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物理光学竞赛单元检测卷答案


求解光楔的倾角
杨氏双缝实验中, 双缝间距为 d, 双缝到光屏的距离为 D = 1m, 入射单色光的波长为 λ 。 若在紧靠双缝处放置一折射率 n = 1.5 的光楔,如图一所示,测得干涉条纹较放光楔前移动 了 ?x = 3mm 。试求: 光楔的楔角 α 解:放入光楔后,双缝到达 P 点的光程差为

δ = (r2 ? e2 + ne2 ) ? (r1 ? e1 + ne1 )
= r2 ? r1 + (n ? 1)(e2 ? e1 )
因为楔角很小, e1 和 e2 可以看作双缝处的光楔厚度。根据 几何关系,有 e2 ? e1 = dtgα , 而 r2 ? r1 =

d x. D x 所以, δ = d + (n ? 1)d ? tgα D
未放光楔时,双缝到达 P ′ 点的光程差也为 δ ,则有 δ = 所以,

d ( x + ?x), D

x d d + (n ? 1)d ? tgα = ( x + ?x). D D

解,得到 α ≈ tgα =

?x 3 × 10 3 = = 6 × 10 ?3 rad = 21′ D(n ? 1) 1 × (1.5 ? 1)

求解干涉条纹的动态变化
试描述杨氏双缝干涉实验在下列情况下条纹的变化情况。 (1) 将光源向上(或者向下)移动 y 距离后,中央条纹位置将向哪个方向移动? 移动多少? (2) 如果双缝间距 d 加倍,则干涉图样中相邻两明条纹(或者暗条纹)之间的距 离是否有变化?变化多少? (3) 如果每个狭缝的宽度加倍,但两缝间距 d 不变,干涉图样有何变化? (4) 如果两个狭缝中只有一个狭缝的宽度加倍,干涉图样是否有变化? 解: (1)光源 S 向上移动 y 距离,使入射光到达两缝处已经产生光程差,在屏上离中 心点向下为 ?y 的 P 点处,两相干光的光程差为

δ = d sin θ ? d sin θ ′ ,
d 为双缝的间距,而 sin θ =
则两相干光的光程

y ?y , sin θ ′ = , l D

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δ = d( ?

y l

?y ). D
D y. l D y, l

当光程差 δ = 0 时,则 ?y 是干涉图样的中央条纹下移的距离 ?y =

(2) 按照杨氏双缝干涉的特点, 相邻两明条纹 (或者暗条纹) 之间的距离 ?y ′ =

由于间距 d 变成 2d,所以两明条纹(或者暗条纹)的间距减为原来的一半,条纹变 密。 (3)若每个狭缝的宽度加倍,因为两缝的间距 d 保持不变,所以对干涉条纹的位 置是没有影响的。但由于缝宽加倍,由单缝衍射中央明条纹宽度公式 ?y 衍 =

2 λD a

(a 为缝宽)可知,衍射图样发生改变,衍射的中央明条纹的宽度将减为原来的一 半,衍射对干涉的影响加大,干涉条纹的光强较明显的受到衍射的调制。 (4)两狭缝的宽度不一致,导致两狭缝的衍射图样不相同,两束光的分振幅不等, 条纹的强度反差减小,干涉图像变的模糊。

运用波的干涉理解薄膜干涉现象
白光垂直照射到空气中一厚度为 380nm 的肥皂膜上,设肥皂膜的折射率为 1.33。试问: 这膜的正面呈现什么颜色?背面呈现什么颜色? 解:在垂直入射到肥皂膜的白光中,发生反射干涉相长的光波波长必须满足下面公式:

2ne +

λ
2

= kλ

(k=1,2...) ...

由此求得波长为 λ =

4ne 4 × 1.33 × 380 × 10 ?9 2021.6 × 10 ?9 = = . 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1

以 k = 1,2,3...... 相继代入上式,可知

k = 2, λ 2 = 673.9nm (红色) k = 3, λ3 = 404.3nm (紫色) , 。
恰好落在白光的波长组成范围内,对于其他 k 值所得的波长都在白光的波长组成范围 之外。由此可见,肥皂膜的正面呈现紫红色。 在垂直入射到肥皂膜的白光中,发生透射干涉相长的波长必须满足

2ne = kλ
于是求得波长

( k = 1,2...... ) ,

λ=

2ne 2 × 1.33 × 380 × 10 ?9 1010.8 × 10 ?9 = = . k k k

只有当 k = 2 时所得的波长 λ = 505.4nm (蓝绿色) 才落在白光的波长组成范围内,故肥皂膜的背面呈现蓝绿色。

求解油膜的最薄厚度
有一层折射率为 1.35 的薄油膜,当我们在与膜面的法线方向成 30 角观察时,可看到
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0

由油膜反射的光呈现波长为 500nm 的绿光。试问: 油膜的最薄厚度为多少? 如果从膜面的法线方向观察,则反射光的颜色如何? 解:在应用薄膜干涉反射相长的公式时,需要区分两种情况。 第一种情况是油膜的上下表面相接触的介质的折射率均小于油膜的折射率,此时在公 式中无需加半波损失,即 2e n ? sin i +
2 2

λ
2

= kλ

(k=1,2……)

第二种情况是油膜的上下表面相接触的介质的折射率,一是小于油膜的折射率,另一 是大于油膜的折射率,此时在公式中无需加半波损失,即

2e n 2 ? sin 2 i = kλ

(k=1,2……)

对于第一种情况,得到油膜的厚度 e =

(2k ? 1)λ 4 n 2 ? sin 2 i

.

当 k = 1 时,可以得到油膜的最薄厚度为

emin =

λ
4 n ? sin i
2 2

=

500 × 10 ?9 4 (1.35) ? (sin 30 )
2 0 2

m = 0.997 × 10 ?7 m

= 0.997 × 10 ?4 mm.
对于第二种情况,得到油膜的厚度为

e=

kλ 2 n 2 ? sin 2 i

=

500 × 10 ?9 2 (1.35) 2 ? (sin 30 0 ) 2

m

= 1.99 × 10 ?7 m = 1.99 × 10 ?4 mm.
从膜面的法线方向观察时, i = 0 ,于是在第一种情况下,得到

2ne +

λ

2

= kλ

(k=1,2……).

当 k = 1 时, e = emin , 由此可得 λ =

2nemin = 4nemin = 538.4nm 。 1 2
(k=1,2……)

即此时反射光呈绿色。 对于第二种情况,可得 2ne = kλ

当 k = 1 时, e = emin , 由此可得 λ = 2nemin = 2 × 1.35 × 1.99 × 10 ?7 m = 537.3nm 此时反射光同样呈现绿色。

求解干涉条纹的数目
一玻璃劈的末端的厚度为 0.05mm,折射率为 1.50,今用波长为 700nm 的平行单色光以入 射角为 30 的方向射到劈的上表面。试求: (1) 在玻璃劈上所形成的干涉条纹的数目。设玻璃劈放在空气中; (2) 若以两玻璃片所形成的空气劈代替玻璃劈,其尺寸与玻璃劈尺寸完全相同,则 所产生的条纹数目又为多少?
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0

解: (1)玻璃劈尖:由干涉明条纹条件

2e n 2 ? sin 2 i +

λ
2

= kλ

(k=1,2……)

相邻明条纹间的厚度变化为

?e = ek +1 ? ek =

λ
2 n 2 ? sin 2 i

=

λ
2 (1.50) 2 ? (sin 30 0 ) 2

=

λ
2 2

.

玻璃劈尖上的干涉明条纹的数目为

N=

h 2 2h 2 2 × 0.05 × 10 ?3 = = = 202. ?e λ 700 × 10 ?9

(2)若以空气劈代替玻璃劈,则干涉明条纹的条件为

2e 1 ? n 2 sin 2 i +

λ
2

= kλ

( k = 1,2...... ) 。

相邻明条纹间的厚度变化为

?e′ = e′ +1 ? e′ = k k

= 2 1 ? n 2 sin 2 i λ 2 = = λ 7 2 1 ? 1.50 2 × (sin 30 0 ) 2
h 7h = = ?e′ 2λ 7 × 0.05 × 10 ?3 = 94. 700 × 10 ?9

λ

空气劈上的干涉明纹数目 N ′ =

理解牛顿环干涉装置
(1) 由曲率半径 R = 19cm 的透镜和平玻璃组成牛顿环干涉装置,用不同的光进行 实验。观察到用 λ1 = 600nm 的第 k 级暗环与用 λ 2 = 450nm 时的第 k + 1 级重 合。求用 λ1 时第 k 级暗环的半环。 (2) 又如波长为 λ3 = 500nm 的第 5 级明环与波长为 λ 4 时的第 6 级明环重合,求波 长 λ4 . 解: (1)牛顿环中第 k 级暗环的半径

rk = 2 Re k = kRλ .
当波长为 λ1 的光的第 k 级暗环与波长为 λ 2 的光的第 k + 1 级暗环重合,则

kRλ1 = (k + 1) Rλ 2
k=

λ1 ? λ 2

λ2

.
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所以用 λ1 时第 k 级暗环的半径

rk = kRλ1 =

λ1λ 2 R 600 × 10 ?9 × 450 × 10 ?9 × 0.19 = = 0.585mm. λ1 ? λ 2 (600 ? 450) × 10 ?9

(2)牛顿环中第 k 级明环的半径

rk =

(2k ? 1) Rλ . 2

当波长为 λ3 的光的第 5 级明环与波长为 λ 4 的光的第 6 级明环重合,则

(2k 3 ? 1) Rλ3 (2k 4 ? 1) Rλ 4 = , 2 2
得到

λ4 =

2k 3 ? 1 2 × 5 ?1 λ3 = × 500 = 409.1nm. 2k 4 ? 1 2 × 6 ?1

理解油膜的干涉条纹
如图一所示的实验装置中,在平面玻璃片上放一油滴,当油滴展开成圆形油膜时,在 波长 λ = 600nm 的单色光垂直入射下,从反射光中观察油膜所形成的干涉条纹。已知玻璃 — 的折射率 n1=1.20。问: (1)当油膜中心最高点与玻璃片上表面相距 h=1.2 × 10 3mm 时,看 到的条纹情况如何?可看到几条明条纹?明条纹所 在处的油膜厚度为多少?中心点的明暗程度如何? (2)当油膜继续扩展时,所看到的条纹情况将如何变 化?中心点的情况如何变化? 解: (1)这时等厚干涉的情况,故看到的是一 系列的同心圆的干涉条纹。又由于油的折射率介于 空气和玻璃的折射率之间,故不必考虑半波损失, 从而油膜外缘处为零级明纹, 它相当于 k = 0 。 明纹 处满足条件

2n2 e = kλ
所以, k =

k=0,1,2……

2n 2 e

λ

=

2 × 1.2 × 1.2 × 10 ?3 = 4 .8 600 × 10 ?9

因为 k 必须为整数,所以 k 取为 4,这样可以 观察到 5 个明环。中心点的明暗程度是介于明纹和暗纹之间。各级明环的油膜厚度为

k = 0, e0 = 0; k = 1, e1 = 2.5 × 10 ?4 mm;

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k = 2, e2 = 5.0 × 10 ?4 mm, k = 3, e2 = 7.5 × 10 ?4 mm, k = 4, e2 = 10.0 × 10 ?4 mm
(2)当油膜继续扩展时,油膜厚度将不断减小,最外圈的明环半径不断扩大,明环的 数目不断减少, 间距增大, 看上去好像是明纹向中心移动。 中心点由半明半暗向暗、 明、暗、 明……连续交替变化,直至整个油膜呈现一片明亮区域。

理解镀多层薄膜的依据
利 用 折 射 率 分 别 为 n1 = 2.37 的 ZnS 和

n2 = 1.38 的 MgF2 的 透 明 介 质 在 折 射 率 为
n = 1.50 的玻璃上镀三层薄膜,如图一。在波长 λ = 632.8 nm 的氦氖激光垂直照射下,欲得到最
高反射率,两种透明介质应分别镀在内层上?各 层的厚度应如何选取? 解:欲得到高反射率,要求在四个界面上的 反射光到达最上层薄膜表面处相位相同。 因第一层薄膜上为空气, 所以反射光和入射光的光 程差 δ 1 =

λ
2

. 在第一层和第二层薄膜表面的反射光与入射光的光程差也应为

λ
2

, 这要求第一

层介质的折射率要大于第二层介质的折射率。同样的分析可知,第一、三层为折射率

n1 = 2.37 的介质,第二层为折射率 n2 = 1.38 的介质。这样,第二、三层薄膜表面的反射
光和入射光的光程差

δ 3 = 2n1l1 + 2n2 l 2 +

λ
2

=

3 λ, 2 3 2

在玻璃表面上的反射光和入射光的光程差

δ 4 = 2n1l1 + 2n2 l 2 + 2n1l1 = λ
第一、 三层介质的厚度

632.8 × 10 ?9 l1 = l 3 = = = 66.7 × 10 ?9 m = 66.7 nm 4n1 4 × 2.37
第二层介质的厚度为

λ

l2 =

λ
4n 2

=

632.8 × 10 ?9 = 114.6 × 10 ?9 = 114.6nm 4 × 1.38

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