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陕西省咸阳市三原县北城中学2015-2016学年高一数学上学期期中试卷(含解析)


2015-2016 学年陕西省咸阳市三原县北城中学高一(上)期中数学试 卷
一.选择题 1.若集合 A={x|1<x≤ A.{x|x>0} },B={x|0<x≤1},则 A∪B=( } C.{x|0≤x≤ ) ) } D.{x|0<x≤ }

B.{x|x≤

2.给出下列四个对应,其中能构成映射的是(

A

.(1)(2)

B.(1)(4)

C.(1)(3)(4) )

D.(3)(4)

3.已知函数 f(3x)=log2 A.log2 B.2

,那么 f(1)的值为( C.1 ,则 f(4)的值为( C.2
1.3

D. ) D.8 ) D.b<c<a

4.已知幂函数 f(x)过点 A. B.1
0.1

5.已知 a=log20.3,b=2 ,c=0.2 ,则 a,b,c 的大小关系是( A.a<b<c 6.函数 A.y 轴对称 B.c<a<b 的图象关于( ) C.坐标原点对称 C.a<c<b

B.直线 y=﹣x 对称

D.直线 y=x 对称

7.设函数 f(x)=

,则 f(f(3))=(



A.

B.3

C.

D. )

8. 已知二次函数 y=x2﹣2ax+1 在区间 (2, 3) 内是单调函数, 则实数 a 的取值范围是 (

1

A.a≤2 或 a≥3

B.2≤a≤3

C.a≤﹣3 或 a≥﹣2

D.﹣3≤a≤﹣2 )

9.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2﹣x,则 f(1)=(

A.﹣3 10.函数 A.
x

B.﹣1

C.1 的定义域为( )

D.3

B.

C.

D.

11.函数 y=a 在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3,则函数 y=3ax﹣1 在[0,1]的最大值 是( A.6 ) B.1
|x|

C.5

D. )

12.设 a>1,实数 x,y 满足 f(x)=a ,则函数 f(x)的图象形状大致是(

A.

B.

C.

D.

二.填空题 13.某厂去年生产某种规格的电子元件 a 个,计划从今年开始的 m 年内,每年生产此种元件 的产量比上一年增长 p%,此种规格电子元件年产量 y 随年数 x 变化的函数关系 是 .

14.已知函数 f(x)=loga(2x﹣1)(a>0,a≠1)的图象恒过定点 P,则 P 点的坐标 是 . .

15. 函数 f (x) =x2﹣2ax+a+2, 若f (x) 在[0, a]上取得最大值 3, 最小值 2, 则 a=

16.若集合 A={x|x≤2}、B={x|x≥a}满足 A∩B={2},则实数 a=



三、解答题(写出简要解题过程) 17.计算: (1)log427×log58×log325
2

(2)(

)(﹣3

)÷(



18.集合 A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0},B={x|x2﹣5x+6=0},C={x|x2+2x﹣8=0}满足 A∩B≠?, A∩C=?,求实数 a 的值. 19.设函数 f(x)= ,求使得 f(a)=1 的自变量 a 的取值.

20.已知函数 f(x)=log2(x﹣3). (1)求 f(51)﹣f(6)的值; (2)求 f(x)的定义域; (3)若 f(x)≥0,求 x 的取值范围. 21.已知函数 (1)求 m 的值; (2)证明 f(x)的奇偶性; (3)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. ,且 f(4)=3

2015-2016 学年陕西省咸阳市三原县北城中学高一(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析

一.选择题 1.若集合 A={x|1<x≤ A.{x|x>0} },B={x|0<x≤1},则 A∪B=( } C.{x|0≤x≤ ) } D.{x|0<x≤ }

B.{x|x≤

【考点】并集及其运算. 【专题】集合. 【分析】由 A 与 B,求出两集合的并集即可. 【解答】解:∵A={x|1<x≤ ∴A∪B={x|0<x≤ 故选:D. }. },B={x|0<x≤1},

3

【点评】此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键.

2.给出下列四个对应,其中能构成映射的是(



A.(1)(2) 【考点】映射.

B.(1)(4)

C.(1)(3)(4)

D.(3)(4)

【专题】函数的性质及应用;集合. 【分析】由映射的定义对四个对应进行判断,即可得出能构成映射的对应. 【解答】解:由映射的定义知,(2)中 3 没有象,(3)中出现了一对二的对应,所以此二 者都不是映射, (1)(4)符合映射的定义,是映射. 故选 B. 【点评】本题考查映射概念,理解定义是解答的关键.

3.已知函数 f(3x)=log2 A.log2 【考点】函数的值. 【专题】函数的性质及应用. B.2

,那么 f(1)的值为( C.1

) D.

【分析】利用函数的性质和对数运算法则求解. 【解答】解:∵f(3x)=log2 ∴f(1)= 故选:C. = ,

=log22=1.

4

【点评】 本题考查函数值的求法, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意函数性质的合理运用.

4.已知幂函数 f(x)过点 A. B.1

,则 f(4)的值为( C.2

) D.8

【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 【专题】计算题. 【分析】设幂函数 f(x)=x ,x>0,由幂函数 f(x)过点
a

,知

,x>0,



,由此能求出 f(4).
a

【解答】解:设幂函数 f(x)=x ,x>0, ∵幂函数 f(x)过点 ∴ ,x>0, ,



,∴



∴f(4)= 故选 A.

= .

【点评】本题考查幂函数的性质和应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合 理地进行等价转化.

5.已知 a=log20.3,b=20.1,c=0.21.3,则 a,b,c 的大小关系是( A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b

) D.b<c<a

【考点】对数值大小的比较. 【专题】计算题. 【分析】看清对数的底数,底数大于 1,对数是一个增函数,0.3 的对数小于 1 的对数,得 到 a 小于 0,根据指数函数的性质,得到 b 大于 1,而 c 小于 1,根据三个数字与 0,1 之间 的关系,得到它们的大小关系.
5

【解答】解:由对数和指数的性质可知, ∵a=log20.3<0 b=20.1>20=1 c=0.21.3 < 0.20=1 ∴a<c<b 故选 C. 【点评】本题考查对数的性质,考查指数的性质,考查比较大小,在比较大小时,若所给的 数字不具有相同的底数,需要找一个中间量,把要比较大小的数字用不等号连接起来.

6.函数 A.y 轴对称

的图象关于(

) C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称

B.直线 y=﹣x 对称

【考点】奇偶函数图象的对称性. 【分析】根据函数 f(x)的奇偶性即可得到答案. 【解答】解:∵f(﹣x)=﹣ +x=﹣f(x) ∴ 故选 C. 【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质,是高考必考题型. 是奇函数,所以 f(x)的图象关于原点对称

7.设函数 f(x)=

,则 f(f(3))=(



A. 【考点】函数的值. 【专题】计算题.

B.3

C.

D.

【分析】由条件求出 f(3)= ,结合函数解析式求出 f(f(3))=f( )= +1,计算求 得结果.

6

【解答】解:函数 f(x)=

,则 f(3)= ,

∴f(f(3))=f( )= +1= 故选 D.



【点评】本题主要考查利用分段函数求函数的值的方法,体现了分类讨论的数学思想,求出 f(3)= ,是解题的关键,属于基础题.

8. 已知二次函数 y=x ﹣2ax+1 在区间 (2, 3) 内是单调函数, 则实数 a 的取值范围是 (

2



A.a≤2 或 a≥3

B.2≤a≤3

C.a≤﹣3 或 a≥﹣2

D.﹣3≤a≤﹣2

【考点】二次函数的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据二次函数的对称轴为 x=a,再分函数在区间(2,3)内是单调增函数、函数在 区间(2,3)内是单调减函数两种情况,分别求得实数 a 的取值范围,从而得出结论.

【解答】解:由于二次函数 y=x2﹣2ax+1 的对称轴为 x=a, 若 y=x ﹣2ax+1 在区间(2,3)内是单调增函数,则有 a≤2. 若 y=x ﹣2ax+1 在区间(2,3)内是单调减函数,则有 a≥3. 故选:A. 【点评】本题主要考查二次函数的性质应用,属于基础题.
2 2

9.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x ﹣x,则 f(1)=(

2



A.﹣3

B.﹣1

C.1

D.3

【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】计算题.

7

【分析】要计算 f(1)的值,根据 f(x)是定义在 R 上的奇函数,我们可以先计算 f(﹣1) 的值,再利用奇函数的性质进行求解,当 x≤0 时,f(x)=2x2﹣x,代入即可得到答案.

【解答】解:∵当 x≤0 时,f(x)=2x2﹣x, ∴f(﹣1)=2(﹣1) ﹣(﹣1)=3, 又∵f(x)是定义在 R 上的奇函数 ∴f(1)=﹣f(﹣1)=﹣3 故选 A 【点评】 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质, 熟练掌握函数的奇偶性的性质是解答本题 的关键.
2

10.函数 A. B.

的定义域为( C.

) D.

【考点】对数函数的定义域. 【专题】计算题. 【分析】由 解得 <x≤1,由此求得函数的定义域.

【解答】解:由

解得 <x≤1,故函数

的定义域为

, 故选 A. 【点评】本题主要考查对数函数的定义域,函数的定义域的定义和求法,属于基础题.

11.函数 y=ax 在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3,则函数 y=3ax﹣1 在[0,1]的最大值 是( A.6 ) B.1 C.5 D.

【考点】指数函数的单调性与特殊点.

8

【专题】函数的性质及应用. 【分析】本题要分两种情况进行讨论:①0<a<1,函数 y=ax 在[0,1]上为单调减函数,根 据函数 y=ax 在[0,1]上的最大值与最小值和为 3,求出 a②a>1,函数 y=ax 在[0,1]上为单 调增函数, 根据函数 y=ax 在[0, 1]上的最大值与最小值和为 3, 求出 a, 最后代入函数 y=3ax ﹣1,即可求出函数 y=3ax﹣1 在[0,1]上的最大值. 【解答】解:①当 0<a<1 时 函数 y=ax 在[0,1]上为单调减函数 ∴函数 y=ax 在[0,1]上的最大值与最小值分别为 1,a ∵函数 y=ax 在[0,1]上的最大值与最小值和为 3 ∴1+a=3 ∴a=2(舍) ②当 a>1 时 函数 y=a 在[0,1]上为单调增函数 ∴函数 y=ax 在[0,1]上的最大值与最小值分别为 a,1 ∵函数 y=a 在[0,1]上的最大值与最小值和为 3 ∴1+a=3 ∴a=2 ∴函数 y=3ax﹣1=6x﹣1 在[0,1]上的最大值是 5 故选 C 【点评】本题考查了函数最值的应用,但阶梯的关键要注意对 a 进行讨论,属于基础题.
x x

12.设 a>1,实数 x,y 满足 f(x)=a|x|,则函数 f(x)的图象形状大致是(



A.

B.

C.

D.

【考点】指数函数的图象与性质. 【专题】数形结合.

9

【分析】f(x)中含有绝对值,故可去绝对值讨论,当 x≥0 时,f(x)=a ,因为 a>1,故 为增函数,又因为 f(x)为偶函数,故可选出答案. 【解答】解:当 x≥0 时,f(x)=ax,因为 a>1,故为增函数,又因为 f(x)为偶函数, 图象关于 y 轴对称, 故选 A 【点评】本题考查指数函数的图象问题、考查识图能力.

x

二.填空题 13.某厂去年生产某种规格的电子元件 a 个,计划从今年开始的 m 年内,每年生产此种元件 的产量比上一年增长 p%,此种规格电子元件年产量 y 随年数 x 变化的函数关系是 y=a (1+p%) (0≤x≤m) . 【考点】根据实际问题选择函数类型. 【专题】计算题. 【分析】根据计划从今年开始的 m 年内,每年生产此种规格电子元件的产量比上一年增长 p%,可知每年生产此种规格的电子元件的产量成等比数列,首项为 a,公比是 1+p%,从而可 求电子元件年产量 y 随年数 x 变化的函数关系. 【解答】解;设第 x 年生产此种规格的电子元件的产量为 ax,则 ax=(1+p%)ax﹣1,
x

∴数列{ax}是等比数列,首项为 a,公比是 1+p%, ∴ax=a(1+p%) , 故答案为:y=a(1+p%)x(0≤x≤m). 【点评】本题以实际问题为依托,考查函数模型的运用,考查学生阅读能力和从实际生活中 抽象出数学模型,然后解模求得结果,难点从题意构造等比数列,把实际问题转化为数列问 题,属基础题.
x

14. 已知函数 f (x) =loga (2x﹣1) (a>0, a≠1) 的图象恒过定点 P, 则 P 点的坐标是 (1, 0) . 【考点】对数函数的图象与性质. 【专题】函数的性质及应用.

10

【分析】定点即为:点的坐标与 a 的取值无关,由对数函数的性质可知,只要令 2x﹣1=1 即可. 【解答】解:根据题意:令 2x﹣1=1,解得 x=1, ∴P 点横坐标 x=1,此时纵坐标 y=0, ∴定点坐标是(1,0), 故答案为:(1,0). 【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质,在研究和应用时一定要注意一些细节,如图 象的分布,关键线,关键点等.

15.函数 f(x)=x2﹣2ax+a+2,若 f(x)在[0,a]上取得最大值 3,最小值 2,则 a= 1 .

【考点】函数的最值及其几何意义. 【专题】方程思想;分析法;函数的性质及应用. 【分析】利用抛物线开口向上,对称轴为 x=a>0 的二次函数的单调性,解方程即可得到答 案,注意检验最小值 2. 【解答】解:∵f(x)=x ﹣2ax+a+2=(x﹣a) ﹣a +a+2, ∴其对称轴为 x=a>0,又 y=f(x)开口向上, ∴函数 f(x)=x ﹣2ax+a+2 在[0,a]上单调递减, ∴f(x)max=f(0)=a+2=3, ∴a=1. 验证 f(x)min=f(a)=﹣a2+a+2=2 符合, ∴a=1, 故答案为:1. 【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值,分析得到函数 f(x)=x ﹣2ax+a+2 在[0, a]上单调递减是关键,属于基础题.
2 2 2 2 2

16.若集合 A={x|x≤2}、B={x|x≥a}满足 A∩B={2},则实数 a= 【考点】交集及其运算;集合的包含关系判断及应用. 【专题】计算题.

2 .

11

【分析】由题意 A∩B={2},得集合 B 中必定含有元素 2,且 A,B 只有一个公共元素 2,可 求得 a 即可. 【解答】解:由 A∩B={2}, 则 A,B 只有一个公共元素 2; 可得 a=2. 故填 2. 【点评】本题考查了集合的确定性、交集运算,属于基础题.

三、解答题(写出简要解题过程) 17.计算: (1)log427×log58×log325 (2)( )(﹣3 )÷( )

【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 【专题】计算题;规律型;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】(1)直接利用对数的运算法则求解即可; (2)利用有理指数幂的运算法则化简求解即可. 【解答】解:(1)log427×log58×log325 = =9. (2)( )(﹣3 )÷( )

= =﹣9a. 【点评】本题考查有理指数幂的运算,对数的运算法则的应用,考查计算能力.

18.集合 A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0},B={x|x2﹣5x+6=0},C={x|x2+2x﹣8=0}满足 A∩B≠?, A∩C=?,求实数 a 的值.
12

【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题. 【分析】求出集合 B、集合 C,利用 A∩B≠?,A∩C=?,确定 2?A,3∈A,求出 a,验证 a 的 正确性即可. 【解答】解:B={2,3},C={﹣4,2},而 A∩B≠?,则 2,3 至少有一个元素在 A 中,

又 A∩C=?,∴2?A,3∈A,即 9﹣3a+a2﹣19=0,得 a=5 或﹣2 而 a=5 时,A=B 与 A∩C=?矛盾, ∴a=﹣2 【点评】 本题属于以方程为依托, 求集合的交集补集的基础题, 考查元素与集合之间的关系, 也是高考常会考的题型.

19.设函数 f(x)=

,求使得 f(a)=1 的自变量 a 的取值.

【考点】分段函数的应用. 【专题】分类讨论;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】根据已知中函数 f(x)= 况讨论满足条件的 a 值,综合讨论结果可得答案. 【解答】解:当 a<1 时,解 f(a)=(a+1)2=1 得:a=﹣2,或 a=0, 当 a≥1 时,解 f(a)=4﹣ =1 得:a=10, ,分当 a<1 时和当 a≥1 时,两种情

综上所述:a=﹣2,或 a=0,或 a=10. 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,已知函数值求自变量,就是解方程.

20.已知函数 f(x)=log2(x﹣3). (1)求 f(51)﹣f(6)的值; (2)求 f(x)的定义域;

13

(3)若 f(x)≥0,求 x 的取值范围. 【考点】对数函数的图象与性质. 【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】(1)由 f(x)=log2(x﹣3),利用对数的性质和运算法则能求出 f(51)﹣f(6) 的值. (2)由 f(x)=log2(x﹣3),利用对数函数的性质能求出 f(x)的定义域.

(3)由 f(x)=log2(x﹣3)≥0,利用对数函数的定义和单调性质能求出 x 的取值范围.

【解答】解:(1)∵f(x)=log2(x﹣3), ∴f(51)﹣f(6)=log248﹣log23= (2)∵f(x)=log2(x﹣3), ∴x﹣3>0,解得 x>3, ∴f(x)的定义域为{x|x>3}. (3)∵f(x)=log2(x﹣3)≥0, ∴ ,解得 x≥4, =log216=4.

∴x 的取值范围是[4,+∞). 【点评】本题考查函数值、函数的定义域、不等式的解法,是基础题,解题时要认真审题, 注意对数函数的性质的合理运用.

21.已知函数 (1)求 m 的值; (2)证明 f(x)的奇偶性;

,且 f(4)=3

(3)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 【考点】函数解析式的求解及常用方法;函数奇偶性的判断. 【专题】计算题;证明题. 【分析】(1)据 f(4)=3 求出待定系数 m 的值.

14

(2)先看函数的定义域是否关于原点对称,再看 f(x)与 f(﹣x)的关系,依据奇偶性的 定义进行判断. (3)在(0,+∞)上任取 x1>x2>0,计算对应的函数值之差,把此差变形为因式之积的形 式,然后判断符号,比较 f(x1)与 f(x2)的大小,得出结论. 【解答】解:(1)∵f(4)=3,∴ (2)因为 又 所以 f(x)是奇函数. (3)设 x1>x2>0,则 ,∴m=1.

,定义域为{x|x≠0},关于原点成对称区间. ,

因为 x1>x2>0,所以 x1﹣x2>0,



所以 f(x1)>f(x2),因此 f(x)在(0,+∞)上为单调增函数. 【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式,以及判断函数单调性、奇偶性的方法.

15


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