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1.3.1柱锥台体的表面积与体积ppt


1. 3

空间几何体的表面积与体积

1. 3.1

柱体、锥体、台体的表面积与体积

复习回顾

什么是面积? 面积:平面图形所占平面的大小

b aA
c h a

S=ab

1 S ? ( a ? b

) h 2 h b
a
r

1 1 S ? ah ? ac sin B 2 2
C

S ? ? ?r
l

2

B

b A a

S ? a ? ha ? b ? hb

? ab sin A

r

n 1 S ? l ?r ? ? ?r2 2 360

圆心角为n0

特殊平面图形的面积
正三角形的面积 正方形的面积 正六边形的面积
1 3 3 3 2 S ? 6? ? a?a ? a 2 2 2
a

1 3 s? ? a?a 2 2

s?a

2

a

a

提出问题
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积, 你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关 系吗?

几何体表面积

展开图 空间问题

平面图形面积 平面问题

引入新课
正方体、长方体是由多个平面围成的几何 体,它们的表面积就是各个面的面积的和.

因此,我们可以把它们展成平面图形,利用 平面图形求面积的方法,求立体图形的表面积.

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成 的几何体,它们的展开图是什么?如何计算它们 的表面积?

棱柱侧面展开图

S表=S底+S侧

平行四边形组成

棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?

侧面展开

h'

h'

棱台的展开图
棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?

侧面展开
h'

h'

棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图 形,棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图 形,棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形。 这样,求它们的表面积的问题就可转化为求平行 四边形、三角形、梯形的面积问题。

棱柱、棱锥、棱台的表面积

h'

h'

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成 的几何体,它们的侧面展开图还是平面图形,计 算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底 面面积之和.

典型例题
例1 已知棱长为a,各面均为等边三角形 的四面体S-ABC,求它的表面积 . 分析:四面体的展开图是由四个全等的正 三角形组成.
S

解:先求 ?ABC的面积,过点S 作 , 交BC于点D.
A

SD ? BC
?

B

3 a 因为BC=a,SD ? SB ? sin 60 ? 2
S ?ABC 所以: 1 1 3 3 2 ? BC ? SD ? a ? a? a 2 2 2 4

D

C

因此,四面体S-ABC 的表面积. 3 2 S ? 4? a ? 3a 2 4

例2.下图是一个几何体的三视图(单位:cm)想 象对应的几何体,并求出它的表面积 6

8
10

10
6 10

解:直观图是四棱台,侧 面是四个全等的梯形,上 下底面为不同的正方形

S侧 ? 4S梯形

S表 ? S侧 ? S底
12

例 如图是一个几何体的三视图,侧视图与 正视图均为矩形,俯视图为正三角形,尺 寸如图,则该几何体的侧面积为 ( )

A.6 C.24

B.12 3 D.3

解 由三视图可知,该几何体是底面为正三角形、侧 棱与底面垂直的三棱柱,由侧视图及俯视图可知,设底面

3 正三角形边长为 a,则 a= 3,∴a=2,由正视图和侧视 2 图知,该几何体高为 4,∴其侧面积 S=2×3×4=24,故 选 C.

如何根据圆柱,圆锥的几何结 构特征,求它们的表面积?

圆柱的表面积

r O?
O

2?r

圆柱的侧面展开图是矩形

S圆柱表面积 ? 2?r ? 2?rl ? 2?r (r ? l )
2

圆锥的表面积

2?r l

r O
圆锥的侧面展开图是扇形

S圆锥表面积 ? ?r ? ?rl ? ?r ( r ? l )
2

例: 已知圆锥的表面积为 a m2,且它的侧 面展开图是一个半圆,求这个圆锥的底面 直径. [解析] 设圆锥底面半径为 r,母线为 l,由已知条
件得 ? π r ( r + l ) = a ? ? 1 2 πrl= πl ? 2 ?
2

? ?πr(r+l)=a ∴? ? ?l=2r

3aπ 2 3aπ a ∴r = ∴r= ∴直径为 m. 3π 3π 3π

圆台的表面积 参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想 象圆台的侧面展开图是什么?
2?r ' 2?r

r ' O'
l

r

O
2 2

圆台的侧面展开图是扇环

S圆台表面积 ? ? ( r ? ? r ? r ?l ? rl )

练习. 一个空间几何体的三视图如图所示, 其正视 图、侧视图均是一个上、下底边长分别是4和8, 底 角为60°的等腰梯形, 则这个几何体的表 面积是( )

A. 20π C. 44π

B. 24π D. 20π+6 3π

解析: 选C.由三视图可知此几何体为圆台,

设上、下底面半径分别为r′, r, 母线长为l,
则r′=2, r=4, l=4.所以这个几何体的表面 积为π×22+π×42+π(2+4)×4=44π, 故选C.

三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有 什么关系?

r O?

r 'O’

l
O

r ’= r
上底扩大

l

r’ = 0
上底缩小

l

r
2

O
2

r

O

S柱 ? 2?r (r ? l ) S台 ? ? (r? ? r ? r?l ? rl ) S锥 ? ?r (r ? l )

例3:一个圆台形花盆盆口直径20 cm,盆底直径为

15cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长15cm。 那么花盆的表面积约是多少平方厘米(π取3.14, 结果精确到1 cm2 )?
解:由圆台的表面积公式得 花 盆的表面积:
2 ?? 15 ?2 15 ? 20 1.5 ? ? S ? π ?? ? ? ? 15 ? ? 15? ? π? ? 2 ?? 2 ? 2 ? ? 2?

20 cm

15 cm
15 cm

? 999(cm )
2
2 答:花盆的表面积约是999cm .

2.柱体、椎体、台体的体积 我们已经学习了特殊的棱柱——正方体、长方 体以及圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一 为: V ? Sh (S为底面面积,h为高)

一般柱体 一般柱体体积也是: V ? Sh 其中S为底面面积,h为棱柱的高(即上下底面的 距离)。

圆锥的体积公式:
1 V ? Sh (其中S为底面面积,h为高) 3

1 圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 3

棱锥的体积公式:
1 V ? Sh(其中S为底面面积,h为高) 3
1 棱锥体积等于同底等高的棱柱的体积的 3

台体体积

根据台体的特征,如何求台体的体积?
由于圆台(棱台)是由圆锥 (棱锥)截成的,因此可以利 用两个锥体的体积差.得到 圆台(棱台)的体积公式(过程 略 ).
A?

P
D?

S?
B?

C?

h
A

D

V ? VP? ABCD ? VP? A?B?C?D?
1 ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

S

C
B

V ? V大锥 ? V小锥

x
S?

1 1 = S ? x ? h ? ? S ?x 3 3

h
S

x?

S ?h S ? S?

1 1 = Sh ? ? S ? S ? ? x 3 3 2 1? x 1 ? S ? S ?h ? Sh S ?? ? ? ?S ? ?? S S ? S? 3 ? x? 3h ? x S? 1 1 ? ? S ?h ?? Sh ? S ? S S 3 x? 3h 1 ?h ? S? ?? hx S ? SS ?S ? S ? S? 3

?

?

?

?

柱体、锥体与台体的体积
V柱体 ? Sh(S是底面积 , h是高)
V锥体 1 ? Sh ( S是底面积 , h是高 ) 3

1 V台体 ? ( S '? S ' S ? S )h 3 ( S ' , S分别是上下底面面积 , h是台体高)

思考:你能发现三者之间的关系吗?

圆柱、圆锥、圆台三者的体积公 式之间有什么关系?

上底扩大

上底缩小

S? ? S V ? 1 (S? ? S?S ? S)h S? ? 0 V ? Sh 3

1 V ? Sh 3

典型例题
例3 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8g / cm3 )六角螺帽共重5.8kg,已知底面是正六边 形,边长为12mm,内孔直径为10mm,高为10mm, 问这堆螺帽大约有多少个( ? 取3.14)? 解:六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差,即: 3 10 2 2 V? ?12 ? 6 ?10 ? 3.14? ( ) ?10 4 2 ? 2956 (mm3 )
? 2.956(cm3 )

所以螺帽的个数为 5.8 ?1000? (7.8 ? 2.956) ? 252 (个)
答:这堆螺帽大约有252个.

例:若某几何体的三视图(单位: cm)如图所示, 则 此几何体的体积是( )

352 3 A. cm 3 224 3 C. cm 3

320 3 B. cm 3 160 3 D. cm 3

【解析】 此几何体为正四棱柱与正四棱台的 组合体 , 而 V 正四棱柱 =4×4× 2= 32(cm ), 1 2 224 2 2 2 3 V 正四棱台= (8 +4 + 8 ×4 )× 2= (cm ), 3 3 224 320 3 所以 V= 32+ = (cm ). 3 3
3

总结: 柱体、锥体、台体的表面积
圆柱 S ? 2?r (r ? l ) 圆柱、圆锥、 圆台
棱柱、棱锥、 棱台
??S ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl ) 圆台

圆锥 S ? ?r (r ? l )
展开图 各面面积之和

柱体、锥体、台体的体积
柱体V ? Sh 柱体、锥体、 台体的体积
1 台体 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3 1 锥体V ? Sh 3


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