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2016高考


第4讲

二次函数与幂函数

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题 1.二次函数 y=-x2+4x+t 图象的顶点在 x 轴上,则 t 的值是 A.-4 B.4 C.-2 D.2 ( )

解析 二次函数图象的顶点在 x 轴上,所以 Δ=42-4×(-1)×t=0,解得 t =-4. 答案 A 2

. (2014· 郑州检测)若函数 f(x)=x2+ax+b 的图象与 x 轴的交点为(1, 0)和(3, 0), 则函数 f(x) A.在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增 B.在(-∞,3)上递增 C.在[1,3]上递增 D.单调性不能确定 解析 由已知可得该函数的图象的对称轴为 x=2,又二次项系数为 1>0,所 以 f(x)在(-∞,2]上是递减的,在[2,+∞)上是递增的. 答案 A 3.若 a<0,则 0.5a,5a,5-a 的大小关系是 A.5-a<5a<0.5a C.0.5a<5-a<5a B.5a<0.5a<5-a D.5a<5-a<0.5a ( ) ( )

1 ?1?a 解析 5-a=?5? ,因为 a<0 时,函数 y=xa 单调递减,且5<0.5<5,所以 5a ? ? <0.5a<5-a. 答案 B

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4.(2015· 蚌埠模拟)若二次函数 f(x)=ax2+bx+c 满足 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)等 于 b A.-2a C.c b B.-a D. 4ac-b2 4a ( )

b b 解析 ∵f(x1)=f(x2)且 f(x)的图象关于 x=-2a对称,∴x1+x2=-a. b2 b ? b? ∴f(x1+x2)=f ?-a?=a· a2-b· a+c=c. ? ? 答案 C 5. (2014· 山东师大附中期中)“a=1”是“函数 f(x)=x2-4ax+3 在区间[2, +∞) 上为增函数”的 A.必要不充分条件 C.充分必要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 ( )

解析 函数 f(x)=x2-4ax+3 在区间[2,+∞)上为增函数,则满足对称轴 -4a - 2 =2a≤2,即 a≤1, 所以“a=1”是“函数 f(x)=x2-4ax+3 在区间[2, +∞)上为增函数”的充分不必要条件. 答案 B 二、填空题 6.二次函数的图象过点(0,1),对称轴为 x=2,最小值为-1,则它的解析式是 ________. 1 答案 y=2(x-2)2-1 ? ? 1 7.当 α∈?-1,2,1,3?时,幂函数 y=xα 的图象不可能经过第________象限. ? ? 1 解析 当 α=-1、1、3 时,y=xα的图象经过第一、三象限;当 α=2时,y =xα的图象经过第一象限. 答案 二、四 8. 若方程 x2-11x+30+a=0 的两根均大于 5, 则实数 a 的取值范围是________. 解析 令 f(x)=x2-11x+30+a. ?Δ≥0, 1 结合图象有? ∴0<a≤4. ?f(5)>0,
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1? ? 答案 ?0,4? ? ? 三、解答题 9.(2015· 绵阳模拟)已知函数 f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R. (1)若函数 f(x)的最小值为 f(-1)=0,求 f(x)的解析式,并写出单调区间; (2)在(1)的条件下,f(x)>x+k 在区间[-3,-1]上恒成立,试求 k 的范围. 解 (1)由题意有 f(-1)=a-b+1=0, b 且-2a=-1,∴a=1,b=2. ∴f(x)=x2+2x+1,单调减区间为(-∞,-1], 单调增区间为[-1,+∞). (2)f(x)>x+k 在区间[-3,-1]上恒成立, 转化为 x2+x+1>k 在区间[-3,-1]上恒成立. 设 g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1], 则 g(x)在[-3,-1]上递减.∴g(x)min=g(-1)=1. ∴k<1,即 k 的取值范围为(-∞,1). 10.(2014· 辽宁五校联考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x)=x2+2x.现已 画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象,如图所示, 请根据图象: (1)写出函数 f(x)(x∈R)的增区间; (2)写出函数 f(x)(x∈R)的解析式; (3)若函数 g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),求函数 g(x)的最小值. 解 (1)f(x)在区间(-1,0),(1,+∞)上单调递增. (2)设 x>0,则-x<0,函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x) =x2+2x, ∴f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0),
2 ?x -2x(x>0), ∴f(x)=? 2 ?x +2x(x≤0).

(3)g(x)=x2-2x-2ax+2,对称轴为 x=a+1, 当 a+1≤1,即 a≤0 时,g(1)=1-2a 为最小值;
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当 1<a+1≤2, 即 0<a≤1 时, g(a+1)=-a2-2a+1 为最小值; 当 a+1>2, 即 a>1 时,g(2)=2-4a 为最小值. a (a≤0), ?1-2 2 综上,g(x)min=?-a -2a+1 (0<a≤1), ?2-4a (a>1).

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
11.已知函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点右 侧,则实数 m 的取值范围是 A.(0,1) C.(-∞,1) B.(0,1] D.(-∞,1] ( )

1 解析 用特殊值法.令 m=0,由 f(x)=0 得 x=3适合,排除 A,B.令 m=1, 由 f(x)=0 得 x=1 适合,排除 C. 答案 D 12.(2014· 武汉模拟)已知函数 f(x)=ax2+2ax+b(1<a<3),且 x1<x2,x1+x2=1 -a,则下列说法正确的是 A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)=f(x2) D.f(x1)与 f(x2)的大小关系不能确定 解析 f(x)的对称轴为 x=-1,因为 1<a<3, 则-2<1-a<0,若 x1<x2≤-1,则 x1+x2<-2, 不满足 x1+x2=1-a 且-2<1-a<0;若 x1<-1, x2≥-1 时, |x2+1|-|-1-x1|=x2+1+1+x1=x1+x2+2=3-a>0(1<a<3), 此时 x2 到对称轴的距离大,所以 f(x2)>f(x1); 若-1≤x1<x2,则此时 x1+x2>-2,又因为 f(x)在[-1,+∞)上为增函数, 所以 f(x1)<f(x2). 答案 A ( )

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13.(2015· 江门、佛山模拟)已知幂函数 f(x)=xα ,当 x>1 时,恒有 f(x)<x,则 α 的取值范围是________. 解析 当 x>1 时,恒有 f(x)<x,即当 x>1 时,函数 f(x)=xα的图象在 y=x 的图象的下方,作出幂函数 f(x)=xα在第一象限的图象,由图象可知 α<1 时 满足题意. 答案 (-∞,1) 14.(2015· 雅安模拟)已知函数 f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,且 f(0)· f(1)>0. b (1)求证:-2<a<-1; (2)若 x1、x2 是方程 f(x)=0 的两个实根,求|x1-x2|的取值范围. (1)证明 当 a=0 时,f(0)=c,f(1)=2b+c,又 b+c=0,

则 f(0)· f(1)=c(2b+c)=-c2<0 与已知矛盾,因而 a≠0, 则 f(0)· f(1)=c(3a+2b+c)=-(a+b)(2a+b)>0 b ?b ??b ? 即?a+1??a+2?<0,从而-2<a<-1. ? ?? ? (2)解 x1、x2 是方程 f(x)=0 的两个实根, a+b 2b 则 x1+x2=-3a,x1x2=- 3a , a+b 4 ?b?2 4b 4 ? 2b?2 那么(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=?-3a? +4× 3a =9·?a? +3a+3 ? ? ? ? 4?b 3?2 1 =9?a+2? +3. ? ? b 1 4 ∵-2<a<-1,∴3≤(x1-x2)2<9, 3 2 ? 3 2? ∴ 3 ≤|x1-x2|<3,即|x1-x2|的取值范围是? , ?. ? 3 3?

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