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基本计数原理和排列组合(概念复习及专题训练含答案)


高中数学综合复习

满分系列

第一章 一、 概念回顾:

计数原理

———基本计数原理和排列组合(概念篇)
(一)两个原理. 1. 加法原理 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中的具体方法,互不相 ... 同 ( 即分类不重 ) ;完成此任务的任何一种方法,都属于某

一类(即分类不漏) . . ..... . 2. 乘法原理 任何一步的一种方法都不能完成此任务 ,必须且只须连续完成这 才能完成此任务; ................. ..... n .步 . 各步计数相互独立 ;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同 .... 3. 可以有重复元素 的排列. .......
从 m 个不同元素中,每次取出 n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、 第二……第 n 位上选取元素的方法都是 m 个,所以从 m 个不同元素中,每次取出 n 个元素可重复排列数

m.m.m.....m ? m n 例如:n 件物品放入 m 个抽屉中, 不限放法, 共有多少种不同放法? (二)排列组合 1、排列
(1)排列数的计算:

(解:m 种)

n

从 n 个不同元素中取出 m(m ? n) 个元素排成一列,称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数,用符号 (2)排列数公式:
m An 表示.

A m ? n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) ?

n! ( m ? n, n, m ? N ) (n ? m)!

注意: n ? n! ? (n ? 1)!?n!

规定 0! ? 1

注:含有可重元素 的排列问题 ......
对含有相同元素求排列个数的方法是: 设重集 S 有 k 个不同元素 a1 , a2 ,...,an 其中限重复数为 n1、n2、 ...nk , 且 n ? n1 ? n2 ? ...nk , 则 S 的排列个数等于 n ?

n! . n1!n2 !...nk !

例如: 已知数字 3、 2、 2, 求其排列个数 n ? (1 ? 2)! ? 3 又例如: 数字 5、 5、 5、 求其排列个数?其排列个数 n ? 3! ? 1 . 3! 1!2!

2、组合
(1)组合数的计算: 从 n 个不同的元素中任取 m(m ? n) 个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. 从

n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数,用符号 C n 表示。
(2)排列数公式: : Cm n?

m

Am n(n ? 1)?(n ? m ? 1) n! n ? Cm n? m Am m! m!(n ? m)!

规定 C n ?C n ? 1
0 n

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Cn (3)两个公式:①
二、基础训练:

m

n?m ? Cn

Cn ②

m?1

m m ? Cn ? Cn ?1

1.用 1,2,3,4,5 这五个数字组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( ) (A)24 个 (B)30 个 (C)40 个 (D)60 个 2.甲、乙、丙、丁四种不同的种子,在三块不同土地上试种,其中种子甲必须试种,那么不同的试种方法 共有( ) (A)12 种 (B)18 种 (C)24 种 (D)96 种 3.某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课,其中体育不排在第一节,那么这天上午课程表的不同 排法共有( ) (A)6 种 (B)9 种 (C)18 种 (D)24 种 4.由0,l,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的三位数中,奇数个数与偶数个数之比为 ( ) (A) l:l (B)2:3 (C) 12:13 (D) 21:23 5.由0,l,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数中,从小到大排列第86个数是 ( ) (A)42031 (B)42103 (C)42130 (D)43021 6.若直线方程 Ax ? By ? 0 的系数 A、B 可以从0,1,2,3,6,7六个数中取不同的数值,则这些方程 所表示的直线条数是
2 (A) A5 一2




2 (C) A5 +2 2 1 (D) A5 -2 A5

2 (B) A5

7.从 a, b, c, d , e 这五个元素中任取四个排成一列, b 不排在第二的不同排法有(
1 3 (A) A4 A5 1 2 (B) A3 A3 4 (C) A5
1 3 (D) A4 A4



8.三个女生和五个男生排成一排. (1)如果女生必须全排在一起,有多少种不同的排法? (2)如果女生必须全分开,有多少种不同的排法? (3)如果两端都不能排女生,有多少种不同的排法? (4)如果两端不能都排女生,有多少种不同的排法? (5)如果三个女生站在前排,五个男生站在后排,有多少种不同的排法? 9. 6 个人站一排,甲不在排头,共有 种不同排法. 10. 6 个人站一排,甲不在排头,乙不在排尾,共有 种不同排法. 11.五男二女排成一排,若男生甲必须排在排头或排尾,二女必须排在一起,不同的排法共有

种.

三、解题方法及训练:
解排列组合问题,首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成,对于元素之间的关系,还要考虑“是 有序”的还是“无序的” ,也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义,其次, 对一些复杂的带有附加条件的问题,需掌握以下几种常用的解题方法: 1、特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解 决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法。 例如:用 0、1、2、3、4 这 5 个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有________个 (30 个)
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2、插空法:解决一些不相邻问题时,可以先排一些元素然后插入其余元素,使问题得以解决。
例如:7 人站成一行,如果甲乙两人不相邻,则不同排法种数是______ (答案:3600)
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3、捆绑法:相邻元素的排列,可以采用“整体到局部”的排法,即将相邻的元素当成“一个”元素进行排 列,然后再局部排列。 例如:6 名同学坐成一排,其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种 (答案:240)
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4、排除法:从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法 排列组合应用题往往和数学其
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他章节某些知识联系,从而增加了问题的综合性,解答时,要注意使用相关知识对答案进行取舍。 例如:从集合 ?0,1,2,3,5,7,11 ?中任取 3 个元素分别作为直线方程 Ax ? By ? C ? 0 中的 A、B、C,所得的 经过坐标原点的直线有_________条 (答案:30)
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5、剪截法(隔板法) : n 个 相同小球放入 m(m ? n) 个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价
m?1 于 n 个相同小球串成一串从间隙里选 m ? 1 个结点剪成 m 段(插入 m ? 1 块隔板) ,有 Cn ?1 种方法
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练一练:
例 1 求不同的排法种数: (1)6 男 2 女排成一排,2 女相邻; (2)6 男 2 女排成一排,2 女不能相邻;

(3)4 男 4 女排成一排,同性者相邻; (4)4 男 4 女排成一排,同性者不能相邻.
2 7 解:(1)是“相邻”问题,用捆绑法解决: A2 A7
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