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江西省重点中学盟校2016届高三第一次联考数学(文)


江西省重点中学盟校 2016 届高三第一次联考数学(文)试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 120 分钟 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. 设集合 M ? {x | x2 ? 4}, N ? {x | log2 x ? 1}

,则 M ? N ? ( A. [?2, 2] B. {2} C. (0, 2] D. ( ??, 2] ) )

2. 已知复数 z ? x ? yi ( x、y ? R ) ,且有 A.

x ? 1 ? yi ,则 z ? ( 1? i
D. 3

5

B.

3

C. 5

3. 已知向量 a, b 的夹角为 60? ,且 a ? 1 , a ? 2b ? A. 2 B.

? ?

?

?

?

? 21 ,则 b ? (
D. 2 2



3 2

C.

5 2

4. 设双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ? 5 ,则该双曲线的渐近线方程为 ( )
1 A. y ? ? x 2

B. y ? ?2 x

C. y ? ?4 x

D. y ? ? x i=12 s=1 DO s = s*i i = i-1 LOOP UNTIL 条 件 PRINT s END

5. 如右图的程序执行后输出的结果是 11880,那么在程序 UNTIL 后面的条件 应为 ( ) B. i ? 10 C. i ? 9 D. i ? 9

A. i ? 10

?2 x ? 1, x ? 0 ? ?3 6. 函数 f ? x ? ? ? ,若 f ? a ? ? a ,则实数 a 的范围为 ( ? 1 ,x ?0 ? ? x
A. (-∞,-1) B. (-1,+∞) C. (3,+∞) D. (0,1) 7. 直线 y=kx+b 与曲线 y=x3+ax+ 1 相切于点 ? 2,3? ,则 b 的值为 ( A. -15 B. -7 C. -3 D. 9

)

)

8. 如图是一个无盖器皿的三视图,正视图、侧视图和俯视图中的正方形边 长为 2,正视图、侧视图中的虚线都是半圆,则该器皿的表面积是( A. 2? ? 24 B. 2? ? 20 C. )

? ? 24
?
2

D.

? ? 20

9. 若函数 f ? x ? ? sin ??x ? ? ? ,其中 ? ? 0, ? ?

, x ? R ,两相邻对称轴的

距离为

? ?? ? , f ? ? 为最大值,则函数 f ? x ? 在区间 ? 0, ? ? 上的单调增区间为( 2 ?6?
? ?? ? ?



A. ?0, ? 6

,? ? B. ? ? 3 ?

? 2?

?

C. ?0, ? 和 ? , ? ? 6 3

? ?? ? ?

?? ?

? ?

,? ? D. ?0, ? 和 ? ? 6? ? 3 ?

? ??

? 2?

?

2 2 10. 若直线 mx ? ny ? 2 ? 0 (m >0 ,n >0 ) 截得圆 (x ? 3 ) ? (y ? 1 ) ? 1 的弦长为 2 ,则

1 3 ? 的最小值为( m n
A. 4

) B. 12 C. 16 D. 6

2 11. 设 曲 线 y ? f? ?x 与 曲 线 y ? x ?? a

x? 0? 关 于 直 线 y ? ? x 对 称 , 且

,则 a =( f ? ?2? ? 2 f ? ? ?1 A. 0 B.

) C.

1 3

2 3

D. 1

12. 设等差数列 ?a n ? 满足:

sin 2 a3 ? cos 2 a3 ? cos 2 a 3 cos 2 a 6 ? sin 2 a 3sin 2a 6 ? 1 ,公差 sin(a4 ? a5 )

d ? ? ?1,0? 若当且仅当 n ? 9 时,数列 ?a n ? 的前 n 项和 Sn 取得最大值,则首项 a1 的取值
, 范围是( A. ? ) B. ?

? 7? 4? ? , ? ? 6 3 ?

? 4? 3? ? , ? ? 3 2 ?

C. ? , ? 6 3 ? ?

? 7? 4? ?

D. ? , ? 3 2 ? ?

? 4? 3? ?

第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,把试题答案填写在答题卡的相 应位置上) 13. 如图,圆中有一内接等腰三角形,且三角形底边经过圆心,假设在图中随机撒一 把黄豆,则它落在阴影部分的概率为________. 14. P 为抛物线 y ? 4 x 上任意一点,P 在 y 轴上的射影为 Q,点 M(7,8) ,则 PM
2

与 PQ 长度之和的最小值为



?x ? 1 ?y ?1 x ? 2y ? 15. 设实数 x,y 满足不等式组 ? 的取值范围是________. , 则 z= x? y ?x ? y ?1 ? 0 ? ?x ? y ? 6
16. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x) ? 2 ?
x

x? 1 , ? f ( x), m ,设 g ( x) ? ? 若函 x 2 ? f (? x), x ? 1,

数 y ? g ( x) ? t 有且只有一个零点,则实数 t 的取值范围是

.

三、解答题(第17 题~第21 题为必考题,每个试题考生必须做答,第22 题~第24 题为选 考题,考生从中选择一题做答;请在答题卡上写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)已知 ?an ? 是正项等差数列, ?an ? 的前 n 项和记为 S n , a1 ? 3 ,

a2 ? a3 ? S5 .
(I)求 ?an ? 的通项公式; (II)设数列 ?bn ? 的通项为 bn ?
1 Sn

,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

18. (本小题满分 12 分)已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动.为了解本次 考试学生的某学科成绩情况,从中抽取部分学生的分数(满分为 100 分,得分取正整数,抽 取学生的分数均在 ?50,100? 之内)作为样本(样本容量为 n)进行统计.按照 ?50,60? ,

?60,70? , ?70,80? , ?80,90? , ?90,100? 的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的
茎叶图(茎叶图中仅列出了得分在 ?50,60? , ?90,100? 的数据) .
频率 组距 0.040 x 0.016 0.010 y O 50 60 70 80 90 100 成绩(分)

(Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x、y 的值; (Ⅱ) 在选取的样本中, 从成绩在 80 分以上 (含 80 分) 的学生中随机抽取 2 名学生参加“省 级学科基础知识竞赛”,求所抽取的 2 名学生中恰有一人得分在 ?90,100? 内的概率.

19. (本小题满分 12 分) 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC=AA1 =3 ,BC=2 ,D 是 BC 的中点, F 是 C1C 上一点. (Ⅰ)当 CF=2 时,证明: B1F ⊥平面 ADF ; (Ⅱ)若 FD ? B1D ,求三棱锥 B1 ? ADF 的体积. A1 F C1 B1

C D A B

20.(本题满分 12 分)已知椭圆

x2 y2 3 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 (1, ) ,其 2 a b 2 2
3 x ? m 交椭圆于两点 C,D. 2

长轴的左右两个端点分别为 A,B,直线 l : y ? (I)求椭圆的标准方程;

(II)设直线 AD,CB 的斜率分别为 k1 , k 2 ,若 k1 : k 2 ? 2 : 1 ,求 m 的值.

21. (本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? a ln( x ? 1) ?

1 ? 3x ? 1. x ?1

(I)若 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (II) 求证: 均成立.

2 3 4 n ?1 1 ? ? ?? ? ? ln(2n ? 1) 对一切正整数 n 2 2 2 2 4 ?1 ? 1 4 ? 2 ? 1 4 ? 3 ? 1 4 ? n ?1 4

22. (本小题满分 10 分) (选修 4-1:几何证明选讲) 如图,圆 O 的直径 AB ? 10 , P 是 AB 延长线上一点, BP ? 2 ,割线 PCD 交 圆 O 于点 C , D ,过点 P 作 AP 的垂线,交直线 AC 于点 E ,交直线 AD 于点 F . (I)求证: ?PEC ? ?PDF ; (Ⅱ)求 PE ? PF 的值. 23. (本小题满分 10 分) (选修 4-4:坐标系与参数方程) 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知曲线 C1 : x2 ? y 2 ? 1 , 以平面直角坐标系 xoy 的原点 O 为 极点, x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线

l:? (2 c o? s? s i ? n ?) . 6
(I)将曲线 C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 3 、2 倍后得到曲线 C 2 , 试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 2 的参数方程; (Ⅱ)在曲线 C 2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值. 24. (本题满分 10 分) (选修 4—5:不等式选讲) 已知关于 x 的不等式 x-

2 2 ? x ?1 ? ? a ? 0? . a a

(I)当 a=1 时,求此不等式的解集; (Ⅱ)若此不等式的解集为 R,求实数 a 的取值范围.

江西省重点中学盟校 2016 届高三第一次联考数学(文)试卷 参考答案
一、选择题 题号 答案 1 C 2 A 3 C 4 B 5 D 6 B 7 A 8 C 9 D 10 D 11 C 12 B

二、填空题 13.

1

?

14. 9

15.

?7 5? , ? ?6 3? ?

16.

3 3 [? , ] 2 2

三、解答题 17. 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知得 (3 ? d )(3 ? 2d ) ? 5(3 ? 2d ) ……2 分 解得 d ? 2 ,或 d ? ?

?an ?的通项公式为 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1
(Ⅱ)由⑴得 S n ?

3 (与题意“ ?an ? 是正项等差数列”不符,舍去) 2
……5 分 ……6 分 ……8 分

……4 分

n(a1 ? a n ) ? n(n ? 2) 2 1 1 1 1 1 bn ? ? ? ( ? ) S n n(n ? 2) 2 n n ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? )] ……9 分 2 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n?2 1 1 1 1 ? [1 ? ? ? ] 2 2 n ?1 n ? 2

?

3n 2 ? 5n 4n 2 ? 12n ? 8

……12 分

18. 解: (Ⅰ)由题意可知,样本容量 n ?

8 ? 50 , ……2 分 0.016 ? 10

2 ? 0.004 , ……4 分 50 ? 10 x ? 0.100 ? 0.004 ? 0.010 ? 0.016 ? 0.040 ? 0.030 . ……6 分 y?
(Ⅱ)由题意可知,分数在 [80,90] 内的学生有 5 人,记这 5 人分别为 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,分 数在 [90,100] 内的学生有 2 人, 记这 2 人分别为 b1 , b2 , 抽取 2 名学生的所有情况有 21 种, 分别为:

? a1, a2 ? , ? a1, a3 ? , ? a1, a4 ? , ? a1, a5 ? , ? a1, b1 ? , ? a1, b2 ? , ? a2 , a3 ? , ? a2 , a4 ? , ?a2 , a5 ? , ?a2 , b1 ? , ?a2 , b2 ? , ? a3 , a4 ? , ? a3 , a5 ? , ? a3 , b1 ? , ? a3 , b2 ? , ? a4 , a5 ? , ? a4 , b1 ? , ? a4 , b2 ? , ? a5 , b1 ? , ? a5 , b2 ? , ?b1, b2 ? . ……

8分 其中 2 名同学的分数恰有一人在 [90,100] 内的情况有 10 种, ∴ 所抽取的 2 名学生中恰有一人得分在 [90,100] 内的概率 P ? 19. 解: (Ⅰ)证明:∵ AB ? AC , D 是 BC 的中点, ∴ AD ⊥ BC . 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ∵ B1B ⊥底面 ABC , AD ? 底面 ABC ,∴ AD ⊥ B1B . ∵ BC ∩ B1B = B , ∴ AD ⊥平面 B1BCC1 . ∵ B1F ? 平面 B1BCC1 ,∴ AD ⊥ B1F ……2 分 ……10 分

10 .……12 分 21

在矩形 B1BCC1 中,∵ C1F ? CD ? 1 , B1C1 ? CF ? 2 , ∴ Rt?DCF ≌ Rt?FC1 B1 .∴∠ CFD =∠ C1B1F .∴∠ B1FD=90 .
?

(或通过计算 FD ? B1F ? 5 , B1D ? 10 ,得到△ B1 FD 为直角三角形) ∴ B1F ? FD ∵ AD ∩ FD = D ,∴ B1F ⊥平面 ADF . ……6 分 (Ⅱ)解:∵ AD ? 平面B1DF , AD ? 2 2 , ∵ D 是 BC 的中点,∴ CD ? 1 . 在 Rt △ B1 BD 中, BD ? CD ? 1 , BB1 ? 3 , ∴ B1 D ?

BD 2 ? BB12 ? 10 .

……9 分

∵ FD ? B1D ,∴ Rt?CDF ∽ Rt?BB1 D . ∴

1 10 DF CD ? .∴ DF ? ? 10 ? .……10 分 3 3 B1 D BB1

∴ VB1 ? ADF ?

1 1 1 10 10 2 . ……12 分 S?B1DF ? AD ? ? ? ? 10 ? 2 2 ? 3 3 2 3 9

(注:也可以用 VB1 ? ADF ? S?ADF ? B1D 计算)

? ? a2 ? b2 ? c2 ? c 1 ? 20. 解: (Ⅰ)由题意得: ? e ? ? ,……2 分 a 2 ? ? 1 ? 9 ?1 ? ? a 2 4b 2
解得 a ? 2, b ? 3, c ? 1 , ……4 分 ∴椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 . ……5 分 4 3

3 ? y ? x?m ? ? 2 2 2 (II)设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ) ,联立方程 ? 2 ,得 3x ? 3mx ? m ? 3 ? 0 ①, 2 x y ? ? ?1 ? ?4 3
∴,判别式 ? ? (3m)2 ?12(m2 ? 3) ? ?3m2 ? 36 ? 0 ? m2 ? 12 ,……7 分 ∵ x1 , x 2 为①式的根,∴ x1 ? x2 ? ? m, x1 x2 ? ?
m ?3
2

3

, ……8 分

由题意知 A(?2,0), B(2,0) ,∴ k AD ? k1 ?

y2 y1 . , k BC ? k 2 ? x2 ? 2 x1 ? 2

∵ k1 : k 2 ? 2 : 1 ,即

2 y 2 ( x1 ? 2) 2 y2 ( x1 ? 2) 2 ? ,得 2 ? 4 ②, y1 ( x2 ? 2) 1 y1 ( x 2 ? 2) 2



x12 y12 3 3 2 2 ? (4 ? x 2 ) , ……10 分 ? ? 1 ,∴ y12 ? (4 ? x12 ) ,同理 y 2 4 4 4 3

代入②式,解得

?2 ? x2 ??2 ? x1 ? ? 4 ,即 10?x1 ? x2 ? ? 3x1 x2 ? 12 ? 0 , ?2 ? x1 ??2 ? x2 ?

∴ 10(?m) ? m2 ? 3 ? 12 ? 0 解得 m ? 1或9
2 又∵ m ? 12 ∴ m ? 9 (舍去) ,∴ m ? 1 . ……12 分

21.











f ?( x) ?

a 1 3( x ? 1)2 ? a( x ? 1) ? 1 3x 2 ? (a ? 6) x ? a ? 2 , ? ?3? ? x ? 1 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2

若 a ? ?2 ,则 a ? 6 ? 0 , x ? 0 时, f ?( x ) ? 0 ,此时, f ( x) 在区间 ?0 , ? ?? 上为增 函数. ∴

x ? 0 时, f ( x) ? f (0) ? 0 . a ? ?2 符合要求.
2

……3 分

若 a ? ?2 ,则方程 3x ? (a ? 6) x ? a ? 2 ? 0 有两个异号的实根,设这两个实根为 x1 ,

x 2 ,且 x1 ? 0 ? x2 .
∴ ∴

x2 ? 上为减函数, f ( x2 ) ? f (0) ? 0 . 0 ? x ? x2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ? 0 ,

a ? ?2 不符合要求.



a 的取值范围为 ? ?2 , ? ?? .

…… 6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, x ? 0 时,不等式 ?2 ln( x ? 1) ? ∴

1 ? 3x ? 1 ? 0 恒成立. x ?1

1 ? 3x ? 1 ? 2 ln( x ? 1) 恒成立. x ?1 2 1 2 2 * 令x? (k ? N ) ,得 ? 3? ? 1 ? 2ln( ? 1) , 2 2k ? 1 2 k ? 1 2 k ? 1 ?1 2k ? 1 8k ? 8 2k ? 1 整理得 . …… 9 分 ? 2ln 2 4k ? 1 2k ? 1 k ?1 1 2 k? 1 ∴ .令 k ? 1 ,2,3,…, n ,得 ? ln 2 4k ?1 4 2k ?1 2 1 3 3 1 5 4 1 7 , , , ? ln ? ln ? ln 2 2 2 4 ?1 ? 1 4 1 4 ? 2 ?1 4 3 4 ? 3 ?1 4 5 n ?1 1 2n ? 1 . ? ln 2 4 ? n ?1 4 2n ?1 将上述 n 个不等式的左右两边分别相加,得

x ? 0 时,





2 3 4 n ?1 1 3 5 7 2n ? 1 1 ? ? ??? ? ln( ? ? ? ?? ) ? ln(2n ? 1) 2 2 2 2 4 ?1 ? 1 4 ? 2 ? 1 4 ? 3 ? 1 4 ? n ?1 4 1 3 5 2n ? 1 4 2 ? 2 4? 1 ?1 3 ? 4 ? 22 ? 1 4 n? 1 1 ? ? ? ? l n (n2 ? 1) 对 一切正整数 n 2 2 ? 4 3? 1 n ? 4 ? 1 4
…… 12 分 22.解(解法 1) (1) :连接 BC ,则 ?ACB ? ?APE ? 90 ,
?

∴ 均成立.

即 B 、 P 、 E 、 C 四点共圆.∴ ?PEC ? ?CBA 又 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆,∴ ?CBA ? ?PDF ∴ ?PEC ? ?PDF ∵ ?PEC ? ?PDF , ------- 5 分

E C (2) : ?P

? ?P D F

∴ F 、 E 、 C 、 D 四点共圆,

∴ PE ? PF ? PC ? PD , 又 PC ? PD ? PB ? PA ? 2 ? (2 ? 10) ? 24 ,

PE ? PF ? 24 .

------- 10 分

(解法 2) (1) :连接 BD ,则 BD ? AD ,又 EP ? AP ∴ ?PDF ? ?PDB ? ?PEA ? ?EAP ? 90 ,
?

∵ ?PDB ? ?EAP ,∴ ?PEC ? ?PDF

-------- 5 分

(2) :∵ ?PEC ? ?PDF , ?EPC ? ?DPF ,

PC PE ? PD , 即 PE ? PF ? PC ? PD , ∴ ?PEC ∽ ?PDF ,∴ PF
又∵ PC ? PD ? PB ? PA ? 2(2 ? 10) ? 24,∴ PE ? PF ? 24 -------- 10 分 23.解(Ⅰ) 由题意知,直线 l 的直角坐标方程为:2x-y-6=0, ∵曲线 C 2 的直角坐标方程为: ( …… 2 分

x 2 y ) ? ( )2 ? 1 , 2 3
…… 5 分

∴曲线 C 2 的参数方程为: ?

? x ? 3 cos ? ? (? 为参数) . ? ? y ? 2sin ?

(Ⅱ) 设点 P 的坐标 ( 3 cos ? , 2sin ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离为:

| 2 3 cos ? ? 2sin ? ? 6 | | 4sin(60? ? ? ) ? 6 | , …… 7 分 ? 5 5 |4?6| ? 3 ? 0 ? 2 5 .…… 10 分 ∴当 sin(60 -? ) ? ?1 时,点 P ? ? ,1? ,此时 d max ? 5 ? 2 ? d?
1 时,不等式为 | x-2 | +| x- 1 |? 2 , 24.解: (Ⅰ)当 a=
由绝对值的几何意义知,不等式的意义为数轴上的点 x 到点 1 、 2 的距离之和大于等于 2. ……2 分 ∴x?

5 1 1 5? ? 或 x ? .∴不等式的解集为 ? x | x ? 或x ? ? . ……5 分 2 2 2 2? ?

(注:也可用零点分段法求解. ) (Ⅱ)∵|x-

2 2 |+|x-1|≥ a a
2 2 ? 1 ≥ . ……7 分 a a

∴原不等式的解集为 R 等价于

又 a>0,∴a ≥ 4. ∴实数 a 的取值范围是[4,+∞). ……10 分


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