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上海市崇明县2017届高三第一次模拟考试 数学试题 Word版含答案


崇明县 2016 学年第一次高考模拟考试试卷 数 学

一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分,其中 1-6 题每题 4 分,7-12 题每题 5 分)
【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得满分,否则一律得零分.】 1.复数 i (2 ? i ) 的虚部为 . .

? ?log2 x , x ? 0 2.设函数 f ( x) ? ? x ,则 f ( f (?1)) ? ? ?4 , x ≤ 0
3 . 已 知 M ?? x .

? 1? x ? ≥ 0, x ? R ? , 则 M∩P 等 1 ? x≤ 2 , ? x ,R P ? ? x ? ? x?2 ?



4.抛物线 y ? x2 上一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标为



1 5.已知无穷数列 {an } 满足 an?1 ? an (n ? N * ) ,且 a2 ? 1 ,记 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,则 2

lim Sn ?
n??

. .

6.已知 x, y ? R? ,且 x ? 2 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为

7 . 已 知 圆 锥 的 母 线 l ? 10 , 母 线 与 旋 转 轴 的 夹 角 ? ? 30? , 则 圆 锥 的 表 面 积 为 . .

1 8.若 (2 x2 ? )n (n ? N*) 的二项展开式中的第 9 项是常数项,则 n ? x

9.已知 A,B 分别是函数 f ( x) ? 2sin ? x (? ? 0) 在轴右侧图像上的第一个最高点和第 一个最 低点,且 ? AOB ?

?
2

,则该函数的最小正周期是



10.将序号分别为 1、2、3、4、5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张,如 果分给同一人 的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是 .

-1-

11.在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫做格点.若函数 y ? f ( x) 的图像 恰好经 过 k 个格点,则称函数 y ? f ( x) 为 k 阶格点函数.已知函数:① y ? x2 ;②
y ? 2sin x ;

?? ? ③ y ? ? x ? 1 ;④ y ? cos ? x ? ? .其中为一阶格点函数的序号为 3? ?
(注:把你认为 正确论断的序号都填 上)
??? ? ??? ? 12.已知 AB 为单位圆 O 的一条弦,P 为单位圆 O 上的点.若 f (? ) ? AP ? ? AB (? ? R ) 的

最小值为 m ,当点 P 在单位圆上运动时, m 的最大值为 为 .

4 ,则线段 AB 的长度 3

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)
【每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂 黑,选对得 5 分,否则一律得零分.】 13.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A. y ? tan x B. y ? 3 x C. y ? x 3
1

D. y ? lg x

?a ? b ? 2 14.设 a, b ? R ,则“ ? ”是“ a ? 1 且 b ? 1 ”的 ? ab ? 1
A.充分非必要条件 C.充分必要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

15.如图,已知椭圆 C 的中心为原点 O, F (?2 5, 0) 为 C 的左焦点,

P 为 C 上一点,满足 OP ? OF 且 PF ? 4 ,则椭圆 C 的方程为
A. C.
x2 y 2 ? ?1 25 5 x? y2 ? ?1 36 16

B. D.

x2 y2 ? ?1 30 10 x2 y 2 ? ?1 45 25

-2-

16.实数 a、b 满足 ab ? 0 且 a ? b ,由 a、b、 A.可能是等差数列 ,也可能是等比数列 比数列

a?b 、 ab 按一定顺序构成的数列 2
B. 可能是等差数列 ,但不可能是等

C.不可能是筹差数列,但可能是等比数列 D.不可能是等差数列 ,也不可能是等比 数列

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分)
【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】 17.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分. 在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? 1, BB1 ? 2 ,求: (1)异面直线 B1C1 与 A1C 所成角的大小; (2)四棱锥 A1 ? B1BCC1 的体积.

-3-

18.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 在一个特定时段内, 以点 D 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域. 点 D 正北 55 海里 处 有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45 ? 且与点 A 相 距

40 2 海里的位置 B 处,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45? ? ? (其中
sin ? ? 26 , 26

0? ? ? ? 90? )且与点 A 相距 10 13 海里的位置 C 处.

(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (2)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.

19.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 已知点 F1 、 F2 为双曲线 C : x 2 ? 轴的直线, 在轴上方交双曲线 C 于点 M,且 ?MF1 F2 ? 30? . (1)求双曲线 C 的方程; (2)过双曲线 C 上任意一点 P 作该双曲线两条渐近线的垂线 ,垂足分别为 P1 、 P2 ,
y2 ? 1 (b ? 0) 的左、右焦点,过 F2 作垂直于 x b2

??? ? ???? 求 PP 1 ? PP 2 的值.

-4-

20.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 5 分,第(3) 小题满分 7 分. 设 f ( x) ?
?2 x ? a ( a , b 为实常数). 2 x ?1 ? b

(1)当 a ? b ? 1 时,证明: f ( x) 不是奇函数; (2)若 f ( x) 是奇函数,求 a 与 b 的值; (3)当 f ( x) 是奇函数时,研究是否存在这样的实数集的子集 D,对任何属于 D 的、c, 都有 f ( x) ? c2 ? 3c ? 3 成立?若存在试找出所有这样的 D;若不存在,请说明理由.

21.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3) 小题满分 8 分. 已知数列 {an } , {bn } 满足 2Sn ? (an ? 2) bn ,其中 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和. (1)若数列 {an } 是首项为

2 1 ,公比为 ? 的等比数列,求数列 {bn } 的通项公式; 3 3

(2)若 bn ? n , a2 ? 3 ,求证:数列 {an } 满足 an ? an? 2 ? 2an?1 ,并写出数列 {an } 的通项 公式; (3)在(2)的条件下,设 cn ?

an , bn

求证:数列 {cn } 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积 .

-5-

崇明县 2016 学年第一次高考模拟考试试卷参考答案及评分标准

一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分,其中 1-6 题每题 4 分,7-12 题每题 5 分) 3 1 1. 2; 2. -2; 3. 1-1,1]; 4. ; 5. 4; 6. ; 4 8
7.

75?

8.

12;

9.

8 3; 3

10.

24;

11.

??;

12.

4 2 . 3

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)
13. 14.B; 15.C; 16.B. 三、解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分) 17.解:(1)? B1C1 / / BC , C;

??BCA1 是异面直线 B1C1 与 A1C 所成角............................2 分
在 ? BCA1 中, BC ? 1, A ? 5, 1B ? 5, AC 1

BC 2 ? CA12 ? BA12 5 ,........................5 分 ?cos ?BCA1 ? ? 2BC ? CA1 10
??BCA1 ? arccos 5 10 5 ................7 分 10

? 异面直线 B1C1 与 A1C 所成角大小为 arccos

(2) VABC ? A1B1C ? S? ABC ? AA1 ?

3 .......................................10 分 2

1 3 VA1 ? ABC ? S? ABC ? AA1 ? .........................................13 分 3 6
所以 VA1 ? B1BCC1 ? VABC ? A1B1C ? VA1 ? ABC ?
3 ...................................14 分 3 26 , 26
-6-

18.解:(1)因为 0? ? ? ? 90? , sin ? ?

所以 cos ? ? 1 ? sin

2

? ?

5 26 ....................................2 分 26

由余弦定理,得 BC ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos? ? 10 5 ,..........5 分 所以船的行驶速度为
10 5 ? 15 5 (海里/小时)..................6 分 2 3

(2)如图所示,以 A 为原点建立平面直角坐标系,设点 B,C 的坐标分别是 , B (x1,y1),( C x2 ,y2)

? x ? AB ? cos 45? ? 40 由题意,得 ? 1 ............................8 分 ? y1 ? AB ? sin 45? ? 40 ? x2 ? AC ? cos(45? ? ? ) ? 30 ..................................10 分 ? ? y2 ? AC ? sin(45? ? ? ) ? 20
所以直线 BC 的方程为 2 x ? y ? 40 ? 0 .........................12 分
(0, ? 55) 因为点 E 到直线 BC 的距离 d ?

| ax0 ? by0 ? c | a 2 ? b2

?3 5 ?7

所以船会进入警戒水域...............................14 分
2 2 解:(1)设 F2 , M 的坐标分别为 ( 1 ? b , 0), ( 1 ? b , y0 ) 19.

因为点 M 在双曲线上,所以 1 ? b ?
2

y0 2 ? 1,所以 | MF2 |? b2 ...........2 分 2 b

2 Rt? MF1F2 中,因为 ?MF1F2 ? 30? ,所以 | MF 1 |? 2b ,...........5 分

2 由双曲线定义,得: | MF 1 | ? | MF 1 |? b ? 2 ...........5 分

所以双曲线的方程为: x ?
2

y2 ? 1...........6 分 2

(2)由(1)知,双曲线的两条渐近线分别为 l1 : 2x ? y ? 0, l2 : 2x ? y ? 0 .......8 分 设 P( x1 , y1 ) , 则 P 到两条渐近线的距离分别为 | PP 1 |?

| 2 x1 ? y1 | 3

, | PP2 |?

| 2 x1 ? y1 | 3

.......10 分

-7-

设两条渐近线的夹角为,则两个向量夹角也为,其中 cos ? ? 又点 P 在双曲线 x ?
2

1 ..........12 分 3

y2 ? 1上,所以 2x12 ? y12 ? 2 2

??? ? ???? ??? ? ???? 2 所以 PP ..................................14 分 1 ? PP 2 ?| PP 1 | ? | PP 2 | cos? ? 9

? 2 ?1 1 ? ? , f (?1) ? 20.解: (1)证明: f (1) ? 2 5 2 ?1

?

1 ?1 1 2 ? ,所以 f (?1) ? ? f (1) , 2 4

所以 f ( x) 不是奇函数............................3 分 (2) f ( x) 是奇函数时, f (? x) ? ? f ( x) , 即
? 2?x ? a ? 2x ? a ? ? 对定义域内任意实数都成立 2 ? x ?1 ? b 2 x ?1 ? b

即 (2a ? b) ? 2 2 x ? (2ab ? 4) ? 2 x ? (2a ? b) ? 0 , 对 定 义 域 内 任 意 实 数 都 成 立...........................................5 分

?2a ? b ? 0, ?a ? ?1 ?a ? 1 所以 ? 所以 ? 或? . ?2ab ? 4 ? 0 ?b ? ?2 ?b ? 2
经检验都符合题意........................................8 分

?a ? 1 ? 2x ?1 1 1 ?? ? x (3)当 ? 时, f ( x) ? x ?1 , 2 2 ?1 2 ?2 ?b ? 2
因为 2 x ? 0 ,所以 2 x ? 1 ? 1 , 0 ? 所以 ?
1 ? 1, 2 ?1
x

1 1 ? f ( x) ? .......................................10 分 2 2 3 3 3 而 c 2 ? 3c ? 3 ? (c ? ) 2 ? ? 对任何实数成立; 2 4 4

所以可取 D = R 对任何、c 属于 D ,都有 f ( x) ? c 2 ? 3c ? 3 成立........12 分

?a ? ?1 ? 2x ?1 1 1 ?? ? (x ? 0) , 当? 时, f ( x) ? x ?1 2 1? 2x 2 ?2 ?b ? ?2
所以当 x ? 0 时, f ( x) ? ? ;当 x ? 0 时, f ( x) ?
1 2 1 .............14 分 2

1)因此取 D ? (0,??) ,对任何、c 属于 D ,都有 f ( x) ? c 2 ? 3c ? 3 成立. 2 )当 c ? 0 时, c 2 ? 3c ? 3 ? 3 ,解不等式 ?
1 1 5 ? ? 3 得: x ? log2 .所以取 x 2 1? 2 7

-8-

5 D ? (?? , log 2 ] ,对任何属于 D 的、c,都有 f ( x) ? c 2 ? 3c ? 3 成立.....16 分 7

21.(1)解:因为数列 {an } 是首项为

2 1 ,公比为 ? 的等比数列 3 3

2 1 n ?1 所以 an ? ? (? ) , Sn ? 3 3
所以 bn ?

1 1 ? (? ) n 3 .......................3 分 2

2Sn 1 ? .......................................4 分 an ? 2 2

(2)若 bn ? n ,则 2Sn ? (an ? 2) n ,所以 2Sn?1 ? (n ? 1)(an?1 ? 2) 所以 2an?1 ? (n ? 1)an?1 ? nan ? 2 ,即 (n ?1)an?1 ? 2 ? nan ........5 分 所以 nan?2 ? 2 ? (n ? 1)an?1 所以 nan?2 ? (n ?1)an?1 ? (n ? 1)an?1 ? nan 所以 an ? an ? 2 ? 2an ?1 .......................................7 分 又由 2S1 ? a1+2 ,得: a1 ? 2 ..............................8 分 所以数列 {an } 是首项为 2 公差为 1 的等差数列 所以 an ? n ? 1 .......................................10 分

n ?1 , n * * 对于给定的 n ? N ,若存在 k,t ? n ,且 t,k ? N ,使得 cn=ck ? ct ,
(3)证明:由(2)知 cn ?

n ?1 k ?1 t ?1 ? ? .......................................12 分 n k t n(k ? 1) 只需 t ? ......................................14 分 k ?n
只需 取 k ? n ? 1 ,则 t ? n(n ? 2) ......................................16 分 所以对于数列 {cn } 中的任意一项 cn ? 都存在 cn ?1 ?

n ?1 , n

n?2 n 2 ? 2n ? 1 与 cn ( n ? 2) ? ,使得 cn=cn?1 ? cn( n?2) , n ?1 n 2 ? 2n

-9-

即数列 {cn } 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积................18 分

- 10 -



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