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江西省五市八校2016届高三数学第二次联考试题 文


江西省五市八校 2016 届高三第二次联考数学(文科)试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 考生注意: 1.答题前,考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上. 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域书写作答, 在试题卷上作答,答案无效. 3.考试结束,监考员将答题卡收回. 第Ⅰ卷(选择题 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. i 是虚数单位,若复数 ?1 ? i ?? 2a ? i ? 是实数,则实数 a 的值为( A. ?2 B. ? )

A. 2

B.

2 3 3

C.

5 2

D.

5

8. 设函数 f ( x) ? cos (? x ? ?)(? ? 0) 的图像向右平移 A.4 B. 6 C. 8 D. 16

? ,与原图像重合,则 ? 的最小值为( 4



9. 现有编号从一到四的四个盒子,甲把一个小球随机放入其中一个盒子,但有

1 的概率随手扔掉。然后让乙按编号 5

顺序打开每一个盒子,直到找到小球为止(或根本不在四个盒子里) 。假设乙打开前两个盒子没有小球,则小球在最 后一个盒子里的概率为( A. ) C.

1 2

B.

1 3

1 4

D.

1 5

10. 如右图:网格纸上的小正方形边长都为 1,粗线画出的是某几何体的的三视 图,则该几何体的体积为( ) A.4 B.

1 2

C.

1 2

16 3

C.

20 3

D.8

D. 2 )

11. 设奇函数 f ( x) 在 R 上存在导数 f ?( x) ,且在 (0,??) 上 f '( x) ? x 2 ,若

2.设函数 f ( x) ? x2 sin x+1 ,且 f (m) ? 5 ,则 f (?m) 的值为( A. ?5 B.

?3

C.

3

D. 5

1 f (1 ? m) ? f (m) ? ? (1 ? m)3 ? m3 ? ? ,则实数 m 的取值范围为( 3?
). A. ? ? , ? 2 2



2 2 3.集合 A ? x | x ? x ? 2 ? 0 , B ? x | x ? x ? m ? 0 ,若 A ? B ? ? ,则 m 的值为(

?

?

?

?

A. ?6 或 6

B. 0 或 6

C. 0 或 ?6

D. 0 或 ?6 )

? 1 1? ? ?

B. ? , ?? ?

?1 ?2

? ?

C. ? ??, ? 2

? ?

1? ?

D. ? ??, ? ? U ? , ?? ? 2 2

? ?

1? ?

?1 ?

? ?

4.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.则输出的 S=( A.

8 3

B.

46 15

C.

25 6

D.

137 30


x2 y 2 12. 椭 圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与 直 线 x ? y ? 1 交 于 P 、 Q 两 点 , 且 OP ? OQ , 其 O 为 坐 标 原 点 . 若 a b

?x ? y ? 0 5. 已知 x, y 满足约束条件 ? ? x ? y ? 2 ,若 z ? 2 x ? y ,则 z 的最大值为( ?y ? 0 ?
A. ?4 B. 0 C. 2 D. 4

2 6 a?b? a ,则 a 取值范围是( 2 3
A. ?

)

? 3 ? ,1? ? 2 ?

B. ? 3, 2 ?

?

?

C. ?

? 5 6? , ? ? 2 2 ?

D. ? 5, 6 ?

?

?

6. 设 a ? (1, 2) , 若b ? c , 则点 ( x, y ) 的轨迹方程为 ( b ? ( x, y ) ,c ? a ? b .

r

r

r

r

r

r

r



第Ⅱ卷(非选择题 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22-24 题为选考题,学生根据 要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 若等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , 且数列 14.曲线 f ( x) ? 则a ? S ? 也为等差数列,
n

1 2 5 2 2 4 1 2 5 2 C. ( x ? ) ? ( y ? 1) ? 2 4
A. ( x ? ) ? ( y ? 1) ? 7. 已知双曲线 ( )

1 2 5 2 2 4 1 2 5 2 D. ( x ? ) ? ( y ? 1) ? 2 4
B. ( x ? ) ? ( y ? 1) ?

16

的值为



S

x2 y 2 2 - 2 = 1(a > 0, b > 0) 的渐近线截圆 ( x - 2) + y 2 = 3 所得的弦长等于 2 2 , 则双曲线的离心率为 2 a b

x ln x ( 1,f (1)) 处的切线方程为 在点 ex

.

A1 B1

C1

15.如图所示的几何体是由一个正三棱锥 S—A1B1C1 和一个所有棱长都相等的正三棱柱 ABC— A1B1C1 组合而成,且该几何体的外接球(几何体的所有顶点都在该球面上)的表面积为 7? ,则 三棱锥 S—A1B1C1 的体积为 .

A B

C

1

16. 在 ?ABC 中, D 为边 AC 上一点, AB ? 4, AC ? 6, BD ? 2 6 , BC ? 2 10 .则 ?A+?CBD ? 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知公差不为零的等差数列 ?an ? ,满足 a1 ? a3 ? a5 ? 9,且a1,a4,a16 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?



(II)若 O 为原点,求证: ?MON = 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (I) (II)

?
2

.

1 2 x ? 2 x ? a ln x(a ? R ) . 2

试讨论 f ( x ) 的单调性; 若函数 f ( x ) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,求证: f ( x2 ) ? ?2 。

1 an an ?1an ? 2

,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

18. (本小题满分 12 分) 某校高三文科 500 名学生参加了 3 月份的高考模拟考试,学校为了了解高三文科学生的历史、地理学习情况,从 500 名学生中抽取 100 名学生的成绩进行统计分析,抽出的 100 名学生的地理、历史成绩如下表: 历史 地理 [80,100] 8 9 8 [60,80) [40,60) 9 9 7

请考生在第 22-24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分) 如图,在三角形 ABC 中, ?ACB =90°,CD⊥AB 于 D,以 CD 为直径的圆分别交 AC、BC 于 E、F。 (1)求证: S四边形CEDF =BF ? AE ;

B F D

BF BC3 = (2)求证: . AE AC3
23.(本小题满分 10 分)

[80,100] [60,80) [40,60) (I) 若历史成绩在[80,100]区间的占 30%, (i)求 m, n 的值;

m n
15

? x ? 2 cos ? 在平面直角坐标系中,椭圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,已知以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极 ? y ? sin ?
C

C

E

A

轴建立极坐标系,射线 l 的极坐标方程为 ? =? ( ? ? 0 ) (注:本题限定: ? ? 0 , ? ? ? 0, 2? ? ) (1)把椭圆 C 的参数方程化为极坐标方程; (2)设射线 l 与椭圆 C 相交于点 A ,然后再把射线 l 逆时针 90°,得到射线 OB 与椭圆 C 相交于点 B ,试确定

(ii)估计历史和地理的平均成绩及方差(同一组数据用该组区间的中点值作代表) ,并估计哪个学科成绩更稳定; (II)在地理成绩在[60,80)区间的学生中,已知 m ? 10, n ? 10 ,求事件“ m ? n ? 5 ”的概率。 19. (本小题满分 12 分) 已知直角三角形 ABC 中,AC=6,BC=3, ∠ABC=90°, 点 D, E 分别是边 AC , AB 上的动点 (不含 A 点) ,

1 OA
2

?

1 OB
2

是否为定值,若为定值求出此定值,若不为定值请说明理由.

24. (本小题满分 10 分)

A C D B E 图1 A A E D B 图 2 C

已知函数 f ( x) ? x ? 2 (Ⅰ)解不等式; f ( x) ? f (2 x ? 1) ? 6 ;

且满足

AD 3 ? (图 1) .将 ?ADE 沿 DE 折起,使得平面 AE 2

1 a, b ? 0) .且对于 ?x ? R , f ( x ? m) ? f (? x) ? (Ⅱ)已知 a ? b ?(

ADE ⊥平面 BCDE ,连结 AB 、 AC (图 2) . (I)求证: AD ? 平面 BCDE ;
(II)求四棱锥 A—BCDE 体积的最大值. 20.(本小题满分 12 分)

4 1 ? 恒成立,求实数 m 的取值范围. a b

在平面直角坐标系 xOy 中,已知定点 T(0,-4) ,动点 Q,R 分别在 x,y 轴上,且 TQ ? QR=0 ,点 P 为 RQ 的中点, 点 P 的轨迹为曲线 C,点 E 是曲线 C 上一点,其横坐标为 2,经过点 (0, 2) 的直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A, B(不 同于点 E ) ,直线 EA, EB 分别交直线 y ? ?2 于点 M , N . (I)求点 P 的轨迹方程;

??? ? ??? ?

2

江西省五市八校 2016 届高三第二次联考数学(文科)参考答案 一、选择题 1 C 2 B 3 C 4 B 5 D 6 D 7 B 8 C 9 B 10 C 11 B 12 C

∴函数 g ( x) 为奇函数,∵ x ? (0 , 题可知, f (0) ? 0 ,

? ?) 时, g '( x) ? f '( x) ? x2 ? 0 ,函数 g ( x) 在 x ? (0 , ? ?) 为减函数,又由

1 (1 ? m)3 ? m3 ? g (0) ? 0 ,所以函数 g ( x) 在 R 上为减函数, f (1 ? m) ? f (m) ? ? ? ? ,即 3

二、填空题 13. 31 14.

g (1 ? m) ? g (m) ,

1 y ? ( x ? 1) e

15.

21 ? 3 8

16.

? 2
1 ,故选 C 2

∴1 ? m ? m

, ?m ?

1 .故选 B 2

1. 解析: ?1 ? i ?? 2a ? i ? =(2a ? 1) ? (1 ? 2a )i ,∵此复数是实数,∴ 1 ? 2a =0 ,所以 a =

2.解析:令 g ( x) ? x2 sin x ,可知 g ( x) 奇函数, f (m) ? 5 ,则 g (m) ? 4 , g (?m) ? ?4 , ∴ f (?m) ? ?4 ? 1 ? ?3 ,故选 B
2 2 3. 解析: A ? x | x ? x ? 2 ? 0 = ??1, 2? 把 x ? ?1 和 x ? 2 带入 x ? x ? m ? 0 得 m ? 0 和 m ? ?6 ,故选 C

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2a2 x ? a2 ﹣a2b2 ? 0 , 12. 解 析 : 设 P , 化 为 :(a ? b )x ﹣ (x1,y1),Q (x2,y2), 联 立 ? a 2 b2 ?x ? y ? 1 ?
1. ? ? 4a4 ﹣ 4 (a2 ? b2 )(a2 ﹣a2b2 )>0 ,化为: a 2 ? b2>

?

?

2a 2 a 2 ? a 2b 2 x1 ? x2 ? 2 ,x1 x2 ? 2 . ∵ OP ? OQ , a ? b2 a ? b2
∴ OP ? OQ ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ?(x﹣ ﹣ 1) ? 2x1x2 ? (x1 ? x2 ) ? 1=0 , 1 1)( x2 ∴ 2?

4. 解析: n ? 1, s ? 2; n ? 3, s ? 2 ?

2 8 8 2 46 ? , n ? 5, s ? ? ? , 输出s, 结束。 故选 B 3 3 3 5 5

??? ? ??? ?

?x ? y ? 0 5. 解析:由 ? ? x ? y ? 2 得 Z ? 2x ? y ? ?0,4? , zmax ? 4 ?y ? 0 ?

a 2 ? a 2b 2 2a 2 ? ? 1 ? 0 .化为 a 2 ? b2 ? 2a 2b2 . a 2 ? b2 a 2 ? b2
1 2 2 2 a2 1 2 a2 2 2 6 2 a ? b ? a a ? ? a2 , .∵ ,得 ∴ a ? b ? a 2 2 2 3 2 2a ? 1 3 2a ? 1 2 3
2

r r r r r 1 2 5 2 6. 解析:由已知得 c ? a ? b ? (1 ? x, 2 ? y ) ,又 b ? c ,∴ x(1 ? x) ? y (2 ? y ) ? 0 化简得: ( x ? ) ? ( y ? 1) ? 2 4
故选 D 7. 解析:由已知可得圆心(2,0)到直线 y =

∴b ?
2

化为 5 ? 4a ? 6 .解得:

b 2b x 的距离等于 1,故 d = = 1 所以 c = 2b a a 2 + b2

? 5 6? 5 6 , .满足△>0.∴ a 取值范围是 ? ?a? ? .故选 C. 2 2 ? 2 2 ?
d, 即 d =2 , ∴a ? S ? 也为等差数列,则 a = 1 2
n

13. 解析: ∵ Sn = 1 dn2 ? (a1 ? 1 d )n , 要使数列 2 2 14. 解析: f '( x) ?

1

16

=1+2 ? ( 16 ? 1 )=31

a = c 2 - b 2 = 3b ∴ e =

c 2b 2 3 ,故选 B = = a 3 3b

? 8. 解析:函数 f ( x) ? cos (? x ? ?)(? ? 0) 的图像向右平移 ,与原图像重合,则至少向右平移一个周期,所以 4 2? ? k? ? (k ? N ? ) ,当 k ? 1 时, ? 有最小值 8,故选 C ? 4
9. 解析:不妨在原有的 4 个盒子的基础上增加一个盒子,且第 5 个盒子不能打开,小球被随手扔掉可看做放入第 5

15. 解析:由条件可知:该几何体的外接球也即正三棱柱 ABC—A1B1C1 的外接球。因为外接球的表面积为 7? ,可得,
2 7 ? x? ? 3 ? 7 球的半径为 ,设三棱柱的棱长为 x ,则: ? ? ? ? x? ? ? ,解得 x= 3 ,所以三棱锥 S—A1B1C1 的高为 2 ?2? ? ? 3 ? 4 2

ln x ? 1 ? x ln x 1 1 ,∴ f '(1) ? .又 f (1) ? 0 ,故切线方程为 y ? ( x ? 1) 。 x e e e

1 ,所以不在第一、第二个盒子里,就只有在第三、四、五个盒子里, 5 1 又因为在每个盒子里的概率相等,所以这份文件在最后一个盒子里的概率为 ,故选 B。 3
个盒子。此时小球在这五个盒子里的概率都是 10. C

1 1 3 7? 3 21 ? 3 7? 3 ? ? ,故 VS — A1B1C1 = ? ? 3 ? 3 ? 3 2 2 2 8 2
16. 解析:∵ AB ? 4, AC ? 6, BC ? 2 10 。
2 2 2 cos A ? AB +AC ? BC ? 16 ? 36 ? 40 ? 1 , 2 AB ? AC 2? 4?6 4

1 3 1 1 3 3 11. 解析:令 g ( x) ? f ( x) ? x , Q g (? x) ? g ( x) ? f (? x) ? (? x) ? f ( x) ? x ? 0 3 3 3

设 AD=x,由余弦定理,BD =AB +AD ? 2AB?ADcosA,得: 2 2 24=16+x ? 4 x即x? 4 x? 8=0,解得 x=4 或 x=? 2(舍去) ,∴CD=2.

2

2

2

A
3

B

D

15 ABsinA 4 ? 6, ? ∵cosA= 1 ,∴sinA= 15 ,∴ sinC ? 4 4 BC 4 2 10 4?

(11, 24)、 (14, 21)、 (16,19)、 (17,18)、 (18,17)、 (19,16)、 (10, 25)、 (12, 23)、 (13, 22)、 (15, 20)、 (20,15)、 (21,14)、 (24,11)、 (22,13)、 (23,12)、 (25,10) 共 16 中,且每组出现都是等可能的。???????9 分
记: “ m ? n ? 5 ”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件有 (15, 20)、 (16,19)、 (17,18)、 (18,17)、 (19,16)、

6 CDsin C 4 ?1 ? ∴ sin ?CBD ? ,∵CD<BD,∴ ?CBD 为锐角. BD 4 2 6 2?
∴cosA= sin ?CBD = sin( 三、解答题 17. 解: (Ⅰ)? a1 ? a3 ? a5 ? 9,? 3a3 ? 9 ,? a3 ? 3 .?????????1 分

(20,15) 共 6 种。????????11 分
6 3 ? ????????????12 分 16 8 19. (I)证明:∵直角三角形 ABC 中,AC=6,BC=3,∠ABC=90°,
所以 P ( A) ? ∴∠BAC=30°????????????1 分 ∵

?
2

? A) ,∴ ?A+?CBD ?

?
2

? a1 , a4 , a16 成等比数列,? a4 2 ? a1a16 ,?????????3 分 ? (3 ? d ) ? (3 ? 2d )(3 ? 13d ),? d ? 0 ,∴ d ? 1 ?????????5 分
2

AD 3 =cos30°=cos∠BAC,∴∠ADE=90°,即 ED⊥AC 于 D,即 AD⊥DE,?3 分 ? AE 2

∵平面 A DE ⊥平面 BCDE ,且 平面 ? 平面 ? DE , AD ? 平面ADE , ∴ AD ? 平面 BCDE ??????????????5 分 (II)解:设 DE=x ,则由(I)可得, AE=2x , AD= 3x , ∵AC=6,BC=3,∴ S四边形BCDE =S?ABC ? S?ADE ?

? an ? a3 ? (n ? 3)d ? 3 ? (n ? 3) ? n ;?????????6 分
(II)由(Ⅰ)得, bn ?

1 an an?1an?2

=

? 1 1? 1 1 ? ? ? ? ?8 分 n ? (n ? 1) ? (n ? 2) 2 ? n ? (n ? 1) (n ? 1) ? (n ? 2) ?

1 3 3 ? 3 3 ? 3x 2 ? 9 ? x 2 ? ?6 分 ? 2 2

?

?

A

? ?? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 1 ?Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?? ? ? ? ?? ??? ? ??? ? 2 ?? 1 ? 2 2 ? 3 ? ? 2 ? 3 3 ? 4 ? ? n ? (n ? 1) (n ? 1) ? (n ? 2) ? ?
? 1 1 ?1 1 1 ?????????12 分 ? ? ? = ? ? 2 ? 2 (n ? 1) ? (n ? 2) ? 4 2(n ? 1) ? (n ? 2)
18. 解: (I) (i)∵由历史成绩在[80,100]区间的占 30%,∴

∴ V四棱柱A ?BCDE = S四边形BCDE ? AD= ?

1 3
3

1 3

3 1 3 3 9 ? x 2 ? ? 3x ? ? 9 x ? x3 ? , 0 ? x ? ?7 分 ? 2 2 2

D E B

C

3 3 2 令 f ( x) ? 9 x ? x ( 0 ? x ? ) ,则 f '( x) ? 9 ? 3x ,令 f '( x) ? 0 得 x ? 3 , 2
∴ f ( x ) 在区间 0, 3 ? 上单调递增,在区间 ? 3,

8+m ? 9 ? 0.3 ,得 m ? 13 , 100

∴ n ? 100 ? 8 ? 9 ? 8 ? 15 ? 9 ? 9 ? 7 ? 13 ? 22 .????????????2 分 (ii)由(i)可得 [80,100] 地理 历史 25 30 [60,80) [40,60) 25 30

?

?

? ? ?

3 3? ? 上单调递减, 2 ?

∴当 DE= 3 ,即 AE=2 3 , AD=3 时,四棱锥 A—BCDE 体积最大。???11 分 此时 V四棱锥A— BCDE ? 3 3 ????12 分 20. 解: (Ⅰ)设 P( x, y) , Q( x0 ,0) , R(0, y0 ) ,∵点 P 为 RQ 的中点,

50 40

x 地理 =

90 ? 25+70 ? 50+50 ? 25 1 2 2 2 2 ? ? =70,S地理 = 25 ? (90-70) +50 ? (70-70) +25 ? (50-70) ? ? =200? 4分 100 100 90 ? 30+70 ? 40+50 ? 30 1 2 2 2 2 ? ? x历史 = =70,S历史 = 30 ? (90-70) +40 ? (70-70) +30 ? (50-70) ? ? =240? 6分 100 100

从以上计算数据来看,地理学科的成绩更稳定。????????????7 分 (II)由已知可得 m ? n ? 35 且 m ? 10, n ? 10 ,所以满足条件的 (m, n) 有:

? x? ? ? ∴? ?y ? ? ?

x0 ? x0 ? 2 x 2 ,得 ? ,∴ Q(2 x, 0) , R(0, 2 y ) .???2 分 y0 ? y0 ? 2 y 2

∵T , TQ ? QR=0 , TQ ? (2 x, 4), RQ ? (2 x, ?2 y) ;∴ 4 x ? 8 y ? 0 即 x =2 y ???5 分 (0, ?4)
2 2

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

4

(Ⅱ)由(I)可知点 E 的坐标为(2,2) ,设 A( x1 ,

x12 x2 ) , B( x2 , 2 ) , M ( xM , ?2), N ( xN , ?2) , 2 2

(2, +?) 区间 上单调递增; a ? 0 时, f ( x) 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增.?6 分 (0, 1+ 1 ? a) ( 1 ? 1 ? a, +?)
(II)由(I)可知, 0 ? a ? 1 ,且 x1 +x2 =2,x1 ? x2 =a ,??7 分 ∴ f ( x2 ) ?

∵直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A, B (不同于点 E ). ∴直线 l 一定有斜率,设直线 l 方程为 y ? kx +2(k ? 0) ???6 分 与抛物线方程联立得到 ?

1 2 1 2 1 2 2 x 2 ? 2 x2 ? a ln x2 = x 2 ? 2 x2 ? x2 (2 ? x2 ) ln x2 ? x 2 ? 2 x2 ? (2 x2 ? x2 ) ln x2 2 2 2

? y ? kx +2 ?x ? 2 y
2

,消去 y ,得: x ? 2kx ? 4 ? 0
2

∵ x1 ? x2 ,且 x1 +x2 =2,x1 ? x2 =a , 0 ? a ? 1 ,∴ 0 ? x2 ? 2 。??8 分 令 g ( x) ?

则由韦达定理得: x1 x2 ? ?4, x1 ? x2 ? 2k ???7 分

1 2 x ? 2 x ? (2 x ? x 2 ) ln x, x ? (0, 2) ??9 分 2

x12 ?2 x ?2 直线 AE 的方程为: y ? 2 ? 2 ? x ? 2 ? ,即 y ? 1 ? x ? 2 ? ? 2 , 2 x1 ? 2
令 y ? ?2 ,得 xM ?

则 g '( x) ? x ? 2 ? (2 ? 2 x) ln x ?

2 x ? x2 ? 2(1 ? x) ln x ??10 分 x

当 0 ? x ? 1 , 1 ? x ? 0,ln x ? 0 ,所以 g '( x) ? 0 ,当 1 ? x ? 2 , 1 ? x ? 0,ln x ? 0 ,所以 g '( x) ? 0 ;∴ x ? (0, 2) ,

2 x1 ? 4 2x ? 4 同理可得: xN ? 2 ???9 分 x1 ? 2 x2 ? 2

g '( x) ? 0 ,∴ g ( x) 在区间 (0, 2) 上单调递减。??11 分
∴ x ? (0, 2) 时, g ( x) ? g(2) ? ?2 综上所述:若 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 f ( x ) 的两个极值点,则 f ( x2 ) ? ?2 。??12 分 22. 证明: (1)∵CD 为圆的直径,且 E、F 与 C、D 两点重合, ∴DF⊥BC,DE⊥AC,∵ ?ACB =90°,∴四边形 CEDF 为矩形, ∴ S四边形CEDF =CF ? CE ,且 DF//AC,DE//BC. ????1 分 ∵ CD ⊥ AB 于 D , CD 为圆的直径,∴三角形 BCD 和三角形 ACD 分别是以 ?CDB 和 ?CDA 为直角的直角三角 形。????2 分 ∵DF⊥BC,DE⊥AC,∴ DF =BF ? FC , DE =CE ? EA (直角三角形射影定理) ??3 分
2 2

???? ? ???? 又 OM ? ( xM , ?2), ON ? ( xN , ?2) ,得:
???? ? ???? 2 x ? 4 2 x2 ? 4 4(?4 ? 4k ? 4) 4[ x x ? 2( x1 ? x2 ) ? 4] OM ? ON ? xM xN ? 4 ? 4 ? 1 ? ? 4? ? 0 ???11 分 ? 4? 1 2 (?4 ? 4k ? 4) x1 ? 2 x2 ? 2 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4
∴ OM ? ON ,即 ?MON =

π ???12 分 2

1 2 a x2 ? 2 x ? a (a ? R) ??1 分 21. 解: (I)由 f ( x) ? x ? 2 x ? a ln x(a ? R ) 得 f '( x) ? x ? 2 ? ? 2 x x
(0, +?) ①当 a ? 1 时, f '( x) ? 0 恒成立,故 f ( x ) 在区间 上单调递增;??2 分
②当 0 ? a ? 1 时, 0 ? 1 ? 1 ? a ? 1 ? 1 ? a ,由 f '(x ) ? 0 得 0 ? x ? 1 ? 1 ? a 或 x ? 1 ? 1 ? a ; f '( x) ? 0 得

∵DF//AC,DE//BC,∴ ∴

AD AE CF AD = , = (平行线分线段成比例定理)??4 分 DB EC FB DB
∴ S四边形CEDF =BF ? AE . ??5 分

1 ? 1 ? a ? x ? 1+ 1 ? a , 故 f ( x) 在 区 间(0, 1 ?
上单调递减;??3 分 ( 1 ? 1 ? a, 1+ 1 ? a)

? 1a)和( 1 ? 1 ? a, +?)上 单 调 递 增 , 在 区 间

AE CF = 即 EC ? CF=FB ? AE EC FB

(2)由(1)已证CD⊥AB于D ∵在三角形ABC中, ?ACB =90° ∴

2 (2, +?) (0, 2) ③ a ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 x,x ? 0 , f ( x ) 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增;?4 分

1 2

AC 2 ? AD ? AB, BC 2 ? BD ? BA .
BD BC 2 ? AD AC 2
2

④ a ? 0 时, 1 ? 1 ? a ? 0 ? 1 ? 1 ? a ,由 f '( x) ? 0 得 x ? 1 ? 1 ? a ; f '( x) ? 0 得 0 ? x ? 1+ 1 ? a , 故 f ( x) 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增;??5 分 (0, 1+ 1 ? a) ( 1 ? 1 ? a, +?)

?

(1)??7分

又∵ BD =BC ? BF,AD =AC ? AE (切割线定理)
2

(0, +?) 综 上 所 述 : 当 a ? 1 时 , f ( x) 在 区 间 上 单 调 递 增 ; 当 0 ? a ? 1 时 , f ( x) 在 区 间 和 (01 , ? 1 ? a)

( 1 ? 1 ? a, 1+ 1 ? a) 上单调递增,在区间 上单调递减; a ? 0 时, f ( x ) 在区间 上单调递减,在 (0, 2) ( 1 ? 1 ? a, +?)



BD2 BC ? BF = , (2)??9分 AD2 AC ? AE
5

由(1)与(2)可得

BC ? BF BC 4 ? AC ? AE AC 4



BF BC3 = ??10分 AE AC3

1 a, b ? 0) ,∴ (Ⅱ)∵ a ? b ?(

4 1 4 1 4b a 4b a ? ? (a ? b)( ? ) ? 5 ? ? ? 5 ? 2 ? ? 9 ??6 分 a b a b a b a b
4 1 ? 恒 成 立 等 价 于 : 对 ?x ? R , x ? 2 ? m ? ? x ? 2 ? 9 , 即 a b

23. 解: (1)∵椭圆 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 cos ? ( ? 为参数) y ? sin ? ? ?

∴ 对 于 ? x ? R , f ( x ? m) ? f ( ? x ) ?

∴椭圆 C 的普通方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,????2 分 2
? x ? ? cos ? ? y ? ? sin ?
带入

? ? x ? 2 ? m ? ?x ? 2 ? ? max ? 9 ??7 分
2

将一点 (x, y ) 化为极坐标 (?,? ) 的关系式 ?

x ? y 2 ? 1 可得: 2



x ? 2 ? m ? ? x ? 2 ? ? x ? 2 ? m ? ? ( x ? 2) = ?4 ? m

∴ ?9 ? m ? 4 ? 9 ,??9 分 ∴ ?13 ? m ? 5 ??10 分

? 2 cos 2 ?
2

? ? 2 sin 2 ? ? 1 化简得: ? 2 +? 2 sin 2 ? ? 2 ????5 分
2 1 ? sin 2 ?

(2)由(1)得椭圆的极坐标方程可化为 ? ?

????6 分

由已知可得:在极坐标下,可设 A ? ?1 , ? ? , B ? ? 2 , ? ?

? ?

??

? ,?7 分 2?

分别代入 ? ?

2 1 ? sin 2 ? 2



有 ?1 ?

1 ? sin 2 ?
1

, ?2 ?

2 1 ? cos 2 ?

?

1 1 ? sin 2 ? 1 1 ? cos 2 ? , ?9 分 ? ? ?12 2 ?22 2



1

?

2 1

?

?2

2

?

3 1 1 3 1 1 3 即 为定值 .?10 分 ? ? ? .故 2 2 2 2 2 2 OA 2 OA OB OB

1 ? ? 3 ? 3 x, x ? 2 ? 1 ? f ( x ) ? f (2 x ? 1) ? | x ? 2 | ? | 2 x ? 1| ? 24.解: (Ⅰ) ? x ? 1, ? x ? 2 ,???2 分 2 ? ? 3 x ? 3, x ? 2 ? ?
当x?

1 时,由 3 ? 3x ? 6 ,解得 x ? ?1 ; 2

1 ? x ? 2 时, x ? 1 ? 6 不成立; 2 当 x ? 2 时,由 3x ? 3 ? 6 ,解得 x ? 3 .
当 所以不等式 f ( x) ? 6 的解集为 (??, ?1] U?3, ??? .?5 分

6


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