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2015-2016学年高中数学 2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式课时作业 新人教B版必修4


2015-2016 学年高中数学 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式 课时作业 新人教 B 版必修 4

一、选择题 3 1.已知 a=(-2,-3)、b=( ,-1),则向量 a 与 b 的夹角为( 2 π A. 6 π C. 3 [答案] D 3 [解析] 由 a?b=-2? +(-3)?(-1)=0,∴a⊥b. 2 2.(2015?河南南阳高一期

末测试)设向量 a=(2,0)、b=(1,1),则下列结论中正确的 是( ) A.|a|=|b| C.(a-b)⊥b [答案] C [解析] |a|=2,b= 2,∴|a|≠|b|; 1 B.a?b= 2 D.a∥b π B. 4 π D. 2 )

a?b=2?1+0?1=2; a-b=(1,-1),(a-b)?b=1?1+(-1)?1=0,
∴(a-b)⊥b,故选 C. 3.已知 A、B、C 是坐标平面上的三点,其坐标分别为 A(1,2)、B(4,1)、C(0,-1), 则△ABC 的形状为( A.直角三角形 C.等腰直角三角形 [答案] C → → [解析] AB=(3,-1),AC=(-1,-3), → ) B.等腰三角形 D.以上均不正确

AB?AC=3?(-1)+(-1)?(-3)=0,
→ → 且|AB|=|AC|= 10.∴△ABC 为等腰直角三角形. 4. 已知 a=(-3,2)、 b=(-1,0), 向量 λ a+b 与 a-2b 垂直, 则实数 λ 的值为( )



1

1 A.- 7 1 C.- 6 [答案] A [解析] ∵a=(-3,2),b=(-1,0), ∴λ a+b=(-3λ -1,2λ )

1 B. 7 1 D. 6

a-2b=(-3,2)-2(-1,0)=(-1,2),
由(λ a+b)⊥(a-2b), 1 得 4λ +3λ +1=0,∴λ =- . 7 5.(2015?新课标Ⅱ,4)向量 a=(1,-1)、b=(-1,2),则(2a+b)?a=( A.-1 C.1 [答案] C [解析] 由题意可得 a =2,a?b=-3,所以(2a+b)?a=2a +a?b=4-3=1.故选 C. 6.(2014?重庆理,4)已知向量 a=(k,3)、b=(1,4)、c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则 实数 k=( 9 A.- 2 C.3 [答案] C [解析] 本题考查了平面向量的坐标运算与向量的垂直,因为 2a-3b=(2k-3,-6), 又因为(2a-3b)⊥c,所以,(2a-3b)?c=0, 即(2k-3, -6)?(2,1)=0, ∴4k-6-6=0, 解得 k=3,本题根据条件也可以转化为 2a?c-3b?c=0 化简求解. 二、填空题 7.(2015?广州高一期末测试)已知向量 a=(1,2)、b=(x,2),且 a⊥b,则实数 x 的值 为________. [答案] -4 [解析] ∵a⊥b,∴a?b=0, ∴x+4=0,∴x=-4. 8.已知向量 a=(-4,3)、b=(-3,4),b 在 a 方向上的投影是________. [答案] 24 5
2
2 2

)

B.0 D.2

) B.0 15 D. 2

[解析] b 在 a 方向上的投影为|b|cos 〈b, a〉 = 三、解答题

a?b ?-4???-3?+3?4 24 = = . |a| 5 5

9.(2015?河南新乡高一期末测试)已知向量 a=(1,0)、b=(1,2)、c=(0,1). (1)求实数 λ 和 μ ,使 c=λ a+μ b; → → → → (2)若AB=-a+3c,AC=4a-2c,求向量AB与AC的夹角 θ . [解析] (1)c=λ a+μ b=(λ +μ ,2μ ), 1 ? ?λ =-2 ,∴? 1 ?μ =2 ?

?λ +μ =0 ? ∴? ?2μ =1 ?

.

→ → (2)AB=(-1,3),AC=(4,-2), ∴cosθ = -4-6 2 = =- . → → 2 10? 20 |AB||AC|

AB?AC

→ →

3π 又∵0≤θ ≤π ,∴θ = . 4 10. (2015?广东理, 16)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知向量 m=? 2? ? 2 n=(sin ,- ?、 2 ? ?2

x,cos x),x∈?0, ?. 2

? ?

π?

?

(1)若 m⊥n,求 tan x 的值; π (2)若 m 与 n 的夹角为 ,求 x 的值. 3 [解析] (1)解法一:∵m⊥n,∴m?n=0,即 解法二:∵m=? 2 2 sinx- cosx=0,∴tanx=1. 2 2

2? ? 2 ,- ?,n=(sin x,cos x),且 m⊥n, 2 ? ?2

m?n=?


2? ? 2 ,- ??(sin x,cos x) 2 2 ? ?

2 2 ? π? sin x- cos x=sin?x- ?, 4? 2 2 ?

π ? π π? ? π? 又 x∈?0, ?,∴x- ∈?- , ?, 2 4 ? 4 4? ? ? π π π ∴x- =0,即 x= ,∴tan x=tan =1. 4 4 4

3

(2)由题意知 cos

π m?n = 3 |m|?|n|



? π? sin?x- ? 4? ?

? 2?2 ?- 2?2 2 2 ? ? +? ? ? sin x+cos x 2 2 ? ? ? ?

? π? =sin?x- ?, 4? ?

π ? π π? ? π? 1 ∴sin?x- ?= ,又 x- ∈?- , ?, 4 2 4 ? 4 4? ? ? π π 5π ∴x- = ,即 x= . 4 6 12

一、选择题 π 1.(2014?山东文,7)已知向量 a=(1, 3)、b=(3,m),若向量 a、b 的夹角为 , 6 则实数 m=( A.2 3 C.0 [答案] B [解析] 本题考查向量的坐标运算及数量积. ) B. 3 D.- 3

a?b=3+ 3m=|a|?|b|?cos
=2? 9+m ?
2

π 6

3 .解得,m= 3. 2

2.(2015?福建文,7)设 a=(1,2)、b=(1,1),c=a+kb,若 b⊥c,则实数 k 的值等 于( ) 3 A.- 2 5 C. 3 [答案] A [解析] 由已知得 c=(1,2)+k(1,1)=(k+1,k+2),因为 b⊥c,则 b?c=0,因此 k +1+k+2=0, 3 解得 k=- ,故选 A. 2 3.若向量 a=(1,2)、b=(1,-1),则 2a+b 与 a-b 的夹角等于( ) 5 B.- 3 3 D. 2

4

π A.- 4 π C. 4 [答案] C [解析] 本题考查了向量的坐标运算.

π B. 6 3π D. 4

∵a=(1,2),b=(1,-1),则 2a+b=(3,3),a-b=(0,3),则 cos<2a+b,a-b>= 3?0+9 2 π = ,∴?2a+b,a-b?= . 4 3 2?3 2 4.已知 a=(2,4),则与 a 垂直的单位向量的坐标是( A.? B.? C.? 2 5? ? 5 2 5? ? 5 ,- ?或?- ,- ? 5 ? ? 5 5 ? ?5 2 5? ? 5 2 5? ? 5 ,- ?或?- , ? 5 ? ? 5 5 ? ?5 5? ? 2 5 5? ?2 5 ,- ?或?- ,- ? 5 ? ? 5 5 ? ? 5 )

5? ?2 5 5? ? 2 5 D.?- , ?或? ,- ? 5 5 5 5 ? ? ? ? [答案] D [解析] 设与 a 垂直的单位向量的坐标是(x,y), 2 5 ? ?x=- 5 ,解得? 5 ? ?y= 5 2 5 ? ?x= 5 ,或? 5 ? ?y=- 5

? ?x +y =1 则? ?2x+4y=0 ?

2

2

.

二、填空题 5.(2014?湖北理,11)设向量 a=(3,3)、b=(1,-1),若(a+λ b)⊥(a-λ b),则 实数 λ =________. [答案] ±3 [解析] 因为 a+λ b=(3+λ ,3-λ ),a-λ b=(3-λ ,3+λ ),又(a+λ b)⊥(a -λ b),所以(a+λ b)?(a-λ b)=(3+λ )(3-λ )+(3-λ )(3+λ )=0,解得 λ =±3. 6.(2014?四川文,14)平面向量 a=(1,2)、b=(4,2)、c=ma+b(m∈R),且 c 与 a 的 夹角等于 c 与 b 的夹角,则 m=________. [答案] 2 [解析] 本题考查了平面向量的坐标运算、数量积等基础知识 c=ma+b=(m+4,2m+ 2),由题意有: = |a||c| |b||c|
5

a?c

b?c

即:

a?c b?c = ,代入得: |a| |b|
5 = 20 ,解得 m=2.

m+4+4m+4 4m+16+4m+4
三、解答题

7. (2015?山东临沂高一期末测试)在平面直角坐标系 xOy 中, 点 A(-1, -2)、 B(2,3)、

C(-2,-1).
→ → (1)求AB?AC; → → → (2)若实数 t 满足(AB-tOC)?OB=0,求 t 的值. → → [解析] (1)AB=(3,5),AC=(-1,1), → → ∴AB?AC=3?(-1)+5?1=2. → → (2)∵OB=(2,3),OC=(-2,-1), → → ∴AB-tOC=(3+2t,5+t). → → → 又∵(AB-tOC)?OB=0, ∴2?(3+2t)+3?(5+t)=0, ∴t=-3. 8.已知 a=(3,4)、b=(4,3),求 x、y 的值使(xa+yb)⊥a,且|xa+yb|=1. [解析] ∵a=(3,4),b=(4,3),∴xa+yb=(3x+4y,4x+3y). 又(xa+yb)⊥a,∴(xa+yb)?a=0, ∴3(3x+4y)+4(4x+3y)=0, 即 25x+24y=0,① 又|xa+yb|=1,∴|xa+yb| =1, ∴(3x+4y) +(4x+3y) =1. 整理得 25x +48xy+25y =1, 即 x(25x+24y)+24xy+25y =1.② 由①②有 24xy+25y =1,③ 5 将①变形代入③可得 y=± . 7 5 24 当 y= 时,x=- , 7 35 5 24 当 y=- 时,x= . 7 35
2 2 2 2 2 2 2

6

24 x= ? ? 35 所以? 5 y=- ? ? 7

24 x=- ? ? 35 或? 5 y= ? ? 7

.

9. 设 a=(4,-3)、b=(2,1),若 a+tb 与 b 的夹角为 45°,求实数 t 的值. [解析] a+tb=(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3), (a+tb)?b=(4+2t,t-3)?(2,1)=5t+5, |a+tb|= ?4+2t? +?t-3? = 5?t+1? +20, 由(a+tb)?b=|a+tb||b|cos45°, 5 2 2 得 5t+5= ?t+1? +4, 2 即 t +2t-3=0,解得 t=-3 或 t=1. 经检验知 t=-3 不符合题意,舍去.所以 t=1.
2 2 2 2

7


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