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高考全真模拟试题(一)理科数学


郑州外国语学校 2010 届高考全真模拟试题(一) 理科数学 命题人 刘红昌 第I卷 一、选择题(每题有且只有一个正确选项,每题 5 分,共 60 分) 1.凸四边形 ABCD 中, AB ⊥BC , CD ⊥DA , AB ? 3 , BC ? 1 , BD ? 则∠ BAD 的大小为 A.45° B.75° C.105° ( ) 135° ( )

2,

2. 已知 a ? b, ab ? 1 , 则

a 2 ? b2 的最小值是 a ?b
C. 2 , 那么 sin x 的取值范围为

A. 2 2 3. 如果| log 1 x ?
2

B. 2

1
( )

?
3

≥ log 1
2

?
2

A.? ?

? 1 1? , ? 2 2? ?

B.? ?

? 1 3? ? 3 ? , ,1? ? ? ? ? ? 2 2 ? ? 2 ?

C.? ? ,1?

? 1 ? ? 2 ?

? 1 ? , ? ? 2

1? ?1 ? ? ? ,1 ? 2? ? 2 ?

x (, 12 ),M ( 2, 3 ),N ( ,) 4.设 y ? f ( x) 为指数函数 y ? a .在 P (1,1),Q 四点中, ?1 函 数 y ? f ( x ) 与 其 反 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 的 公 共 点 只 可 能 是 点

1 1 2 4



) A.P B.Q C.M N

2 2 5. 二次函数 y ? x ? 2x ? 2 与 y ? ? x ? ax ? b (a ? 0, b ? 0) 在它们的一个交点处的

切 (

线 ) A.













1 4 ? a b











16 5

B.

18 5

C. 4

24 5

6.中国古代“五行”学说认为:“物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木、木克 土、土克水、水克火、火克金”,将这五种不同属性的物质任意排成一列,属性相克的两种 物 ( ) 质 不 相 邻 的 排 列 共

A.60 种

B.24 种

C.50 种

10 种

7 . 设 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 周 期 为 2 的 可 导 函 数 , 若 f (2) ? 2 , 且

lim
x ?0

f ( x ? 2) ? 2 ? ?2 ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处切线方程是 2x
A. y ? ?2 x ? 2 B. y ? ?4 x ? 2 C. y ? 4 x ? 2



)

1 y ?? x?2 2

8.A,B,C 是表面积为 48? 的球面上的三点, AB ? 2, BC ? 4, ?ABC ? 600 ,O 为球 心,则直线 OA 与截面 ABC 所成的角是 A. arcsin
3 6

( C. arcsin



B. arccos 3 6

3 3

arccos

3 3
( )

9.已知数列 ?an ? 中, a1 ?

3 1 , an ? 2 ? (n ? 2) ,则 a2008 ? 5 an ?1
C.

A.

1 3

B.
2

3 5

2009 2008

4011 4009

10.若函数 f ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? 1 的定义域被分成了四个不同的单调区间,则实数

a 的取值范围是
A. a ? ?





1 2

B. a ? ?

1 2

C. a ? ?

3 1 或a ? 2 2

?

3 1 ?a? 2 2

11.已知 F1 , F2 是双曲线
2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, p 为双曲线左支上一 a2 b2
( )

PF2 点,若 的最小值为 8a ,则该双曲线的离心率的取值范围是 PF1
A. (1,3) B. (1,2) C. (1,3]
2

(1,2]
x ? 2009 n 2 成 x ? 2008
( )

12. 已知 n 是正数, 若对于任意大于 2008 的实数 x , 总有 n x ? 立,则 n 的取值范围为 A. n ?

2009 ? 2008 2009 ? 2008

B.0 ? n ?

2009? 2008

C.0 ? n ?

n ? 2009 ? 2008

第Ⅱ 卷 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卷上)

13.已知 sin(

?
6

?? ) ?

1 ? ,则 sin( ? 2? ) ? _______. 4 6

?x ? y ? 2 ? 0 ? 14 .已知实数 x 、 y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 , 则 z ?| x ? 2 y ? m | 的最大值为 21 ,则 m ? ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
_____. 15.直线 L : y ? k ( x ? 3) 与圆 O : x2 ? y 2 ? 4 交于 A 、B 两点,则当 ?AOB 的面积最大 时, k ? _______. 16.已知命题: ① 函数 f ( x) ?

1 在 (0, ??) 是减函数; lg x

② 函数 f ( x) 的定义域为 R , f ?( x0 ) ? 0 是 x ? x0 为极值点的既不充分又不必要条件; ③ 在平面内, 到定点 (2,1) 的距离与到定直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 的距离相等的点的轨迹是 抛物线; ④ 函数 f ( x) ? 2 sin x cos | x | 的最小正周期是 ? ; ⑤ 已知 a ? (3, 4), b ? (0, ?1) ,则 a 在 b 方向上的投影为 4. 其中正确命题的序号是 .
? ?
? ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答题应写出文字说明、证明过程和演算步 骤) 17. (本小题共 10 分) 已知锐角 ?ABC 的三内角 A、 B、 C 的对边分别是 a, b, c , 且 (b2 ? c2 ? a2 ) tan A ? 3bc . (I)求角 A 的大小; (II)求 sin( A ? 100 ) ?[1 ? 3 tan( A ?100 )] 的值.

18. (本小题满分 12 分) 如图,棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的所有棱长都等于 2,

∠ ABC=60° ,平面 AA1C1C⊥ 平面 ABCD,∠ A1AC=60° .
(I) 证明:BD⊥ AA1; (II)求二面角 D—A1A—C 的平面角的余弦值; ( III)在直线 CC1 上是否存在点 P,使 BP//平面 DA1C1?若存在, 求出点 P 的位置; 若不存在, 说明理由.

19. (本小题满分 12 分) 某大型工厂的车床有甲,乙,丙三个型号,分别占总数的 人各自独立选一台车床操作. (I)求他们选择的车床类型互不相同的概率; (II)设 ξ 为他们选择甲型或丙型车床的人数,求 ξ 的分布列及数学期望.

1 1 1 , , ,现在有三名工 2 3 6

20. (本小题满分 12 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 0 , an?1 ? ?an ? 3n ,其中 n ? 1,2,3? . (I)求数列 {an } 的通项公式;

(II)求

an 的最大值. an?1

21. (本小题满分 12 分)

x 2 y 2 m2 ? (m ? 0) , 如图, 已知椭圆 C: ? 经过椭圆 C 的右焦点 F 且斜率为 k (k ? 0) 5 3 2
的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,M 为线段 AB 的中 点,设 O 为椭圆的中心,射线 OM 交椭圆于 N 点. (I)是否存在 k ,使对任意 m ? 0 ,总有

OA ? OB ? ON 成立?若存在,求出所有 k 的值;
(II)若 OA ? OB ? ? 取值范围.

1 3 ? m ? 4m ? ,求实数 k 的 2

22. (本小题满分 12 分) 设 k ? R, k ? 0 ,函数 f ( x) ? ?

? ?ln( x ? 1) ( x ? 2) , F ( x) ? f ( x) ? kx . 2 ? x ( x ? 2) ? ?

(I)试讨论函数 F ( x) 的单调性; (II)设 0 ? k ? e
? 3 2

,求证: F ( x) ? 0 有三个不同的实根.

参考答案 一.选择题 1-5 A A C D B 二.填空题 13. 6-10 D B D D A 11.C 12. C 16.② ④

7 8

14. ?4 或 ?26

15. ?

14 7

17.解: (1)由已知条件及余弦定理得 tan A ?

3bc sin A 3 ,? ? , 2bc cos A cos A 2cos A
………………5 分

∴sin A ?

3 2

∵ A ? (0,

?
2

) , 故A ?

?
3

.

(2) sin( A ? 10?)[1 ? 3 tan( A ? 10?)] ? sin 70?(1 ? 3

sin 50? ) cos 50?

? sin 70??

sin(30? ? 50?) 2sin 20? cos 20? cos 50? ? 3 sin 50? ? 2sin 70? ?? ? ?1 . cos 50? sin 40? cos 50?

18. 解:连接 BD 交 AC 于 O,则 BD⊥ AC,连接 A1O 在△ AA1O 中,AA1=2,AO=1,∠ A1AO=60° ∴ A1O2=AA12+AO2-2AA1· Aocos60° =3 ∴ AO2+A1O2=A12 ∴ A1O⊥ AO,由于平面 AA1C1C⊥ 平面 ABCD, 所以 A1O⊥ 底面 ABCD ∴ 以 OB、OC、OA1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系,则

A(0, ?1, 0) , B( 3,0,0) , C (0,1, 0) , D(? 3,0,0) , A1 (0,0, 3)
(Ⅰ )由于 BD ? (?2 3,0,0) , AA 1 ? (0,1, 3) 则 AA 1 ? BD ? 0 ? (?2 3) ? 1? 0 ? 3 ? 0 ? 0 ∴ BD⊥ AA1……………………4 分

…………2 分

(Ⅱ )由于 OB⊥ 平面 AA1C1C,∴ 平面 AA1C1C 的法向量 n1 ? (1,0,0) 设 n2 ⊥ 平面 AA1D 则 ?

? ?n2 ? AA1 ? ?n2 ? AD

? n2 ? ( x, y, z )

得到 ?

? ? y ? 3z ? 0 取n2 ? (1, 3,?1) ……………………6 分 ? ? 3 x ? y ? 0 ?
n1 ? n2 | n1 | ? | n2 | ? 5 5

? cos ? n1 , n2 ??

所以二面角 D—A1A—C 的平面角的余弦值是

5 ……………………8 分 5

(Ⅲ )假设在直线 CC1 上存在点 P,使 BP//平面 DA1C1 设 CP ? ?CC1 , P( x, y, z) ,则 ( x, y ? 1, z) ? ? (0,1, 3) 得 P(0,1 ? ?, 3?)BP ? (? 3,1 ? ?, 3? ) ……………………9 分 设 n3 ? 平面DA1C1 ,则 ?

? ?n3 ? A1C1 ? ?n3 ? DA1

设 n3 ? ( x3 , y3 , z3 )

得到 ?

? ?2 y 3 ? 0 不妨取n3 ? (1,0,?1) ……………………10 分 ? 3 x ? 3 z ? 0 3 3 ?

又因为 BP // 平面 DA1C1 则 n3 · BP ? 0即 ? 3 ? 3? ? 0得? ? ?1 即点 P 在 C1C 的延长线上且使 C1C=CP……………………12 分 法二:在 A1 作 A1O⊥ AC 于点 O,由于平面 AA1C1C⊥ 平面 ABCD,由面面垂直的性质 定理知,A1O⊥ 平面 ABCD, 又底面为菱形,所以 AC⊥ BD

由于BD ? AC ? ? BD ? 平面AA1O ? BD ? A1O ?? ? ? AA1 ? BD AA1 ? 平面AA1O ? ? A1 O ? AC ? 0?
(Ⅱ )在△ AA1O 中,A1A=2,∠ A1AO=60° ∴ AO=AA1· cos60° =1 所以 O 是 AC 的中点,由于底面 ABCD 为菱形,所以 O 也是 BD 中点 由(Ⅰ )可知 DO⊥ 平面 AA1C 过 O 作 OE⊥ AA1 于 E 点,连接 OE,则 AA1⊥ DE 则∠ DEO 为二面角 D—AA1—C 的平面角 ……………………6 分

在菱形 ABCD 中,AB=2,∠ ABC=60° ∴ AC=AB=BC=2,∴ AO=1,DO=

AB2 ? AO2 ? 3
3 2 2 ,DE= OE ? OD ? 2

在 Rt△ AEO 中,OE=OA· sin∠ EAO=

3 15 ?3 ? 4 2

∴ cos∠ DEO=

OE 5 ? DE 5 5 ……………………8 分 5

∴ 二面角 D—A1A—C 的平面角的余弦值是 (Ⅲ )存在这样的点 P 连接 B1C,因为 A1B1 // AB // DC ∴ 四边形 A1B1CD 为平行四边形. ∴ A1D//B1C

在 C1C 的延长线上取点 P,使 C1C=CP,连接 BP……………………10 分 因 B1B // CC1,∴ BB1 // CP ∴ 四边形 BB1CP 为平行四边形 则 BP//B1C,∴ BP//A1D ∴ BP//平面 DA1C1 ……………………12 分

19.记第 i 名工人选择甲,乙,丙型车床分别为事件 Ai , Bi , Ci , i ? 1, 2,3 . 由题意知 A1 , A2 , A3 相互独立, B1 , B2 , B3 相互独立, C1 , C2 , C3 相互独立

Ai , Bj , Bk (i, j, k ? 1, 2,3, 且i, j, k互不相同)
1 1 1 P( Ai ) ? , P( Bi ) ? , P(Ci ) ? 2 3 6
(1)他们选择的车床类型互不相同的概率为













1 1 1 1 P ? 3! P( A1 B2C3 ) ? 6 P( A1 ) P( B2 ) P(C3 ) ? 6 ? ? ? ? . 2 3 6 6
(2)解法 1:设 3 名工人中选择乙型车床的人数为? ,则 ? ~ B(3, ) ,且 ? ? 3 ? ? . 所以 P(? ? k ) ? P(? ? 3 ? k ) ? C3 ( )
3? k

1 3

1 3

3? k

1 (1 ? ) k . 3

故 ? 的分布列为

所以, ? 的数学期望为 E? ? 2 . 解法 2:设第 i 名工人选择甲或丙型车床记为事件 Di (i ? 1, 2,3) ,则 D1 , D2 , D3 相互独 立,且 P ( Di ) ? 1 ?

1 2 ? . 3 3 2 2 3? k k 2 k 所以 ? ~ B(3, ) ,即 P(? ? k ) ? C3 ( ) (1 ? ) , k ? 0,1, 2,3 . 3 3 3 2 分布列同法1, E? ? 3 ? ? 2 . 3

20.解: (1)由 a1 ? 0, 且 an?1 ? ?an ? 3n (n ? 1,2,3 …) 得 a2 ? ?a1 ? 3 ? 3

a3 ? ?a2 ? 32 ? 6 .

……2 分

(2)由 an?1 ? ?an ? 3n 变形得 a n ?1 ?

3 n ?1 3n ? ?( a n ? ) , 4 4

?{a n ?

3 3 3n } 是首项为 a1 ? ? ? 公比为 ? 1 的等比数列 4 4 4
即? a n ?

? an ?

3n 3 ? ? (?1) n ?1 4 4

3n 3 ? (?1) n ? ( n ? 1,2,3? ) 4 4

……6 分

(3)① 当 n 是偶数时,

an a n ?1

3n 3 ? 3n ? 3 1 4 4 ? n ?1 4 ? n ?1 ? ? n ?1 , 3 3 3 ?3 3 3 ?3 _ 4 4
……9 分

?

1 an a 随 n 增大而减少 ? 当 n 为偶数时, n 最大值是 . 2 an?1 an?1

② 当 n 是奇数时,

an an?1

3n 3 ? n 4 ? 3 ?3 ? 1 ? 4 ? 4 3n?1 3 3n?1 ? 3 3 3n?1 ? 3 ? 4 4

?

a an 1 4 1 1 随 n 增大而增大且 n ? ? n?1 ? ? an?1 3 3 ? 3 3 2 an?1

综上

1 an 最大值为 . 2 an?1

……12 分

21. 解: (1)椭圆 C:

x2 y2 5m 2 3m 2 2 ? ? 1 , c ? ? ? m 2 , c ? m,? F (m,0) 2 2 5m 2 3m 2 2 2

直线 AB:y=k(x-m),

? y ? k ( x ? m), ? 2 , (10k2+6)x2-20k2mx+10k2m2-15m2=0. ?x y 2 m2 ?m ? 0? ? ? ? 3 2 ?5
设 A(x1, y1) 、B(x2,y2),则 x1+x2=

20k 2 m 10k 2 m 2 ? 15m 2 , x x = 1 2 10k 2 ? 6 10k 2 ? 6

则 xm=

x1 ? x2 10k 2 m ? 6km ? , y m ? k ( xm ? m) ? . 2 2 10k ? 6 10k 2 ? 6

若存在 k ,使 OA ? OB ? ON, M 为 ON 的中点,∴OA ? OB ? 2OM . ∴OA ? OB ? ? 2 xm , 2 ym ? ? ?

? 20k 2 m ?12km ? , ?, 2 2 ? 10k ? 6 10k ? 6 ?

? 20k 2 m ? 12km ? 即 N 点坐标为 ? ? 10k 2 ? 6 , 10k 2 ? 6 ? ?. ? ?
1 ? 20k 2 m ? 1 ? ? 12km ? m2 ? ? ? ? ? ? , 由 N 点在椭圆上,则 ? ? 2 ? 5 ? 3 10 k 2 ? 6 2 10 k ? 6 ? ? ? ?
2 即 5k4-2k2-3=0.∴k ? 1 或 k ? ?
2

2

2

3 (舍) . 5

故存在 k ? ?1 ,使 OA ? OB ? ON . (2) OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 =x1x2+k2(x1-m) (x2-m) =(1+k2)x1x2-k2m(x1+x2)+k2m2

k 2 ? 15? 2 ? 10k 2 m2 ? 15m2 20k 2 m 2 2 2 =(1+k )· ? k m? ?k m ? m 10k 2 ? 6 10k 2 ? 6 10k 2 ? 6
2



?k

2

? 15? m2

10k 2 ? 6

k 2 ? 15 1? 4? 1 ? ? ? m ? ? ? ?2. ? ? (m3 ? 4m), 得 2 2? m? 2 10k ? 6

即 k2-15≤-20k2-12, k ≤

2

1 7 7 , ?? 且 k≠0. ?k? 7 7 7

1 ? ? k , ( x ? 2) ? ? x ?1 22. 解: (Ⅰ )∵F ?( x) ? ? . 1 ?? ? k , ( x ? 2) ? 2 2? x ?
∴当 x ? 2 时 , 方 程

……………2 分

1 ? k ? 0 的解为: k ? 0 或 k ?1 时无解, 0 ? k ?1 时为 x ?1

x?

1 ?1, k
当 x ? 2 时,方程 ?

1 1 ? k ? 0 的解为: k ? 0 时无解, k ? 0 时为 x ? 2 ? 2 . 4k 2 2? x

∴ 当 0 ? k ? 1 时,函数 F ( x) 在 (??, 2) 上递减,在 (2, 递减; 当 k ? 1 时,函数 F ( x) 在 (??, ??) 上是减函数; 当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 ( ??, 2 ? 递增. (Ⅱ )∵0 ? k ? e
? 3 2

1 1 ? 1) 上递增,在 ( ? 1, ?? ) 上 k k

1 1 ) 上递增,在 (2 ? 2 , 2) 上递减,在 (2, ??) 上 2 4k 4k
……………7 分

,由(Ⅰ )可知, F ( x) 的取值随着 x 的变化如下:

∴ 当 x ? 2 时, F ( x) 极小值为 ?2k , 当x?

1 1 ? 1 , F ( x) 极大值为 ln ? k ? 1 . k k
? 3 2

……………10 分

∵0 ? k ? e

,∴ln

1 3 ?3 1 1 ? k ?1 ? ? e 2 ?1 ? ? ?0, k 2 2 e e
1 ? k ?1 ? 0 , k

∴F ( x) 极小 ?2k ? 0 , F ( x) 极大值为 ln 因此, 0 ? k ? e
? 3 2

时,方程 F ( x) ? 0 一定有三个不同的实根.…………12 分



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