tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

北京市东城区2015-2016学年第一学期期末检测高三数学(理)试题答案


东城区 2015-2016 学年第一学期期末教学统一检测参考答案 高三数学(理科) 2016.1

学校___________班级_____________姓名____________考号___________ 本试卷共 5 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

>
第一部分(选择题
要求的一项. 题号 答案 1 A 2 A 3 B 4 C

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目

5 B

6 B 共 110 分)

7 A

8 D

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

(9) 2 2 (14)①④

(10)

1 ; ?

2 3

(11) 58

(12) 1 ; 0 (13) x ? y ? 1 ? 0

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题共 13 分) 设 {an } 是一个公比为 q ( q ? 0, q ? 1) 等比数列,4a1 ,3a2 , 2a3 成等差数列,且它的 前 4 项和 s4 ? 15 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? an ? 2n,(n ? 1, 2,3......) ,求数列 {bn } 的前 n 项和. 解: (Ⅰ)因为 {an } 是一个公比为 q ( q ? 0, q ? 1) 等比数列, 所以 an ? a1q
n ?1



因为 4a1 ,3a2 ,2a3 成等差数列, 所以 6a2 ? 4a1 ? 2a3 , 即 q ? 3q ? 2 ? 0 .
2

解得 q ? 2, q ? 1(舍) . 又它的前 4 和 s4 ? 15 ,得

a1 (1 ? q4 ) ? 15 ( q ? 0, q ? 1) , 1? q

1

解得 a1 ? 1

. …………………9 分

所以 an ? 2n?1 . (Ⅱ)因为 bn ? an ? 2n , 所以

?

n

i ?1 i

b ? ?i ?1 ai ? ?i ?1 2i ? 2n ? n(n ? 1) ? 1 .
n n

………………13 分

(16) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin
2

x ? 2 3sin x cos x ? cos2 x ( x ? R) .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期和在 [0, π ] 上的单调递减区间; (Ⅱ)若 ? 为第四象限角,且 cos ? ?

3 ? 7π ) 的值. ,求 f ( ? 2 12 5

解: (Ⅰ)由已知 f ( x) ? sin2 x ? 2 3sin x cos x ? cos2 x

? 3 sin 2 x ? cos 2 x π ? 2sin(2 x ? ). 6
所以 最小正周期 T = 由 得

2π 2π = = π. ω 2 2kπ, k ? z.

π + 2 kπ ? 2 x 2 2π + kπ # x 3

π 3π ? 6 2

10π + kπ, k ? z 6

故函数 f ( x ) 在 [0, π ] 上的单调递减区间 ? π, (Ⅱ)因为 ? 为第四象限角,且 cos ? ?

?1 ?3

5 ? π 6 ? ?

…………9 分

3 4 ,所以 sin ? ? ? . 5 5 7π π ? 7π 8 ? ) ? ?2sin ? ? .…………………13 分 ) = 2sin(? ? 所以 f ( ? 5 6 6 2 12

(17) (本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,

P E D A
2

PA ? 底面 ABCD , AB ? AP , E 为棱 PD 的中点.
(Ⅰ)证明: AE ? CD ; (Ⅱ)求直线 AE 与平面 PBD 所成角的正弦值;

C B

(Ⅲ)若 F 为 AB 中点,棱 PC 上是否存在一点 M ,使得 FM ? AC ,若存在,

PM 的值,若不存在,说明理由. MC (Ⅰ)证明:因为 PA ? 底面 ABCD ,
求出 所以 PA ? CD . 因为 AD ? CD , 所以 CD ? 面PAD . 由于 AE ? 面PAD , 所以有 CD ? AE . …………………4分 (Ⅱ)解:依题意,以点 A 为原点建立空间直角坐标系(如图) , 不妨设 AB ? AP ? 2 ,可得 B(2, 0, 0) , C (2, 2, 0) , D(0,2,0),

z P E y B x

D A

C

P(0,0,2) .
由 E 为棱 PD 的中点,得 E (0,1,1) . 向量 BD ? (?2,2,0) , PB ? (2,0, ?2) . 设 n ? ( x, y, z) 为平面 PBD 的法向量,则 ?n ? BD ? 0

uuu v AE ? (0,1,1)

uuu r

uur

r

? ? n ? PB ? 0

即 ?? 2 x ? 2 y ? 0 .

? ? 2x ? 2z ? 0

不妨令 y = 1 ,可得 n 所以 cos AE , EF ?

? (1,1,1)为平面 PBD 的一个法向量.
6 . 3
…………………11 分
3

uuu v uuu v

所以,直线 EF 与平面 PBD 所成角的正弦值为 6 .

(Ⅲ)解:向量 CP ? (?2, ?2,2) , AC ? (2,2,0) , AB ? (2,0,0) . 由点 M 在棱 PC 上,设 CM ? ?CP , (0 ? ? ? 1) . 故 FM ? FC ? CM ? (1 ? 2?,2 ? 2?,2? ) . 由 FM

uur

uuu r

uu u r

uuu r

uur

uuu r

uuu r uuu r

? AC ,得 FM ? AC ? 0 ,
3 . 4
3

因此, (1- 2? ) ? 2 ? (2 - 2? ) ? 2 ? 0 ,解得 ? ?

所以

PM 1 ? . MC 3

…………………13 分

(18) (本小题共 13 分) 已知椭圆

x2 y2 1 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦点是 F1、F2 ,且 F1F2 ? 2 ,离心率为 . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过椭圆右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A , B 两点,求 | AF2 |g | F2 B | 的取值范围. 解(Ⅰ)因为椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

?a 2 ? b2 ? c 2, ? ?c 1 由题意知 ? ? , 解得 a ? 2, b ? 3 . a 2 ? ? ? 2c ? 2
x2 y2 ? ? 1. 所以椭圆的标准方程为 4 3
……………………………5 分

(Ⅱ)因为 F2 (1, 0) ,当直线 l 的斜率不存在时, A(1, ) , B (1 , ? ) ,

3 2

3 2

| F2 B |? 则 | AF2 |g

9 ,不符合题意. 4

当直线 l 的斜率存在时,直线 l 的方程可设为 y ? k ( x ? 1) .

? y ? k ( x ? 1), ? 由 ? x2 y2 ? ? 1, ? 3 ?4

消 y 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 (*) .

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 x1 、 x2 是方程(*)的两个根, 所以 x2 ? x2 ? 所以 | AF2 |? 所以 | F2 B |?

8k 2 4k 2 ? 12 x x ? , . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
( x1 ? 1)2 ? y12 ? 1 ? k 2 x1 ? 1 , ( x2 ? 1)2 ? y2 2 ? 1 ? k 2 x2 ? 1
2

所以 | AF2 |g | F2 B |? (1 ? k ) x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1

? (1 ? k 2 )

4k 2 ? 12 8k 2 ? ?1 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

4

? (1 ? k 2 )
? (1 ? k 2 )

9 3 ? 4k 2

9 3 ? 4k 2 9 1 ? (1 ? ). 4 3 ? 4k 2
当 k ? 0 时, | AF2 |g | F2 B | 取最大值为 3 ,
2

所以 | AF2 |g | F2 B | 的取值范围 ? ,3 . 又当 k 不存在,即 AB ? x 轴时, | AF2 |g | F2 B | 取值为 所以 | AF2 |g | F2 B | 的取值范围 (19) (本小题共 14 分)

?9 ?4

? ? ?

9 . 4
…………13 分

?9 ? ,3 . ? ?4 ? ?

已知函数 f ( x ) ?

ex ? a ( x ? ln x ) . x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,试求 f ( x ) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,试求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若 f ( x ) 在 (0,1) 内有极值,试求 a 的取值范围.

e x ( x ? 1) 1 ? 1 ? , f / (1) ? 0 , f (1) ? e ? 1 . 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x ) ? 2 x x
/

方程为 y ? e ? 1 .
(Ⅱ) f ?( x ) ?

…………………4 分

e x ( x ? 1) 1 e x ( x ? 1) ? ax( x ? 1) ? a (1 ? ) ? , x2 x x2
1 ) .

?

x ( e ? a x )? x ( 2 x

当 a ? 0 时,对于 ?x ? (0, ??) , e x ? ax ? 0 恒成立,
所以

f ' ( x) ? 0 ? x ? 1 ;

f ' ( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1 0.
…………………8 分

所以 单调增区间为 (1, ??) ,单调减区间为 (0,1) .

' (Ⅲ)若 f ( x ) 在 (0,1) 内有极值,则 f ( x) 在 x ? (0,1) 内有解.

令 f ' ( x) ? 设 g ( x) ?

(e x ? ax )( x ? 1) ex x ? 0 e ? ax ? 0 ? ? . a ? x2 x
x?( 0 , 1 ,)

ex x

5

所以 g ' ( x ) ?

e x ( x ? 1) , 当 x ? (0,1) 时, g ' ( x) ? 0 恒成立, x

所以 g ( x) 单调递减. 又因为 g (1) ? e ,又当 x ? 0 时, g ( x) ? ?? , 即 g ( x) 在 x ? (0,1) 上的值域为 (e, ??) ,
(e x ? ax )( x ? 1) ? 0 有解. 所以 当 a ? e 时, f ( x ) ? x2
'

设 H ( x) ? e x ? ax ,则 H ?( x) ? e x ? a ? 0 x ? (0,1) , 所以 H ( x ) 在 x ? (0,1) 单调递减. 因为 H (0) ? 1 ? 0 , H (1) ? e ? a ? 0 , 所以 H ( x) ? e x ? ax 在 x ? (0,1) 有唯一解 x0 . 所以有:

x
H ( x)

(0, x0 )

x0
0 0 极小值

( x0 ,1)
?

?
?

f ' ( x)
f ( x)

?
Z

]

所以 当 a ? e 时, f ( x ) 在 (0,1) 内有极值且唯一.

当 a ? e 时,当 x ? (0,1) 时, f ' ( x) ? 0 恒成立, f ( x) 单调递增,不成立. 综上, a 的取值范围为 (e, ??) . …………………14 分
(20) (本小题共 13 分)
* 已知曲线 Cn 表示 x, y 满足 x ? y ? 1 (n ? N ) 的方程. n n

(Ⅰ)求出 n ? 1, 2 时,曲线 Cn 所围成的图形的面积; (Ⅱ) 若 Sn (n ? N ? ) 表示曲线 Cn 所围成的图形的面积, 求证:Sn (n ? N ? ) 关于 n 是递增的;

(III) 若方程 xn ? y n ? z n (n ? 2, n ? N ) , xyz ? 0 ,没有正整数解,
求证:曲线 Cn (n ? 2, n ? N ? ) 上任一点对应的坐标 ( x, y ) , x, y 不能全是有理数. 解:(Ⅰ)当 n ? 1, 2 时, 由图可知 C1 ? 4 ?

1 ? 1? 1 ? 2 , 2

C2 ? π . …………………3 分

(Ⅱ)要证 Sn (n ? N ? ) 是关于 n 递增的,只需证明: Sn ? Sn?1 (n ? N ? ) . 由于曲线 Cn 具有对称性,只需证明曲线 Cn 在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递

6

增. 现在考虑曲线 Cn 与 Cn?1 , 因为 因为

x ? y ? 1(n ? N ? ) L L (1) x
n ?1

n

n

? y

n ?1

? 1(n ? N ? ) L L (2)

在(1)和(2)中令 x ? x0 , x0 ? (0,1) , 当 x0 ? (0,1) ,存在 y1 , y2 ? (0,1) 使得 x0n ? y1n ? 1 , x0n?1 ? y2n?1 ? 1成立, 此时必有 y2 ? y1 . 因为当 x0 ? (0,1) 时 x0n ? x0n?1 , 所以 y2n?1 ? y1n . 两边同时开 n 次方有, y2 ? y2 这就得到了 y2 ? y1 , 从而 Sn (n ? N ? ) 是关于 n 递增的. …………………10 分
n ?1 n

(指数函数单调性) ? y1 .

x y (III)由于 xn ? y n ? z n (n ? 2, n ? N ) 可等价转化为 ( ) n ? ( ) n ? 1 , z z
反证:若曲线 Cn (n ? 2, n ? N * ) 上存在一点对应的坐标 ( x, y ) , x, y 全是有理数, 不妨设 x ?
n

q t , y ? , p, q, s, t ? N * ,且 p, q 互质, s , t 互质. p s
n

则由 x ? y ? 1 可得,

q t ? ? 1. p s
即 qs ? pt
n n

n

n

? ps .
n n n *

n

这时 qs, pt , ps 就是 x ? y ? z (n ? 2, n ? N ) 的一组解,
n n n * 这与方程 x ? y ? z (n ? 2, n ? N ) , xyz ? 0 ,没有正整数解矛盾,

所以曲线 Cn (n ? 2, n ? N * ) 上任一点对应的坐标 ( x, y ) , x, y 不能全是有理数. …………………13 分

7


推荐相关:

北京市东城区2015-2016学年第一学期期末检测高三数学(理)试题及答案

北京市东城区2015-2016学年第一学期期末检测高三数学(理)试题答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京市东城区 2015-2016 学年第一学期期末教学统一检测 ...


东城区2015-2016学年第一学期期末检测高三数学(理)试题及答案

东城区2015-2016学年第一学期期末检测高三数学(理)试题答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京市东城区 2015-2016 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学...


北京市东城区2015-2016学年第一学期期末高三理科数学试题与答案

北京市东城区2015-2016学年第一学期期末高三理科数学试题答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。北京市东城区 2015-2016 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学...


东城区2015-2016学年第一学期期末检测高三数学(文)试题及答案

北京市东城区 2015-2016 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学 (文科)学校___班级___姓名___考号___ 本试卷共 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。...


2015-2016学年 北京市东城区第一学期期末教学统一检测高三 数学(理)

数学试题(文科) 第 4 页(共 12 页) 东城区 2015-2016 学年第一学期期末教学统一检测参考答案 高三数学(理科) 2016.1 学校___班级___姓名___考号___ ...


北京市东城区2015-2016学年第一学期期末检测高三数学(文)试题及答案

北京市东城区 2015-2016 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学 (文科)学校___班级___姓名___考号___ 本试卷共 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。...


2015-2016年北京东城高三上学期期末理科数学试题及答案

2015-2016 年北京东城高三上学期期末理科数学试题答案 北京市东城区 2015-2016 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学(理科) 2016.1 第一部分(选择题要求的...


东城区2015-2016学年第一学期期末检测九年级数学试题及答案word

东城区2015-2016学年第一学期期末检测九年级数学试题答案word_数学_初中教育_教育专区。北京市东城区 2015—2016 学年第一学期期末统一测试 初三数学 学校考 2....


2016 1东城区上学期期末检测高三数学(理)试题及答案

2016 1东城区上学期期末检测高三数学(理)试题答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京市东城区 2015-2016 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学(理科) ...


2015-2016东城区第一学期期末高三数学(文科)统练试题及参考答案(word版)

2015-2016 东城区第一学期期末高三数学(文科)统练试题及参考答案(word版)2016.1期末考试试题 东城区 2015-2016 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学(文科)上...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com