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衡水中学2011—2012学年度高二上学期期中考试理科数学试题+答案


衡水中学 2011—2012 学年度高二上学期期中考试
高二年级(理科)数学试卷
命题人:吴素利 审核:褚艳春

8.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查 20000 人,并根据所得数据画出了样本频率分布直 方图(见下) ,为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,按月收入用分层抽样方法 抽样,若从月收入 [30003500 (元

)段中抽取了 30 人,则在这 20000 人中共抽取的人数为( ) , ) A.200 B.100
频 率/组 距 0.0005

C.20000

D.40

一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号 填涂在答题卡上)
0.0004

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点到一条渐近线的距离等于( 1.双曲线 9 16
A. 3 B. 2 C. 3 ) D. 4



0.0003 0.0002 0.0001

2.把 89 化为五进制数的首位数字是( A.1 B.2 C.3

O

1000 1500 2000 2500 3000 3500

D.4 (8 题图)

4000 月 收入 (元 )

3.若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示, 则这组数据的中位数和平均数分别是( ) A.91.5 和 91.5 B.91.5 和 92 C. 91 和 91.5 D.92 和 92

(9 题图)

9.给出一个算法的程序框图(见上) ,当输入的 x 值为 3 时,输出 y 的结果恰好是 则“?“处的关系式是( A. y ? x
3

1 , 3

4. 当 5 个整数从小到大排列时,其中中位数是 4,如果这个数集的唯一众数是 6,则这 5 个整数可 能的和的最大值是( A.21 B.22 ) C.23 D.24

)
?x

B. y ? 3

C. y ? 3

x

D. y ? x

1 3

5.某单位有青年职工 350 人, 中年职工 250 人, 老年职工 150 人, 为了了解该单位职工的健康情况, 用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为 7 人,则样本容量为( ) A.7 B.15 C.25 D.35

10. 已知椭圆

x2 y2 x2 y 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )与双曲线 2 ? 2 ? 1( m ? 0 ,n ? 0 )有相同的焦点 ? ?c,0? 2 a b m n

和 ? c,0 ? ,若 c 是 a 、 m 的等比中项, n2 是 2m 2 与 c 2 的等差中项,则椭圆的离心率是( ) A.

1 1 1 1 6.右图给出的是计算 ? ? ? ? ? ? ? 的值的一个程序框图, 2 4 6 10
其中判断框内应填入的条件是( A. i ? 5 B. i ? 5 ) D. i ? 10 C. i ? 10

1 4

B.

1 2
2

C.

2 2

D.

3 3

11.设 M( x0 , y0 )为抛物线 C: y ? 8x 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、 FM 为半径 的圆和抛物线 C 的准线相交,则 x0 的取值范围是( A. [2,+∞) B. (2,+∞)
2 2

) D. [0,2]

7.若 AB 是抛物线 y 2 ? 2 x 的一条焦点弦,|AB|=4, 则 AB 中点 C 的横坐标是( ) A.2 B.

C. (0,2)

12.若直线 m x ? ny ? 4 与圆 x ? y ? 4 没有交点,则过点 P(m, n) 的直线与椭圆 D.

1 2

C.

3 2

5 2
高二数学 (理科) 第1页(共 4 页)

x2 y2 ? ? 1的 9 4

公共点个数为( A.至少一个

) B.0 个 C.1 个 D.2 个

期中试题 第2页(共 4 页)

18.(本题满分 12 分)

第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分) 13.某个容量为 100 的样本的频率分布直方图(如右) , 则在区间 [4,5) 上的数据的频数为
2

为了让学生更多的了解“数学史”知识,某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹,倾听 数学的声音”的数学史知识竞赛活动,共有 800 名学生参加了这次竞赛,为了解本次竞赛的成绩情 况,从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计,统计结果见下表。请 你根据频率分布表解答下列问题: (1)填充频率分布表中的空格。 (2)为鼓励学生更多的学生了解“数学史”知识,成绩不低于 85 分的同学能获奖,请估计在参加 的 800 名学生中大概有多少名学生获奖?
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.

14.已知直线 l 过抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 且与 C 的对称轴垂直, l 与 C 交于 A、B 两点,

P 为 C 的准线上一点,且 S ?ABP ? 36,则过抛物线 C 的焦点的弦长的最小值是_________

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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(3)在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图,求输出的 S 的值.

15.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a,从{1,2,3}中随机选取一个数为 b,则使得 b ? a 的不同 取法共有 种. .(填上你认为正确的所有序号)

16.下列命题中正确的为

(1)用更相减损术求 295 和 85 的最大公约数时,需要做减法的次数是 12; (2)利用语句 X=A,A=B,B=X 可以实现交换变量 A,B 的值; (3)用秦九韶算法计算多项式 f ( x) ? 12 ? 35x ? 8x 2 ? 79x 3 ? 6x 4 ? 5x 5 ? 3x 6 在 x ? ?4 时的 值时, V 2 的值为 ? 57 ; (4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数,则这一组数的平均数改变,方差不改变。 三、解答题(共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分)下表提供了某厂节能降耗技术发行后,生产甲产品过程中记录的产量 x (吨) 与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对应数据. x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

? ? ? (1)求线性回归方程 y ? b x ? a 所表示的直线必经过的点; ? (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? b x ? a ;
并预测生产 1000 吨甲产品的生产能耗多少吨标准煤?

?

?

? (参考: b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

? xi2 ? nx
i ?1

? ? , a ? y ? bx )

2

19. (本题满分 12 分) 已知椭圆 E 的中心是坐标原点,焦点在坐标轴上,且椭圆过点 A(?2,0), B(2,0), C (1, ) 三点.
高二数学 (理科) 第3页(共 4 页) 期中试题 第4页(共 4 页)

3 2

(1) 求椭圆 E 的方程; (2) 若点 D 为椭圆 E 上不同于 A,B 的任意一点, F (?1,0), H (1,0) ,求 ?DFH 内切圆的面积的 最大值,并指出其内切圆圆心的坐标.

离心率等于 2 .直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点.
2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 椭圆 C 的右焦点 F 是否可以为 ?BMN 的垂心?若可以,求出直线 l 的方程; 若不可以,请说明理由.

20. (本题满分 12 分)

x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的一个焦点坐标为 (1, 0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍. a b
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 O 为坐标原点,椭圆 C 与直线 y ? kx ? 1 相交于两个不同的点 A, B ,线段 AB 的中点为 P , 若直线 OP 的斜率为 ?1 ,求△ OAB 的面积.

22. (本题满分 12 分) 设椭圆 C: (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 D(l,0),直线 l: 形是菱形,求 k 的取值范围. 与椭圆 C 交于 A、B 两点,以 DA 和 DB 为邻边的四边 (a〉b>0)的左焦点为 ,椭圆过点 P( )

21.(本题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点 B 恰好是抛物线 y ?
高二数学 (理科)

1 2 x 的焦点, 4
期中试题 第6页(共 4 页)

第5页(共 4 页)

衡水中学高二上学期期中数学 (理科)
DCAAB ACACB BD 13. 30 14. 12 15. 12 16. (1) (4) (2) ……………………..6 分 17. 解: (1) X ? 4.5 , Y ? 3.5 ,

? 线性回归方程 y ? b x ? a 所表示的直线必经过的点(4.5,3.5)??????3 分
(2)

?

?

? X Y ? 66.5
i ?1 i i

4

?X
i ?1

4

2 i

? 32 ? 42 ? 52 ? 62 ? 86 ,又

X ? 4.5 , Y ? 3.5

? 所以 b ?

66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 66.5 ? 63 ? ? 0.7 ; 86 ? 4 ? 4.52 86 ? 81
y ? 0.7 x ? 0.35

? ? a ? Y ? bX ? 3.5 ? 0.7 ? 4.5 ? 0.35
……………………..12 分 20.解: (Ⅰ)题意得 c ? 1, a ? 2b ,
2 2 2 2 又 a ? b ? 1,所以 b ? 1 , a ? 2 .

所求的回归方程为:

????????8 分

x ? 1000 y ? 1000? 0.7 ? 0.35 ? 700.35 吨, ,
预测生产 1000 吨甲产品的生产能耗 700.35 吨 ???10 分 18. ????????5 分

………………2 分

所以椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

………………4 分

???????8 分

(Ⅱ)设 A(0,1) , B( x1 , y1 ) , P( x0 , y0 ) , 联立 ?

? x 2 ? 2 y 2 ? 2, ? y ? kx ? 1

消去 y 得 (1 ? 2k ) x ? 4kx ? 0 ……(*) ,
2 2

………………6 分

???????12 分 19.

4k 4k ,所以 x1 ? ? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 4k 1 ? 2k 2 2k 1 , ), , ) , P(? 所以 B(? 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? ?1 , 因为直线 OP 的斜率为 ?1 ,所以 ? 2k 1 解得 k ? (满足(*)式判别式大于零). 2 2 1 O 到直线 l : y ? x ? 1的距离为 , 2 5 2 AB ? x12 ? ( y1 ? 1)2 ? 5, 3 1 2 2 2 5? ? . 所以△ OAB 的面积为 ? 2 3 5 3
解得 x ? 0 或 x ? ? 21.解: (1)设 C 方程为

………………8 分

………………10 分

………………12 分

x2 y2 a2 ? b2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,则 b = 1. ? .即a 2 ? 2. 2 2 a b 2 a

高二数学

(理科)

第7页(共 4 页)

期中试题 第8页(共 4 页)

x2 ? y 2 ? 1. ∴椭圆 C 的方程为 2

??????4 分

则 x1 ? x2 ? ?

2 8km , x1 ? x2 ? 4( m2 ? 1) , 4k 2 ? 1 4k ? 1

(Ⅱ)假设存在直线 l ,使得点 F 是 ?BMN 的垂心. 易知直线 BF 的斜率为 ? 1 ,从而直线 l 的斜率为 1. 设直线的方程为 y ? x ? m , ??????6 分

?4km m ?4km m 于是 x0 ? ?4km , y0 ? k ? 2 ,? M ( 2 ?m? 2 , 2 ). 2 4k ? 1 4k ? 1 4k ? 1 4k ? 1 4k ? 1
1 设菱形一条对角线的方程为 y ? ? ( x ? 1) ,则有 x =-ky + 1. k
将点 M 的坐标代入,得 ?
2

代入椭圆方程并整理,可得 3x 2 ? 4bx ? 2(b 2 ? 1) ? 0 . 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ? 于是 NF ? BM ? (1 ? x2 ) x1 ? y2 ( y1 ? 1)

2m ? 2 4 m , x1 x 2 ? . 3 3

4k 2 ? 1 4km ?km . ? 2 ? 1 ,所以 m ? ? 4k 2 ? 1 4k ? 1 3k



?????? 9 分

? x1 ? y 2 ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? x1 ? x 2 ? m ? x1 x 2 ? ( x1 ? m)(x 2 ? m) ? ?2 x1 x 2 ? (1 ? m)(x1 ? x 2 ) ? m ? m 2 ? ?2 ?
解之得 m ? 1 或 m ? ?4 / 3 .

将②代入①,得 4k 2 ? 1 ?
2 2

(4k 2 ? 1)2 , 9k 2
5 5 )?( ,??) . 5 5

2m 2 ? 2 4m ? (1 ? m)(? ) ? m ? m2 ? 0 3 3
??????10 分

所以 9k >4k + 1,解得 k∈ (??,?

?????? 12 分

当 m ? 1 时,点 B 即为直线 l 与椭圆的交点,不合题意. 当m ? ?

??? ??? ???? ? ? 2 法 2: DA ? DB ? DQ ? ( x1 ? 1, y1 ) ? ( x2 ? 1, y2 ) ? ( x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ) ? ( ? 8km ?28k ? 2 , 22m ) 4k ? 1 4k ? 1
则由菱形 DAQB对角线互相垂直,即直线 l 与 DQ 垂直,由斜率的负倒数关系可整理得

4 时,经检验知 l 和椭圆相交,符合题意. 3
4 时, 点 F 是 ?BMN 的垂心 ??????12 分 3

所以,当且仅当直线 l 的方程为 y ? x ?

4k ? 1 2 ?8km ? 8k 2 ? 2 ? 2km , 代入①即得. ? 0 ,即-3km = 4k + 1,即 m ? ? 2 3k 4k ? 1
2

法 3: 设 A(x1,y1) B(x2,y2) AB 中点为 M(x0,y0) , , , 则
2 2 x1 x2 x 2 ? x2 2 2 2 2 ? y1 ? y 2 ? 1 , ? y1 ? 1 , 2 ? y 2 ? 1 ,于是,两式相减可得 1 4 4 4

1 22. 解 (1)由题意知 c ? 3 ,b2 = a2-3,由 2 ? 2 2 ? 1 得 2a4-11a2 + 12 = 0, 2 a a ?3
所以(a -4) a -3)= 0,得 a = 4 或 a 2 ? (2 因此椭圆 C 的方程为 (2)由 ? x 2 ?
2 2 2 2

3 , ? c 2 (舍去) 2
?????? 4 分

即 x0 + 4ky0 = 0.


y 1 ? 0 . k x0 ? 1

因为 QD⊥AB,所以 kQD ? ? 由①②可解得 x0 ? 当0 ? y ?



x ? y2 ? 1. 4

2

? y ? kx ? m ? 4 ? y ?1 ?
2

1 5 4 4 ,k ? ? ,表明点 M 的轨迹为线段 x0 ? ( 0 ?| y |? ) . 3 y0 3 3 3

得 (4k 2 ? 1) x 2 ? 8kmx ? 4(m2 ? 1) ? 0 .

5 5 5 5 ? y ? 0 ,k∈(-∞, ,k∈( ,+∞) ;当 ? ) . 3 3 3 3

所以 4k + 1>0, ? ? 64k 2 m2 ? 16(4k 2 ? 1)(m2 ? 1) ? 64k 2 ? 16m ? 16 ? 0 , 得 4k + 1>m .
2 2

综上,k 的取值范围是 k∈ (??,?



?????? 6 分

5 5 )?( ,??) . 5 5

设 A(x1,y1) B(x2,y2) AB 中点为 M(x0,y0) , , ,
高二数学 (理科) 第9页(共 4 页) 期中试题 第10页(共 4 页)

高二数学

(理科)

第11页(共 4 页)

期中试题 第12页(共 4 页)


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