个数 ? r . 二、性质 性质 1: 设 A ? (a ij ) n?n 的特征值为 ?1 , ? 2 ,?, ? n , 则 (1) trA ? ?1 ? ? 2 ? ? ? ? n ( trA ? a11 ? a22 ? ? ? ann 称为 A 的迹); (2) | A |? ?1 ? 2 ?? n . 推论: A 可逆 ? 0 不是 A 的特征值. 性质 2: A 与 AT 有相同的特征多项式及相同的特征值. 性质 3: ? 是 A 的属于特征值 ? 的特征向量, k ? 0 ,则 k? 也是 A 的属于 ? 的 设 特征向量. 性 质 4: 若 ? 1 , ? 2 是 A 的属于特征值 ? 的线性无关的两个特征向量 , 则
k1 ? 1 ? k 2 ? 2 ( k1 , k 2 不全为零)也是 A 的属于 ? 的特征向量.

一般地,若 ? 1 , ? 2 , ? , ? r 是 A 的属于特征值 ? 的线性无关的两个特征向 量,则 k1 ? 1 ? k 2 ? 2 ? ? ? k r ? r ( k1 , k 2 ,?, k r 不全为零)也是 A 的属于 ? 的特征 向量. 性质 5:设 ?1 , ? 2 是 A 的不同的特征值,且 ? 1 , ? 2 是 A 的分别属于 ?1 , ? 2 的特 征向量,则 ? 1 与 ? 2 一定线性无关. 定理 2:设 An?n 的互异特征值为 ?1 , ? 2 ,?, ? m , 重数依次为 r1 , r2 ,? , rm , 对应
( ( ? i 的线性无关的特征向量为 p1i ) , p 2i ) ,? , p l( i ) ( i ? 1,2,?, m ) ,则向量组
i

( ( m p11) ,?, pl(11) , ??, p1m ) ,?, pl(m ) 线性无关.

性质 6:设 ? 是 A 的特征值, ? 是 A 的属于 ? 的特征向量,则
kA, aA ? bE, A m , A ?1,A
*

分 别 有 特 征 值 k? , a? ? b, ? m ,

?

1 | A| ,? 也是 ,

?

kA, aA ? bE, A m , A ?1,A * 的属于上述对应特征值的特征向量.

一般地,设 f ( x ) ? a 0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a m x m , A 是 n 阶方阵.若 ? 是

A 的特征值,则 f (? ) 是 f ( A) 的特征值.
[注] 一般结论:若 A 的全体特征值为 ?1 , ? 2 ,?, ? n ,则 f ( A) 的全体特征值 为 f (?1 ), f (? 2 ), ?, f (? n ) . 例 5:设 A4?4 的特征值为 ?1 ? ?1, ? 2 ? 0, ? 3 ? 1, ? 4 ? 2 , 求 A2 ? 2 A ? 3 E 的全 部特征值,且证明 A2 ? 2 A ? 3 E 可逆. 解: 设 f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 3 , 则 f ( A) ? A 2 ? 2 A ? 3 E 的特征值为
f (?1 ) ? 6, f (? 2 ) ? 3, f (? 3 ) ? 2, f (? 4 ) ? 3

由于 | A 2 ? 2 A ? 3 E |? 6 ? 3 ? 2 ? 3 ? 0 ,故 A2 ? 2 A ? 3 E 可逆.

作业:1、复习 P117-121;2、预习 P121-124 ; 3、习题:P135:6(1),9,12 教学后记:


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