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理:圆锥曲线


上海 2013 届高三理科数学最新试题精选(13 份含 16 区二模)分类汇编 9: 圆锥曲线 姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、选择题

1.

错误!未指定书签。 (上海市奉贤区 2013 年高考二模数学(理)试题 )直线 x

r />? 2 与双曲

线C:

x2 ? y 2 ? 1 的 渐 近 线 交 于 A, B 两 点 , 设 P 为 双 曲 线 C 上 的 任 意 一 点 , 若 4

OP ? aOA ? bOB ( a, b ? R, O 为坐标原点),则下列不等式恒成立的是
(A) a ? b ? 2
2 2

B. a 2 ? b 2 ?

1 2
D. a ? b ?
2 2

C. a ? b ? 2
2 2

1 2

2.

(上海市长宁、嘉定区 2013 年高考二模数学(理)试题 )过点 P (1,1) 作直线与双曲线

x2 ?

y2 ?1 2 交于 A.B 两点,使点 P 为 AB 中点,则这样的直线





A.存在一条,且方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 B.存在无数条 C.存在两条,方程为

2 x ? ? y ? 1? ? 0

D.不存在

3.

(2013 年上海市高三七校联考 (理) ) 若抛物线

x 2 ? 2 py( p ? 0) 上不同三点的横坐标的平

方成等差数列,那么这三点 ( A.到原点的距离成等差数列 C.到 y 轴的距离成等差数列
二、填空题

) B.到 x 轴的距离成等差数列 D.到焦点的距离的平方成等差数列

4.

(上海徐汇、松江、金山区 2013 年高考二模理科数学试题)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 内有两 25 16

点 A ?1,3? , B ? 3, 0 ? , P 为椭圆上一点,则 PA ? PB 的最大值为____________.
5. (四区(静安杨浦青浦宝山)联考 2012 学年度第二学期高三(理) )已知双曲线的方程为

x2 ? y2 ? 1 3 ,则此双曲线的焦点到渐近线的距离为_____________.
6.
(上海市普陀区 2013 届高三第二学期(二模)质量调研数学(理)试题) 若双曲线

C:
7.

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 10 ,点 P(2,1) 在 C 的渐近线上,则 C 的方程为_________. a 2 b2

( 上 海 市 黄 浦 区 2013 年 高 考 二 模 理 科 数 学 试 题 ) 已 知 点 P( 2 , 是双曲线 ? 3)

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点,双曲线两个焦点间的距离等于 4,则该双曲线方程是 a 2 b2
___________.

x2 ? y2 ? 1 F F 8. (上海市虹口区 2013 年高考二模数学(理)试题 )设 1 、 2 是椭圆 4 的两个

焦点,点 P 在椭圆上,且满足

?F1 PF2 ?

?

2 ,则 ?F1 PF2 的面积等于____________.

x2 y2 ? ?1 6 9. (上海市虹口区 2013 年高考二模数学(理)试题 )已知双曲线与椭圆 16 有相

1 y?? x 2 ,则此双曲线方程为______________________. 同的焦点,且渐近线方程为
10. (上海市奉贤区 2013 年高考二模数学(理)试题 )椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的任 a2 b2

意一点 M ( 除短轴端点除外 ) 与短轴两个端点 B1 , B2 的连线交 x 轴于点 N 和 K , 则

ON ? OK 的最小值是_______
11. (上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学(理)试题)曲线 C 是平面内与两个定 点 F1(-1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于常数

a 2 (a ? 1) 的点的轨迹.给出下列三个结论:

① 曲线 C 过坐标原点; ② 曲线 C 关于坐标原点对称;

1 2 a ③若点 P 在曲线 C 上,则△F 1 PF 2 的面积大于 2 .
其中,所有正确结论的序号是_____________. 12. (上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学(理)试题)双曲线过 线夹角为 60 ,则双曲线的标准方程为______________.
?

( 3,3) ,且渐近

F2 分别为双曲线 13. (2013 年上海市高三七校联考 (理) ) 设 F1、

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0 ,t ? 0) 的 a 2 ta 2

左、 右焦点,过 F1 且倾斜角为 30? 的直线与双曲线的右支相交于点 P ,若 | PF2 |?| F1F2 | , 则 t ? _____________. 14. ( 2013 届浦东二模卷理科题) 若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3x , 它的一个焦点是

( 10 ,0) ,则双曲线的标准方程是____________.

15. (2013 届闵行高三二模模拟试卷(数学)理科)设双曲线 x ? y ? 6 的左右顶点分别为
2 2

A1 、 A2 , P 为双曲线右支上一点,且位于第一象限,直线 PA1 、 PA2 的斜率分别为 k1 、 k 2 ,则 k1 ? k2 的值为_____________.
三、解答题

16. (上海徐汇、松江、金山区 2013 年高考二模理科数学试题) 已知双曲线 C 的中心在原点, D ?1, 0 ? 是它的一个顶点, d ? (1, 2) 是它的一条渐近线 的一个方向向量.(1) 求双曲线 C 的方程; (2) 若过点( ?3, 0 )任意作一条直线与双曲线 C 交于 A, B 两点 ( A, B 都不同于点 D ), 求证: DA ? DB 为定值; (3)对于双曲线 ?:

? ?

??? ? ??? ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0, a ? b) , E 为它的右顶点, M , N 为双曲线? a 2 b2

上的两点(都不同于点 E ),且 EM ? EN ,那么直线 MN 是否过定点?若是,请求出此定 点的坐标;若不是,说明理由.然后在以下三个情形中选择一个,写出类似结论(不要求书 写求解或证明过程). 情形一:双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0, a ? b) 及它的左顶点; a 2 b2
2

情形二:抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 及它的顶点;

情形三:椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 及它的顶点. a 2 b2

17. (上海市闸北区 2013 届高三第二学期期中考试数学(理)试卷)本题满分 18 分,第 1 小题 满分 8 分,第 2 小题满分 10 分 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 曲 线 C1 为 到 定 点 F (

3 1 , ) 的距离与到定直线 2 2 l1 : 3x ? y ? 2 ? 0 的距离相等的动点 P 的轨迹,曲线 C 2 是由曲线 C1 绕坐标原点 O 按
?

顺时针方向旋转 30 形成的. (1)求曲线 C1 与坐标轴的交点坐标,以及曲线 C 2 的方程; (2)过定点 M 0 (m,0) (m ? 2) 的直线 l 2 交曲线 C 2 于 A 、 B 两点,已知曲线 C 2 上存在不 同的两点 C 、 D 关于直线 l 2 对称.问:弦长 CD 是否存在最大值?若存在,求其最大值; 若不存在,请说明理由.

18. (上海市十二校 2013 届高三第二学期联考数学(理)试题 )本题共有 3 个小题,第 1 小 题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的顶点和焦点分别是椭圆 E 的焦点和顶点 6 2

(1)求椭圆 E 的方程. (2)已知椭圆 E 上的定点 C ( x0 , y0 ) 关于坐标原点的对称点为 D,设点 P 是椭圆 E 上的任 意一点,若直线 CP 和 DP 的斜率都存在且不为零,试问直线 CP 和 DP 的斜率之积是定值吗? 若是,求出此定值;若不是,请说明理由. (3)对于椭圆 E 长轴上的某一点 S (s,0) (不含端点),过 S (s,0) 作动直线 L (不与 x 轴重 合)交椭圆 E 于 M、N 两点,若点 T (t ,0) 满足 OS ? OT ? 8 ,求证: ?MTS ? ?NTS . 19. (上海市普陀区 2013 届高三第二学期(二模)质量调研数学(理)试题) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分 ,第 3 小题满分 6 分. 在平面直角坐标系 xOy 中 , 方向向量为 d ? (1, k ) 的直线 l 经过椭圆 的右焦点 F ,与椭圆相交于 A 、 B 两点 (1)若点 A 在 x 轴的上方,且 | OA |?| OF | ,求直线 l 的方程; (2)若 k ? 0 , P(6,0) 且△ PAB 的面积为 6 ,求 k 的值;

??? ? ??? ?

x2 y2 ? ?1 18 9

(3)当 k ( k ? 0 )变化时,是否存在一点 C ( x 0 ,0) ,使得直线 AC 和 BC 的斜率之和为 0 , 若存在,求出 x 0 的值;若不存在,请说明理由.

y

O

F

x

第 22 题

20. (上海市黄浦区 2013 年高考二模理科数学试题)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 设抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,经过点 F 的动直线 l 交抛物线 C 于点
2

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 且 y1 y2 ? ?4 .
(1)求抛物线 C 的方程; (2)若 OE ? 2(OA ? OB) ( O 为坐标原点),且点 E 在抛物线 C 上,求直线 l 倾斜角; (3)若点 M 是抛物线 C 的准线上的一点,直线 MF , MA, MB 的斜率分别为 k0 , k1 , k2 .求 证: 当 k 0 为定值时, k1 ? k2 也为定值.

??? ?

??? ? ??? ?

21. (上海市虹口区 2013 年高考二模数学(理)试题 )已知抛物线 C : y ? 2 px ( p ? 0) ,
2

直线 l 交此抛物线于不同的两个点 A( x1 , (1)当直线 l 过点 M ( p,

y1 ) 、 B( x2 ,

y2 ) .

0) 时,证明 y1 ? y 2 为定值;

(2)当 y1 y 2 ? ? p 时,直线 l 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明 理由; (3)如果直线 l 过点 M ( p,

0) ,过点 M 再作一条与直线 l 垂直的直线 l ? 交抛物线 C 于

两个不同点 D 、 E .设线段 AB 的中点为 P ,线段 DE 的中点为 Q ,记线段 PQ 的中点为

N .问是否存在一条直线和一个定点,使得点 N 到它们的距离相等?若存在,求出这条
直线和这个定点;若不存在,请说明理由. 22. (上海市奉贤区 2013 年高考二模数学(理)试题 )动圆 C 过定点 F ?

?p ? ,0 ? ,且与直线 ?2 ?

x??

(1)求 F ?x, y ? ? 0 ;

p 相切,其中 p ? 0 .设圆心 C 的轨迹 ? 的程为 F ?x, y ? ? 0 2

(2)曲线 ? 上的一定点 P?x0 , y 0 ? ( y 0 ? 0) ,方向向量 d ? ? y 0 ,? p ? 的直线 l (不过 P 点) 与曲线 ? 交与 A、B 两点,设直线 PA、PB 斜率分别为 k PA , k PB ,计算 k PA ? k PB ; ? ? ,分别过点 P , Q 作倾斜角互补的两 (3)曲线 ? 上的两个定点 P0 ?x0 , y 0 ? 、 Q0 ? ? x0 , y 0 ? ? 0 0 ? ? 条直线 P0 M , Q0 N 分别与曲线 ? 交于 M , N 两点,求证直线 MN 的斜率为定值;

23. (上海市长宁、嘉定区 2013 年高考二模数学(理)试题 )(本题满分 18 分,第 1 小题满 分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题满分 6 分) 如图,已知点 F (0 , 1) ,直线 m : y ? ?1 , P 为平面上的动点,过点 P 作 m 的垂线,垂足 为点 Q ,且 QP ? QF ? FP ? FQ . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)(理)过轨迹 C 的准线与 y 轴的交点 M 作直线 m? 与轨迹 C 交于不同两点 A 、 B ,且 线段 AB 的垂直平分线与 y 轴的交点为 D (0 , y 0 ) ,求 y0 的取值范围; (3)(理)对于(2)中的点 A 、 B ,在 y 轴上是否存在一点 D ,使得△ ABD 为等边三角形?
y F O x

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

m
若存在,求出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由. 24. (上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学(理)试题)(本题满分 14 分;第(1) 小题 6 分,第(2)小题 8 分)

已知椭圆 C 以 F1 ? ?2, 0 ? , F2 ? 2, 0 ? 为焦点且经过点 P(? , ) , (1)求椭圆 C 的方程;

5 3 2 2

(2) 已 知 直 线 l 过 点 P , 且 直 线 l 的 一 个 方 向 向 量 为 m ? ? 3,3? . 一 组 直 线

??

l1 , l 2 , ? l,n ? , l ,n2 ( n ? N * )都与直线 l 平行且与椭圆 C 均有交点,他们到直线 l 的距离
依次为 d , 2d ,?, nd ,?, 2nd (d ? 0) ,直线 l n 恰好过椭圆 C 的中心,试用 n 表示 d 的关 系式,并求出直线 li ? i ? 1, 2,? , 2n ? 的方程.(用 n 、 i 表示)

25. (2013 年上海市高三七校联考(理) )本题共有 2 小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满 分 7 分. 如图,已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,过点 P(2, 0) 且斜率为 k1 的直线交抛物线于
2

A( x1, y1 ) , B( x2, y2 ) 两点,直线 AF、 BF 分别与抛物线交于点 M、 N. ??? ? ??? ? (1)证明 OA ? OB 的值与 k1 无关,并用 y1,y2 表示 k1 ; k (2)记直线 MN 的斜率为 k 2 ,证明 1 为定值. k2
y N 0 M B
第 21 题图

A

F

P

x

26. (2013 届浦东二模卷理科题)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 8 分.

x2 y2 9 y2 2 C ? ? 1 9 x ? ? 1 有相同的焦点 F1、F2 , M 是 与双曲线 : 2 8 a2 b2 椭圆 C1 与双曲线 C2 的公共点,且 ?MF1F2 的周长为 6 ,求椭圆 C1 的方程;
(1) 设椭圆 C1 : 我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”. (2)如图,已知“盾圆 D ”的方程为 y ? ?
2

的任意一点 M 到 F ? 1, 0 ? 的距离为 d1 , M 到直线 l : x ? 3 的距离为 d 2 ,求证: d1 ? d 2 为定值;

(0 ? x ? 3) ? 4x .设“盾圆 D ”上 ? ? 12 ( x ? 4) (3 ? x ? 4)

y

o

3

x

(3) 由 抛 物 线 弧 E1 : y ? 4 x ( 0 ? x ?
2

2 ) 与 第 (1) 小 题 椭 圆 弧 3

x2 y2 2 ? 2 ? 1 ( ? x ? a )所合成的封闭曲线为“盾圆 E ”.设过点 F ? 1, 0 ? 的直 2 3 a b 线与“盾圆 E ”交于 A、B 两点 , | FA |? r1 , | FB |? r2 且 ?AFx ? ? ( 0 ? ? ? ? ), 试 r 用 cos? 表示 r1 ;并求 1 的取值范围. r2

E2 :

27. (2013 届闵行高三二模模拟试卷(数学)理科)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分, 第(2)小题满分 8 分. 已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O , 焦点在坐标轴上 , 且经过 M (2,1)、N (2 2, 0) 两 点, P 是 E 上的动点. (1)求 OP 的最大值; (2)若平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 b(b ? 0) ,直线 l 交椭圆 E 于两个不同点

A、B ,求证:直线 MA 与直线 MB 的倾斜角互补.
解:

上海 2013 届高三理科数学最新试题精选(13 份含 16 区二模)分类汇编 9:圆锥曲线参考 答案 一、选择题

1. 2. 3. 4. 5. 6.

错误!未找到引用源。

B

D 错误!未找到引用源。 B
错误!未找到引用源。 二、填空题

15 错误!未找到引用源。 1 ;
错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

x2 y2 ? ?1 20 5 x2 ?
1;

7. 8. 9.

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

y2 ?1 3

x2 y2 ? ? 1; 8 2

10. 错误!未找到引用源。 2a 11. 错误!未找到引用源。 ② 12. 错误!未找到引用源。

y2 x2 ? ?1 8 24

13. 错误!未找到引用源。

3 2
2

14. 错误!未找到引用源。 x ? 15. 错误!未找到引用源。
三、解答题

y2 ?1 9

1;

16. 错误!未找到引用源。本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题有三个问题情形,每位考生只能选择一个作答,若多答,只对所答情形中最前面的一 个记分,情形一、二、三满分依次为 5 分、7 分、8 分. 解:(1)设双曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,则 a ? 1 , a 2 b2



y2 b ?1 ? 2 ,得 b ? 2 ,所以,双曲线 C 的方程为 x 2 ? 2 a

(2) 当直线 AB 垂直于 x 轴时,其方程为 x ? ?3 , A, B 的坐标为( ?3 , 4 )、( ?3 , ?4 ),

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? DA ? (?4, 4), DB ? (?4, ?4) ,得 DA ? DB =0

当直线 AB 不与 x 轴垂直时,设此直线方程为 y ? k ( x ? 3) ,由 ?

? y ? k ( x ? 3)
2 2 ?2 x ? y ? 2



(2 ? k 2 ) x 2 ? 6k 2 x ? 9k 2 ? 2 ? 0 .
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

6k 2 ?9k 2 ? 2 , , x ? x ? 1 2 2 ? k2 2 ? k2
2

故 DA ? DB ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? k ( x1 ? 3)( x2 ? 3)

??? ? ??? ?

? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (3k 2 ? 1)( x1 ? x2 ) ? 9k 2 ? 1

? (k 2 ? 1)

??? ? ??? ? ?9k 2 ? 2 6k 2 2 2 + + 9k ? 1 =0 . 综上, DA ? DB =0 为定值 (3 k ? 1) 2 2 2?k 2?k

(3) 当 M , N 满足 EM ? EN 时 , 取 M , N 关于 x 轴的对称点 M ? 、 N ? , 由对称性知

EM ? ? EN ? ,此时 MN 与 M ? N ? 所在直线关于 x 轴对称,若直线 MN 过定点,则定点
必在 x 轴上 设直线 MN 的方程为: x ? my ? t , 由?

? x ? my ? t
2 2 2 2 2 2 ?b x ? a y ? a b

,得 (b m ? a ) y ? 2b mty ? b (t ? a ) ? 0
2 2 2 2 2 2 2 2

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?

?2b2 mt b 2 (t 2 ? a 2 ) y y ? , , 1 2 b2 m2 ? a 2 b2 m2 ? a 2

由 EM ? EN ,得 ( x1 ? a)( x2 ? a) ? y1 y2 ? 0 , (my1 ? t ? a)(my2 ? t ? a) ? y1 y2 ? 0 , 即 (1 ? m ) y1 y2 ? m(t ? a)( y1 ? y2 ) ? (t ? a) ? 0 ,
2 2

(1 ? m2 )

b2 (t 2 ? a 2 ) 2b 2 mt ? m ( t ? a ) ? (t ? a) 2 ? 0 , 2 2 2 2 2 2 b m ?a b m ?a a(a 2 ? b 2 ) 或 t ? a (舍), a 2 ? b2 a (a 2 ? b 2 ) ,0) a 2 ? b2

化简得, t ?

所以,直线 MN 过定点(

情形一:在双曲线? :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0, a ? b) 中,若 E? 为它的左顶点, M , N 为 a 2 b2

双 曲 线 ? 上 的 两 点 ( 都 不 同 于 点 E? ), 且 E?M ? E?N , 则 直 线 MN 过 定 点

(?

a(a 2 ? b 2 ) ,0) a 2 ? b2
2

情形二:在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 中,若 M , N 为抛物线上的两点(都不同于原点 O ), 且 OM ? ON ,则直线 MN 过定点 (2 p,0)

情形三:(1)在椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中,若 E 为它的右顶点, M , N 为椭圆上的两 a 2 b2 a (a 2 ? b 2 ) ,0); a 2 ? b2

点(都不同于点 E ), 且 EM ? EN ,则直线 MN 过定点(

(2) 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中 , 若 E? 为它的左顶点 , M , N 为椭圆上的两点 ( 都 a 2 b2 a (b 2 ? a 2 ) ,0) ; a 2 ? b2

不同于点 E? ),且 E?M ? E?N ,则直线 MN 过定点(

x2 y 2 (3)在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 中,若 F 为它的上顶点, M , N 为椭圆上的两点(都不 a b
同于点 F ), 且 FM ? FN ,则直线 MN 过定点(0,

b(b 2 ? a 2 ) ); a 2 ? b2

(4) 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中 , 若 F ? 为它的下顶点 , M , N 为椭圆上的两点 ( 都 a 2 b2

b( a 2 ? b 2 ) 不同于点 F ? ), 且 F ?M ? F ?N ,则直线 MN 过定点(0, ) a 2 ? b2

17. 错误!未找到引用源。解:(1)设 P( x, y ) ,由题意,可知曲线 C1 为抛物线,并且有

(x ?

3 2 1 1 ) ? ( y ? )2 ? 2 2 2
2

3x ? y ? 2 ,
2

化简,得抛物线 C1 的方程为: x ? 3 y ? 2 3xy ? 8 3x ? 8 y ? 0 . 令 x ? 0 ,得 y ? 0 或 y ?

8 , 3

令 y ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 8 3 ,

所以,曲线 C1 与坐标轴的交点坐标为 ?0,0 ? 和 ? 0, ? , (8 3 ,0) . 由题意可知,曲线 C1 为抛物线,过焦点与准线垂直的直线过原点,

? 8? ? 3?

点 F(

3 1 , ) 到 l1 : y ? ? 3 x ? 2 的距离为 2 2

3?

? ?

3 1 ? ?2 2 2 ? 2. 2 2 3 ?1
2

所以 C 2 是以 ?1,0 ? 为焦点,以 x ? ?1 为准线的抛物线,其方程为: y ? 4 x . (2)设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y 2 ) ,由题意知直线 l 2 的斜率 k 存在且不为零,设直线 l 2 的方程 为 y ? k ( x ? m) ,则直线 CD 的方程为 y ? ?

1 x?b, k

1 ? ? y ? ? x ? b, 2 则? 得 y ? 4ky ? 4kb ? 0 , k ? y 2 ? 4 x. ?
所以 ? ? 16k (k ? b) ? 0 ①

y1 ? y 2 ? ?4k , y1 ? y 2 ? ?4kb,
设弦 CD 的中点为 G( x3 , y3 ) ,则

y3 ? ?2k , x3 ? k (b ? 2k ).
因为 G( x3 , y3 ) 在直线 l 2 上,所以

? 2k ? k (bk ? 2k 2 ? m) ,即 b ?
将②代入①,得 0 ? k ? m ? 2 ,
2

m ? 2 ? 2k 2 k



CD ? 1 ? ?? k ?
2

2

m ? 3 ? ? m ?1? ? ? y1 ? y 2 ? 1 ? k ? ( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 ? 4 ? ? k 2 ? ? ?? ? 2 ? ? 2 ? ?
2 2

2

2

设 t ? k ,则 0 ? t ? m ? 2 .

? m ? 3 ? ? m ?1? 构造函数 f (t ) ? 4 ? ? t ? ? ?? ? , 0 ? t ? m ? 2. 2 ? ? 2 ? ?

2

2

由已知 m ? 2 ,当 ? 最大值.

?m ? 2 ? 0, ,即 2 ? m ? 3 时, f (t ) 无最大值,所以弦长 CD 不存在 ?m ? 3 ? 0

当 m ? 3 时, f (t ) 有最大值 2(m ? 1) ,即弦长 CD 有最大值 2(m ? 1).

18. 错



















x2 y 2 解: ( 1)设椭圆E方程为 2 ? 2 ? 1 , a ? b ? 0, 则a 2 ? 6 ? 2 ? 8,c 2 ? 6. a b ? 椭圆E方程为 x2 y 2 ? ? 1. 8 2

(2)由题意得 D 点的坐标为 (? x0 , ? y0 ) ,显然 D 点在椭圆 E 上 由题意知直线 CP 和 DP 的斜率 KCP 和 KDP 均存在且不等于 0,设 P(x,y),

由于 kMT ? ? k NT ?

y1 ? 0 y2 ? 0 k ( x1 ? s) k ( x2 ? s) ? ? ? x1 ? t x2 ? t x1 ? t x2 ? t

?

k ( x1 ? t )( x2 ? s) ? k ( x2 ? t )( x1 ? s) k[2 x1 x2 ? ( s ? t )( x1 ? x2 ) ? 2st ] ? ( x1 ? t )( x2 ? t ) ( x1 ? t )( x2 ? t )
化简得 K MT ? K NT ? 0 , 所以 ?MTS ? ?NTS

由于 st ? 8

综合以上得 ?MTS ? ?NTS

证明完毕
2 2

19. 错误!未找到引用源。 【解】 (1)由题意 a ? 18 , b ? 9 得 c ? 3 ,所以 F (3,0)

| OA |?| OF | 且点 A 在 x 轴的上方,得 A(0,3)

k ? ?1, d ? (1,?1)
直线 l :

x?3 y ?0 ,即直线 l 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 ? 1 ?1

(2)设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) ,直线 l : y ? k ( x ? 3)

? x2 y2 ?1 ? ? 2 2 2 将直线与椭圆方程联立 ?18 , 消去 x 得, (1 ? 2k ) y ? 6ky ? 9k ? 0 9 ? y ? k ( x ? 3) ?

6k ? y1 ? y2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ? ? 0 恒成立, ? 2 ? y ? y ? ? 9k ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
| y1 ? y2 |? 6 | k | 2(1 ? k 2 ) 6k 2(1 ? k 2 ) ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 6k 2(1 ? k 2 ) 1 1 ? ? | PF | ? | y1 ? y2 |? ? 3 ? ?6 2 2 1 ? 2k 2
2

所以 S ?PAB
4

化简得 k ? k ? 2 ? 0 ,由于 k ? 0 ,解得 k ? 1 (3)假设存在这样的点 C ( x 0 ,0) ,使得直线 AC 和 BC 的斜率之和为 0,由题意得,直线

l

:

y ? k ( x ? 3)

(

k ?0

)

? x2 y2 ?1 ? ? ? 18 9 ? y ? k ( x ? 3) ?





y



(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 12 k 2 x ? 18(k 2 ? 1) ? 0

? 12 k 2 x ? x ? 2 ? ? 1 1 ? 2k 2 ? ? 0 恒成立, ? 2 ? x ? x ? 18( k ? 1) 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
k AD ? k BD ? y2 y1 ? x1 ? x0 x 2 ? x 0

k AD ?

y1 y2 , k BD ? , x1 ? x 0 x 2 ? x0

?

k ( x1 ? 3) k ( x 2 ? 3) k ( x1 ? 3)( x 2 ? x0 ) ? k ( x 2 ? 3)( x1 ? x0 ) ? ? ?0 x1 ? x0 x 2 ? x0 ( x1 ? x0 )( x 2 ? x0 )

所以 2kx1 x2 ? k ( x0 ? 3)( x1 ? x2 ) ? 6kx0 ? 0 ,

36 k (k 2 ? 1) 12 k 3 ( x0 ? 3) ? ? 6kx0 ? 0 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
解得 x0 ? 6 ,所以存在一点 (6,0) ,使得直线 AC 和 BC 的斜率之和为 0 20. 错误! 未找到引用源。 【解析】 ⑴根据题意可知: F ( 则:

p p , 0) ,设直线 l 的方程为: x ? ky ? , 2 2

p ? ? x ? ky ? 联立方程: ? 2 ,消去 x 可得: y 2 ? 2 pky ? p 2 ? 0 (*), ? y 2 ? 2 px ?
根据韦达定理可得: y1 y2 ? ? p 2 ? ?4 ,∴ p ? 2 ,∴ C : y ? 4 x
2

⑵设 E ( x0 , y0 ) ,则: ? ∴ y0 ? 8k ,

? x0 ? 2( x1 ? x2 ) ,由(*)式可得: y1 ? y2 ? 2 pk ? 4k ? y0 ? 2( y1 ? y2 )

p ? x1 ? ky1 ? ? ? 2 又? ,∴ x1 ? x2 ? k ( y1 ? y2 ) ? p ? 2 pk 2 ? p ? 4k 2 ? 2 p ? x ? ky ? 2 2 ? ? 2
∴ x0 ? 8k 2 ? 4
2 ∵ y0 ? 4 x0 ,∴ 64k 2 ? 4(8k 2 ? 4) ,∴ 2k 2 ? 1 ,∴ k ? ?

2 2

∴直线 l 的斜率 kl ?

1 ? tan ? ? ? 2 ,∴倾斜角为 arctan 2 或 ? ? arctan 2 k

⑶可以验证该定值为 2k0 ,证明如下: 设 M (?1, yM ) ,则: k0 ?

y ? yM y ? yM ? yM , k1 ? 1 , k2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 2

∵?

? x1 ? ky1 ? 1 ? x1 ? 1 ? ky1 ? 2 ,∴ ? ? x2 ? ky2 ? 1 ? x2 ? 1 ? ky2 ? 2
y1 ? yM y2 ? yM y1 ? yM y2 ? yM ? ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ky1 ? 2 ky2 ? 2

∴ k1 ? k2 ?

?

( y1 ? yM )(ky2 ? 2) ? ( y2 ? yM )(ky1 ? 2) (ky1 ? 2)(ky2 ? 2)

?

2ky1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? yM (k ( y1 ? y2 ) ? 4) k 2 y1 y2 ? 2k ( y1 ? y2 ) ? 4

?

?8k ? 8k ? yM (4k 2 ? 4) ? ? yM ?4k 2 ? 8k 2 ? 4

∴ k1 ? k2 ? 2k0 为定值

21. 错误!未找到引用源。解:(1) l 过点 M ( p, 由?

0) 与抛物线有两个交点,设 l : x ? my ? p ,
2

? x ? my ? p ? y ? 2 px
2

得 y ? 2 pmy ? 2 p ? 0 ,? y1 ? y 2 ? ?2 p
2 2

(2)当直线 l 的斜率存在时,设 l : y ? kx ? b ,其中 k ? 0 (若 k ? 0 时不合题意). 由?

?y ? kx? b ? y ? 2 px
2

得 ky ? 2 py ? 2 pb ? 0 .? y1 y 2 ?
2

2 pb k ? ? p ,从而 b ? ? 2 k

1 ? k 1 1 ?x ? 从而 y ? k x ? ,得 ( x ? )k ? y ? 0 ,即 ? 2 ,即过定点 ( , 0) 2 2 2 ? ?y ? 0
当 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 , 设 l : x ? x0 , 代 入

y 2 ? 2 px 得

y 2 ? 2 px0 , y ? ? 2 px0 , ? y1 y 2 ? 2 px0 ? (? 2 px0 ) ? ?2 px0 ? ? p , 从 而

x0 ?

1 1 1 ,即 l : x ? ,也过 ( , 0) . 2 2 2

综上所述,当 y1 y 2 ? ? p 时,直线 l 过定点 ( ,

1 2

0)

(3) 依 题 意 直 线 l 的 斜 率 存 在 且 不 为 零 , 由 (1) 得 点 P 的 纵 坐 标 为

yP ?

1 ( y1 ? y 2 ) ? pm 2
pm) .

,





l : x ? my ? p



x P ? pm2 ? p

,



P( pm2 ? p,

由于 l ? 与 l 互相垂直,将点 P 中的 m 用 ?

1 p p 代,得 Q( 2 ? p, ? ) m m m

设 N ( x,

1 p ? x ? ( 2 ? p ? pm 2 ? p) ? p ? 2 m 消 m 得 y 2 ? ( x ? 2 p) y ) ,则 ? 2 ? y ? 1 ( pm ? p ) ? 2 m ?

由抛物线的定义知存在直线 x ?

15 p 17 p ,点 ( , 0) ,点 N 到它们的距离相等 8 8

22. 解(1.)过点 C 作直线 x ? ? 定点 F 与定直线 x ? ?

p 的垂线,垂足为 N ,由题意知: CF ? CN ,即动点 C 到 2

p 的距离相等,由抛物线的定义知,点 C 的轨迹为抛物线, 2

p 2 p ? 其中 F ? ? ,0 ? 为焦点, x ? ? 2 为准线,所以轨迹方程为 y ? 2 px? p ? 0? ; ?2 ?
(2)证明:设 A( x1 , y1 )、B( x 2 , y 2 ) 过不过点 P 的直线方程为 y ? ?

p x?b y0

? y 2 ? 2 px 2 由? ? y ? ? p x ? b 得 y ? 2 y0 y ? 2 y0 b ? 0 ? y0 ?
则 y1 ? y 2 ? ?2 y 0 ,

k AP ? k BP ?

y1 ? y 0 y 2 ? y 0 y ? y0 y ? y0 2p 2p ? ? ? 22 = 21 = 2 2 x1 ? x0 x 2 ? x0 y1 y y 2 y 0 y1 ? y 0 y 2 ? y 0 ? 0 ? 2p 2p 2p 2p

=

2 p( y1 ? y 2 ? 2 y 0 ) =0 ( y1 ? y 0 )( y 2 ? y 0 )

(3)设 M ?x1 , y1 ? , N ?x2 , y 2 ?

k MN ?

y 2 ? y1 y ? y 2p 1 = = 2 2 x 2 ? x1 y 2 y12 y1 ? y 2
2p ? 2p

(***)

设 MP 的 直 线 方 程 为 为 y ? y 0 ? k ?x ? x0 ? 与 曲 线 y ? 2 px 的 交 点
2

P0 ?x0 , y 0 ?, M ?x1 , y1 ?
由? ?
y 2 ? 2 px

? y ? y 0 ? k ( x ? x0 )

, y2 ?

2 py0 2p y? ? 2 px0 ? 0 的两根为 y 0 , y1 k k

2p ? y0 k 2p 2p ? ? 同理 y 0 ? y 2 ? ,得 y 2 ? ? ? y0 ?k k
则 y 0 ? y1 ?

2p k

? y1 ?

? 代入(***)计算 y1 ? y 2 ? ?? ? y0 ? y0 ? ? ? ?
? k MN ? ? 2p y0 ? y0 ?

23. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题满分 6 分) 解:(1)设 P ( x , y ) ,由题意, Q ( x , ? 1) , QP ? (0 , y ? 1) , QF ? (? x , 2) ,

FP ? ( x , y ? 1) , FQ ? ( x , ? 2) ,
由 QP ? QF ? FP ? FQ ,得 2( y ? 1) ? x ? 2( y ? 1) ,
2

化简得 x ? 4 y .所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 x ? 4 y
2 2

(2)轨迹 C 为抛物线,准线方程为 y ? ?1 , 即直线 m ,所以 M (0 , ? 1) , 设直线 m ? 的方程为 y ? kx ? 1 ( k ? 0 ),由 ? 由△ ? 16k 2 ? 16 ? 0 ,得 k 2 ? 1 设 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? 4k , 所以线段 AB 的中点为 (2k , 2k ? 1) ,
2

? y ? kx ? 1 ,
2 ?x ? 4 y ,

得 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 ,

所以线段 AB 垂直平分线的方程为 ( x ? 2k ) ? k[ y ? (2k ? 1)] ? 0 ,
2

令 x ? 0 ,得 y 0 ? 2k 2 ? 1 因为 k 2 ? 1 ,所以 y 0 ? (3 , ? ?)

(3)由(2), x1 ? x 2 ? 4k , x1 x 2 ? 4 ,所以 | AB |?

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

? (1 ? k 2 )( x1 ? x 2 ) 2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? (1 ? k 2 )(16k 2 ? 16) ? 4 (k 2 ? 1)(k 2 ? 1)
假设存在点 D (0 , y 0 ) ,使得△ ABD 为等边三角形, 则 D 到直线 AB 的距离 d ?

3 | AB | 2

因为 D (0 , 2k ? 1) ,所以 d ?
2

| y0 ? 1 | 1? k
2
2

?

2(k 2 ? 1) k ?1
2

? 2 k 2 ?1 ,
4 3

所以 2 k ? 1 ? 2 3 k ? 1 ? k ? 1 ,解得 k 2 ?
2 2

所以,存在点 D? 0 , 24. 解:

? ?

11 ? ? ,使得△ ABD 为等边三角形 3?

5 3 x? y? 2 ? x? y?4?0 (2)? 直线l的方程为: 2 ? 3 3
直线 l n // l 且过椭圆 C 的中心,?直线 l n 的方程为: x ? y ? 0 由题意知:直线 l n 到 l 的距离为 nd ,即:

4 2

? nd ? d ?

2 2 n

?d ?

2 2 , n? N* n

?

?

设直线 li (i ? 1,2,?,2n) 的方程为: x ? y ? ci ? 0 ,

直线 li (i ? 1,2,?,2n) 与椭圆 C :
2 2

x2 y2 ? ? 1 有交点, 10 6
2 2

消去 y ,得 8 x ? 10 ci x ? 5ci ? 30 ? 0 , ? ? 100 ci ? 32 (5ci ? 30 ) ? 0

? ?4 ? ci ? 4

25. 证明:(1)依题意,设直线 AB 的方程为 x ? my ? 2 将其代入 y ? 4 x ,消去 x ,整理得 y ? 4my ? 8 ? 0
2 2

从而 y1 y2 ? ?8 .于是 x1 x2 ?

2 y12 y2 64 ? ? ?4 4 4 16

∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 4 ? 8 ? ?4 与 k1 无关, 又 k1 ?

??? ? ??? ?

y1 ? y2 y1 ? y2 4 ? 2 ? 2 y1 y2 x1 ? x2 y1 ? y2 ? 4 4

y3 ) , N ( x4, y4 ) . (2)证明:设 M ( x3,



k1 y1 ? y2 x3 ? x4 y ?y ? ? ? 21 2 2 k2 x1 ? x2 y3 ? y4 y1 y ? 2 4 4

y32 y4 2 ? 4 4 ? y3 ? y4 ? y3 ? y4 y1 ? y2
2

设直线 AM 的方程为 x ? ny ? 1 ,将其代入 y ? 4 x ,消去 x , 整理得 y ? 4ny ? 4 ? 0
2

∴ y1 y3 ? ?4 . 同理可得 y2 y4 ? ?4

?4 ?4 ? k1 y3 ? y4 y1 y2 ?4 1 ? ? ? ? 故 k2 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 y2 2
由(1)知, y1 y2 ? ?8 ,∴

k1 1 ? 为定值 k2 2

26. 解:(1)由 ?MF1F2 的周长为 6 得 a ? c ? 3 ,

9 y2 椭圆 C1 与双曲线 C2 : 9 x ? ? 1 有相同的焦点,所以 c ? 1 , 8
2

即 a ? 2,b ? a ? c ? 3 ,
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 椭圆 C1 的方程; 4 3

(2)证明:设“盾圆 D ”上的任意一点 M 的坐标为 ( x, y ) , d 2 ?| x ? 3 |
2 当 M ? C1 时, y ? 4 x (0 ? x ? 3) , d1 ?

( x ? 1) 2 ? y 2 ?| x ? 1 | ,

即 d1 ? d 2 ?| x ? 1 | ? | x ? 3 |? ( x ? 1) ? (3 ? x) ? 4 ;
2 当 M ? C2 时, y ? ?12( x ? 4) (3 ? x ? 4) , d1 ?

( x ? 1) 2 ? y 2 ?| 7 ? x | ,

即 d1 ? d 2 ?| 7 ? x | ? | x ? 3 |? (7 ? x) ? ( x ? 3) ? 4 ; 所以 d1 ? d 2 ? 4 为定值; (3)显然“盾圆 E ”由两部分合成,所以按 A 在抛物线弧 E1 或椭圆弧 E2 上加以分类,由 “盾圆 E ”的对称性,不妨设 A 在 x 轴上方(或 x 轴上): 当x? 当?

2 6 2 5 1 时, y ? ? ,此时 r ? , cos? ? ? ; 3 3 3 5
y

1 ? cos? ? 1 时, A 在椭圆弧 E2 上, 5
x2 y 2 ? ? 1 得, 4 3

由题设知 A(1 ? r1 cos? , r1 sin? ) 代入
2 2

o

x

3(1 ? r1 cos? ) ? 4(r1 sin ? ) ? 12 ? 0 ,
整理得 (4 ? cos ? )r1 ? 6r1 cos? ? 9 ? 0 ,
2 2

解得 r1 ?

3 3 或 r1 ? (舍去) 2 ? cos? cos? ? 2

当 ? 1 ? cos? ? ?

1 时 A 在抛物线弧 E1 上, 5

2 , 1 ? cos? 2 1 3 1 综上, r1 ? ( ? 1 ? cos? ? ? )或 r1 ? ( ? ? cos? ? 1 ); 1 ? cos? 5 2 ? cos? 5
由方程或定义均可得到 r1 ? 2 ? r1 cos? ,于是 r1 ? 相应地, B(1 ? r2 cos? ,?r2 sin? ) , 当 ? 1 ? cos? ? ?

1 时 A 在抛物线弧 E1 上, B 在椭圆弧 E2 上, 5

r1 2 2 ? cos? 2 1 11 ? ? ? (1 ? ) ? [1, ] ; r2 1 ? cos? 3 3 1 ? cos? 9


1 ? cos? ? 1 时 A 在椭圆弧 E2 上, B 在抛物线弧 E1 上, 5

r1 3 1 ? cos? 3 1 9 ? ? ? (1 ? ) ? [ ,1] ; r2 2 ? cos? 2 2 2 ? cos? 11
当?

1 1 ? cos? ? 时 A 、 B 在椭圆弧 E2 上, 5 5

r1 3 2 ? cos? 2 ? cos? 9 11 ? ? ? ?( , ) ; r2 2 ? cos? 3 2 ? cos? 11 9
综上

r1 9 11 的取值范围是 [ , ] r2 11 9

27.

[解](1)设椭圆 E 的方程为 mx ? ny ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n)
2 2

将 M (2,1), N (2 2, 0) 代入椭圆 E 的方程,得 ?

? 4m ? n ? 1 理 2 分,文 3 分 ? 8m ? 1
理 2 分,文 3 分

解得 m ?

x2 y 2 1 1 ?1 , n ? ,所以椭圆 E 的方程为 ? 8 2 8 2
2 2 2

(x0 , y0 ) ,则 OP ? x0 ? y0 . 设点 P 的坐标为
又 P( x0 , y0 ) 是 E 上的动点,所以
2 x0 y2 2 2 ? 8 ? 4 y0 ? 0 ? 1 ,得 x0 ,代入上式得 8 2

2 2 2 2 OP ? x0 ? y0 ? 8 ? 3 y0 , y0 ? ? ? 2, 2 ? ? ?

故 y0 ? 0 时, OP max ? 2 2 . OP 的最大值为 2 2 . 理 2 分

(2)因为直线 l 平行于 OM ,且在 y 轴上的截距为 b ,又 kOM ?

1 ,所以直线 l 的方程为 2

1 ? y ? x?b ? 1 ? 2 2 2 得 x ? 2bx ? 2b ? 4 ? 0 y ? x ? b .由 ? 2 2 2 ?x ? y ?1 ? 2 ?8
设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?2b, x1 x2 ? 2b ? 4 .
2

文理 2 分

又 k1 ?

y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 , x1 ? 2 x2 ? 2 y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 2) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 2) ? ? .文理 2 分 x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

故 k1 ? k2 ? 又 y1 ?

1 1 x1 ? b, y2 ? x2 ? b , 2 2 1 1 所以上式分子 ? ( x1 ? b ? 1)( x2 ? 2) ? ( x2 ? b ? 1)( x1 ? 2) 2 2

文理 2 分

? x1 x2 ? (b ? 2)( x1 ? x2 ) ? 4(b ? 1) ? 2b2 ? 4 ? (b ? 2)(?2b) ? 4(b ? 1) ? 0
故 k1 ? k2 ? 0 .文 2 分 所以直线 MA 与直线 MB 的倾斜角互补.理 2 分


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