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基本计数原理和排列组合(概念复习及专题训练含答案)


高中数学综合复习

满分系列

第一章 一、 概念回顾:

计数原理

———基本计数原理和排列组合(概念篇)
(一)两个原理. 1. 加法原理 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中的具体方法,互不相 ... 同 ( 即分类不重 ) ;完成此任务的任何一种方法,都属于某

一类(即分类不漏) . . ..... . 2. 乘法原理 任何一步的一种方法都不能完成此任务 ,必须且只须连续完成这 才能完成此任务; ................. ..... n .步 . 各步计数相互独立 ;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同 .... 3. 可以有重复元素 的排列. .......
从 m 个不同元素中,每次取出 n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、 第二……第 n 位上选取元素的方法都是 m 个,所以从 m 个不同元素中,每次取出 n 个元素可重复排列数

m.m.m.....m ? m n 例如:n 件物品放入 m 个抽屉中, 不限放法, 共有多少种不同放法? (二)排列组合 1、排列
(1)排列数的计算:

(解:m 种)

n

从 n 个不同元素中取出 m(m ? n) 个元素排成一列,称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数,用符号 (2)排列数公式:
m An 表示.

A m ? n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) ?

n! ( m ? n, n, m ? N ) (n ? m)!

注意: n ? n! ? (n ? 1)!?n!

规定 0! ? 1

注:含有可重元素 的排列问题 ......
对含有相同元素求排列个数的方法是: 设重集 S 有 k 个不同元素 a1 , a2 ,...,an 其中限重复数为 n1、n2、 ...nk , 且 n ? n1 ? n2 ? ...nk , 则 S 的排列个数等于 n ?

n! . n1!n2 !...nk !

例如: 已知数字 3、 2、 2, 求其排列个数 n ? (1 ? 2)! ? 3 又例如: 数字 5、 5、 5、 求其排列个数?其排列个数 n ? 3! ? 1 . 3! 1!2!

2、组合
(1)组合数的计算: 从 n 个不同的元素中任取 m(m ? n) 个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. 从

n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数,用符号 C n 表示。
(2)排列数公式: : Cm n?

m

Am n(n ? 1)?(n ? m ? 1) n! n ? Cm n? m Am m! m!(n ? m)!

规定 C n ?C n ? 1
0 n

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1

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Cn (3)两个公式:①
二、基础训练:

m

n?m ? Cn

Cn ②

m?1

m m ? Cn ? Cn ?1

1.用 1,2,3,4,5 这五个数字组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( ) (A)24 个 (B)30 个 (C)40 个 (D)60 个 2.甲、乙、丙、丁四种不同的种子,在三块不同土地上试种,其中种子甲必须试种,那么不同的试种方法 共有( ) (A)12 种 (B)18 种 (C)24 种 (D)96 种 3.某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课,其中体育不排在第一节,那么这天上午课程表的不同 排法共有( ) (A)6 种 (B)9 种 (C)18 种 (D)24 种 4.由0,l,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的三位数中,奇数个数与偶数个数之比为 ( ) (A) l:l (B)2:3 (C) 12:13 (D) 21:23 5.由0,l,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数中,从小到大排列第86个数是 ( ) (A)42031 (B)42103 (C)42130 (D)43021 6.若直线方程 Ax ? By ? 0 的系数 A、B 可以从0,1,2,3,6,7六个数中取不同的数值,则这些方程 所表示的直线条数是
2 (A) A5 一2




2 (C) A5 +2 2 1 (D) A5 -2 A5

2 (B) A5

7.从 a, b, c, d , e 这五个元素中任取四个排成一列, b 不排在第二的不同排法有(
1 3 (A) A4 A5 1 2 (B) A3 A3 4 (C) A5
1 3 (D) A4 A4



8.三个女生和五个男生排成一排. (1)如果女生必须全排在一起,有多少种不同的排法? (2)如果女生必须全分开,有多少种不同的排法? (3)如果两端都不能排女生,有多少种不同的排法? (4)如果两端不能都排女生,有多少种不同的排法? (5)如果三个女生站在前排,五个男生站在后排,有多少种不同的排法? 9. 6 个人站一排,甲不在排头,共有 种不同排法. 10. 6 个人站一排,甲不在排头,乙不在排尾,共有 种不同排法. 11.五男二女排成一排,若男生甲必须排在排头或排尾,二女必须排在一起,不同的排法共有

种.

三、解题方法及训练:
解排列组合问题,首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成,对于元素之间的关系,还要考虑“是 有序”的还是“无序的” ,也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义,其次, 对一些复杂的带有附加条件的问题,需掌握以下几种常用的解题方法: 1、特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解 决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法。 例如:用 0、1、2、3、4 这 5 个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有________个 (30 个)
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2、插空法:解决一些不相邻问题时,可以先排一些元素然后插入其余元素,使问题得以解决。
例如:7 人站成一行,如果甲乙两人不相邻,则不同排法种数是______ (答案:3600)
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3、捆绑法:相邻元素的排列,可以采用“整体到局部”的排法,即将相邻的元素当成“一个”元素进行排 列,然后再局部排列。 例如:6 名同学坐成一排,其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种 (答案:240)
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4、排除法:从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法 排列组合应用题往往和数学其
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他章节某些知识联系,从而增加了问题的综合性,解答时,要注意使用相关知识对答案进行取舍。 例如:从集合 ?0,1,2,3,5,7,11 ?中任取 3 个元素分别作为直线方程 Ax ? By ? C ? 0 中的 A、B、C,所得的 经过坐标原点的直线有_________条 (答案:30)
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5、剪截法(隔板法) : n 个 相同小球放入 m(m ? n) 个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价
m?1 于 n 个相同小球串成一串从间隙里选 m ? 1 个结点剪成 m 段(插入 m ? 1 块隔板) ,有 Cn ?1 种方法
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练一练:
例 1 求不同的排法种数: (1)6 男 2 女排成一排,2 女相邻; (2)6 男 2 女排成一排,2 女不能相邻;

(3)4 男 4 女排成一排,同性者相邻; (4)4 男 4 女排成一排,同性者不能相邻.
2 7 解:(1)是“相邻”问题,用捆绑法解决: A2 A7
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(2)是 “不相邻”问题,可以用插空法直接求解.6 男先排实位,再在 7 个空位中排 2 女,即用插孔
6 2 法解决: A6 A7
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8 2 7 另法:用捆绑与剔除相结合: A8 ? A2 A7

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4 4 2 (3)是“相邻”问题,应先捆绑后排位: A4 A4 A2

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4 3 1 (4)是 “不相邻”问题,可以用插空法直接求解: A4 A4 A2

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真题训练:

2009 年
一、选择题 1.( 2009 广 东 卷 理 ) 2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四 人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能 从事这四项工作,则不同的选派方案共有 A. 36 种 B. 12 种
1 1

C. 18 种
3

D. 48 种
2 2

【解析】 分两类: 若小张或小赵入选, 则有选法 C2 C2 A3 ? 24 ; 若小张、 小赵都入选, 则有选法 A2 A3 ? 12 , 共有选法 36 种,选 A.

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4. ( 2009 北 京 卷 文 ) 用 数 字 1 , 2 , 3 , 4 , 5 组 成 的 无 重 复 数 字 的 四 位 偶 数 的 个 数 为 ( ) A.8 B.24 C.48 D.120 【答案】C 【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.
.w

1 2 和 4 排在末位时,共有 A2 ? 2 种排法, 3 其余三位数从余下的四个数中任取三个有 A4 ? 4 ? 3? 2 ? 24 种排法,

于是由分步计数原理,符合题意的偶数共有 2 ? 24 ? 48 (个).故选 C. 6. ( 2009 北 京 卷 理 ) 用 0 到 9 这 10 个 数 字 , 可 以 组 成 没 有 重 复 数 字 的 三 位 偶 数 的 个 数 为 ( ) A.324 B.328 C.360 D.648 【答案】B 【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识 . 属于基础知识、基本运算的 考查.
2 首先应考虑“0”是特殊元素,当 0 排在末位时,有 A9 , ? 9 ? 8 ? 72 (个) 1 1 1 当 0 不排在末位时,有 A4 , ? A8 ? A8 ? 4 ? 8 ? 8 ? 256 (个)

于是由分类计数原理,得符合题意的偶数共有 72 ? 256 ? 328 (个).故选 B. 7.(2009 全国卷Ⅱ文)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 (A)6 种 答案:C 解析:本题考查分类与分步原理及组合公式的运用,可先求出所有两人各选修 2 门的种数 C4 C4 =36,再 求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为 C 4 =6,故只恰好有 1 门相同的选法有 24 种 。 8.(2009 全国卷Ⅰ理)甲组有 5 名男同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组 中各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( D ) (A)150 种 (B)180 种 (C)300 种 (D)345 种
1 1 2 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有 C5 ? C3 ? C6 ? 225 种选法;
w.w. w.k.s.5. u.c.o. m

(B)12 种

(C)24 种

(D)30 种

2

2

2

2 1 1 (2) 乙组中选出一名女生有 C5 ? C6 ? C2 ? 120 种选法.故共有 345 种选法.选 D

10.(2009 湖北卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两 名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为

A.18
【答案】C

B.24

C .30

D.36

2 3 【解析】用间接法解答:四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 C4 ,顺序有 A3 种,而甲乙被分在同一

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3 2 3 3 个班的有 A3 种,所以种数是 C4 A3 ? A3 ? 30

12.(2009 四川卷文)2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两 位女生相邻,则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 【答案】B
2 2 【解析】解法一、从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A, (A 共有 C3 ,剩下一名女 A2 ? 6 种不同排法)

生记作 B,两名男生分别记作甲、乙;则男生甲必须在 A、B 之间(若甲在 A、B 两端。则为使 A、B 不相邻, 只有把男生乙排在 A、B 之间,此时就不能满足男生甲不在两端的要求)此时共有 6×2=12 种排法(A 左 B 右和 A 右 B 左)最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙,所以,共有 12×4=48 种不同排法。
2 2 解法二;同解法一,从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A, (A 共有 C3 ,剩下一名 A2 ? 6 种不同排法)

女生记作 B,两名男生分别记作甲、乙;为使男生甲不在两端可分三类情况: 第一类:女生 A、B 在两端,男生甲、乙在中间,共有 6 A2 A2 =24 种排法; 第二类: “捆绑”A 和男生乙在两端,则中间女生 B 和男生甲只有一种排法,此时共有 6 A2 =12 种排 法 第三类:女生 B 和男生乙在两端,同样中间“捆绑”A 和男生甲也只有一种排法。 此时共有 6 A2 =12 种排法 三类之和为 24+12+12=48 种。 13. (2009 全国卷Ⅱ理)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门。则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的 选法共有 A. 6 种 B. 12 种 C. 30 种 D. 36 种
w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

2

2

2

2

2 2 2 解:用间接法即可. C4 ? C4 ? C4 ? 30 种. 故选 C

14.(2009 辽宁卷理)从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都 有,则不同的组队方案共有 (A)70 种 (B) 80 种 (C) 100 种 (D)140 种 1 2 【解析】直接法:一男两女,有 C5 C4 =5×6=30 种,两男一女,有 C52C41=10×4=40 种,共计 70 种 间接法: 任意选取 C93=84 种,其中都是男医生有 C53=10 种,都是女医生有 C41=4 种,于是符合条件的 有 84-10-4=70 种. 【答案】A 15.(2009 湖北卷文)从 5 名志愿者中选派 4 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求 星期五有一人参加,星期六有两人参加,星期日有一人参加,则不同的选派方法共有 A.120 种 【答案】C
4 1 2 1 4 1 【解析】5 人中选 4 人则有 C5 种,周五一人有 C4 种,周六两人则有 C 3 ,周日则有 C1 种,故共有 C5 × C4 2 × C3 =60 种,故选 C

B.96 种

C.60 种

D.48 种

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16.(2009 湖南卷文)某地政府召集 5 家企业的负责人开会,其中甲企业有 2 人到会,其余 4 家企业各有 1 人到会,会上有 3 人发言,则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为【 B 】 A.14 B.16 C.20 D.48

3 2 1 解:由间接法得 C6 ? C2 ? C4 ? 20 ? 4 ? 16 ,故选 B.

17.(2009 全国卷Ⅰ文)甲组有 5 名男同学、3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学,若从甲、乙两组 中各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 (A)150 种 (B)180 种 (C)300 种 (D)345 种

【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题,基础题。
2 1 1 1 1 2 解:由题共有 C 5 C6 C 2 ? C5 C 3 C6 ? 345,故选择 D。

18.(2009 四川卷文)2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两 位女生相邻,则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 【答案】B
2 2 【解析】解法一、从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A, (A 共有 C3 ,剩下一名女 A2 ? 6 种不同排法)

生记作 B,两名男生分别记作甲、乙;则男生甲必须在 A、B 之间(若甲在 A、B 两端。则为使 A、B 不相邻, 只有把男生乙排在 A、B 之间,此时就不能满足男生甲不在两端的要求)此时共有 6×2=12 种排法(A 左 B 右和 A 右 B 左)最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙,所以,共有 12×4=48 种不同排法。
2 2 解法二;同解法一,从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A, (A 共有 C3 , A2 ? 6 种不同排法)

剩下一名女生记作 B,两名男生分别记作甲、乙;为使男生甲不在两端可分三类情况: 第一类:女生 A、B 在两端,男生甲、乙在中间,共有 6 A2 A2 =24 种排法; 第二类: “捆绑”A 和男生乙在两端,则中间女生 B 和男生甲只有一种排法,此时共有 6 A2 =12 种排 法 第三类:女生 B 和男生乙在两端,同样中间“捆绑”A 和男生甲也只有一种排法。 此时共有 6 A2 =12 种排法 三类之和为 24+12+12=48 种。 20.(2009 陕西卷文)从 1,2,3,4,5,6,7 这七个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字 的四位数,其中奇数的个数为 (A)432 (B)288 (C) 216 (D)108 答案:C.


2

2

2

2

1 解析:首先个位数字必须为奇数,从 1,3,5,7 四个中选择一个有 C4 种,再丛剩余 3 个奇数中选择一个,从 1 1 2 3 2,4,6 三个偶数中选择两个,进行十位,百位,千位三个位置的全排。则共有 C4 C3C3 A3 ? 216个 故选 C.
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

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21.(2009 湖南卷理)从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理,则甲、乙至少有 1 人入选,而丙没有入 选的不同选法的种数位 [ C]
w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

A 85 【答案】 :C

B 56

C 49

D 28

2 【解析】解析由条件可分为两类:一类是甲乙两人只去一个的选法有: C1 2 ? C7 ? 42 ,另一类是甲乙都去的 1 选法有 C2 2 ? C7 =7,所以共有 42+7=49,即选 C 项。

22.(2009 四川卷理)3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两 位女生相邻,则不同排法的种数是 A. 360 B. 188 C. 216 D. 96

【考点定位】本小题考查排列综合问题,基础题。
3 2 2 2 解析:6 位同学站成一排,3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有 A3 C 3 A4 A2 ? 332种,其中男生甲站 1 2 2 2 2 两端的有 A2 A2 C 3 A3 A2 ? 144,符合条件的排法故共有 188
2 2 2 1 1 2 2 2 2 解析 2:由题意有 2 A2 ? (C3 ? A2 ) ? C2 ? C3 ? A2 ? (C3 ? A2 ) ? A4 ? 188 ,选 B。

二、填空题

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

1.(2009 宁夏海南卷理)7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排 3 人,则 不同的安排方案共有________________种(用数字作答) 。
3 3 解析: C7 C4 ? 140 ,答案:140

7.(2009 天津卷理)用数字 0,1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的 数字之和为偶数的四位数共有 个(用数字作答) 【考点定位】本小题考查排列实际问题,基础题。
2 3 1 3 1 解析:个位、十位和百位上的数字为 3 个偶数的有: C 3 A3 C4 ? A3 C 3 ? 90种;个位、十位和百位上的数 2 3 1 1 2 3 1 字为 1 个偶数 2 个奇数的有: C 3 A3 C4 ? C 3 C 3 A3 C 3 ? 234种,所以共有 90 ? 234 ? 324 个。
1 5 9 C4 n?1 ? C4 n?1 ? C4 n?1 ? 4 n?1 24 n ?1 ? ? ?1? 22 n ?1 ? C4 n?1 ?
n

10.(2009 浙江卷理)甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的人不 区分站的位置,则不同的站法种数是 答案:336
3 1 2 【解析】对于 7 个台阶上每一个只站一人,则有 A7 种;若有一个台阶有 2 人,另一个是 1 人,则共有 C3 A7

(用数字作答) .

种,因此共有不同的站法种数是 336 种.

w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

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2010 年
(2010 全国卷 2 理数) (6)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 (A)12 种 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察排列组合知识,考察考生分析问题的能力. (B)18 种 (C)36 种 (D)54 种

【解析】标号 1,2 的卡片放入同一封信有

种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两个有



方法,共有

种,故选 B.

(2010 全国卷 2 文数) (9)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中,若每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 (A) 12 种 (B) 18 种 (C) 36 种 (D) 54 种

【解析】B:本题考查了排列组合的知识 ∵先从 3 个信封中选一个放 1,2 有 3 种不同的选法,再从剩下的 4 个数中选两个放一个信封有 下放入最后一个信封,∴共有
2 3C4 ? 18 2 C4 ? 6 ,余

(2010 重庆文数) (10)某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日(端午节假期)值班,每天安排 2 人,每人值班 1 天 . 若 6 位员工中的甲不值 14 日,乙不值 16 日,则不同的安排方法共有 (A)30 种 (B)36 种 (C)42 种 (D)48 种 解析:法一:所有排法减去甲值 14 日或乙值 16 日,再加上甲值 14 日且乙值 16 日的排法
[ 来源:Z。xx

2 2 1 2 1 1 即 C6 C4 ? 2 ? C5 C4 ? C4 C3 =42

法二:分两类
2 甲、乙同组,则只能排在 15 日,有 C4 =6 种排法 1 1 2 甲、乙不同组,有 C4 C3 ( A2 ?1) =36 种排法,故共有 42 种方法

(2010 重庆理数)(9)某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天 1 人,每人值班 1 天,若 7 位员工 中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不同的安排方案共有 A. 504 种 B. 960 种 C. 1008 种 D. 1108 种 解析:分两类:甲乙排 1、2 号或 6、7 号 共有 2 ? A2 A4 A4 种方法
2 1 4

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8

高中数学综合复习

满分系列

2 4 1 1 3 甲乙排中间,丙排 7 号或不排 7 号,共有 4 A2 ( A4 ? A3 A3 A3 ) 种方法

故共有 1008 种不同的排法 (2010 北京理数) (4)8 名学生和 2 位第师站成一排合影,2 位老师不相邻的排法种数为
8 2 (A) A8 A9 8 2 (B) A8 C9 8 2 (C) A8 A7 8 2 (D) A8 C7

答案:A (2010 四川理数) (10)由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 (A)72 (B)96 (C) 108 (D)144 解析:先选一个偶数字排个位,有 3 种选法
w_w_w.k*s 5*u.c o*m w_w_w.k*s 5*u.c o*m

2 2 ①若 5 在十位或十万位,则 1、3 有三个位置可排,3 A3 A2 =24 个 2 2 ②若 5 排在百位、千位或万位,则 1、3 只有两个位置可排,共 3 A2 A2 =12 个

算上个位偶数字的排法,共计 3(24+12)=108 个 答案:C

(2010 全国卷 1 理数)(6)某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门,一位同学从中共选 3 门.若要求两类 课程中各至少选一门,则不同的选法共有 (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种

(2010 四川文数) (9)由 1、2、3、4、5 组成没有重复数字且 1、2 都不与 5 相邻的五位数的个数是 (A)36 (B)32 (C)28 (D)24

2 2 解析:如果 5 在两端,则 1、2 有三个位置可选,排法为 2× A3 A2 =24 种 2 2 如果 5 不在两端,则 1、2 只有两个位置可选,3× A2 A2 =12 种

共计 12+24=36 种 答案:A
w_w w. k#s5_u.c o* m

(2010 浙江理数) (17)有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、 “台阶”五个项目的测试, 每位同学上、 下午各测试一个项目, 且不重复. 若上午不测“握力”项目, 下午不测“台

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阶”项目,其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有______________种(用数字作答). 解析:本题主要考察了排列与组合的相关知识点,突出对分类讨论思想和数学思维能力的考察,属较难题 (2010 全国卷 1 文数)(15)某学校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求 两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 种.(用数字作答) 15.

A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.
1 2 2 种情况:(1)A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有 C3 C4 种不同的

【解析 1】:可分以下

1 选法;(2)A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有 C32C4 种不同的选法.所以不同的选法共 1 2 2 1 有 C3 C4 + C3 C4 ? 18 ? 12 ? 30 种. 3 3 3 【解析 2】: C7 ? C3 ? C4 ? 30

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