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高中数学选修2-1第三章+空间向量与立体几何+测试题(含详解)(精华版)


高中数学选修 2-1 第三章+空间向量与立体几何+ 测试题
(时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项 是符合题目要求的) 1.向量 a=(2x, 1,3),b=(1,-2y, 9),若 a 与 b 共线,则( A.x=1, y=1 1 3 C.x= ,y=- 6 2

解析 答案 1 1 B. x= ,y=- 2 2 1 2 D.x=- ,y= 6 3 )

1 1 3 由 a∥b 知,a=λb,∴2x=λ,1=-2λy, 3=9λ,∴λ= ,x= ,y=- . 3 6 2 C )

2.已知 a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),且 a· b=2,则 x 的值是( A.6 解析 答案 B.5 C.4 D.3

a· b=-3+2x-5=2,∴ x=5. B )

3. 设 l1 的方向向量为 a=(1,2, -2), l2 的方向向量为 b=(-2,3, m), 若 l1 ⊥ l2 , 则实数 m 的值为( A.3 解析 答案 B.2 C.1 D. 1 2

∵ l1 ⊥ l 2 ,∴ a⊥ b,∴ a· b=0,∴ -2+6-2m=0,∴ m=2. B )

4.若 a,b 均为非零向量,则 a· b=|a||b|是 a 与 b 共线的( A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 ∵ a· b=|a||b|cos 〈a,b〉 ,而 a· b=|a||b|.

∴ cos 〈a,b〉=1,∴ 〈a,b〉=0. ∴ a 与 b 共线.反之,若 a 与 b 共线,也可能 a· b=-|a|· |b|,因此应选 B. 答案 B )

→ → → → → 5.在△ ABC 中,AB=c,AC=b. 若点 D 满足BD=2DC,则AD=( 2 1 A. b+ c 3 3 5 2 B. c- b 3 3 2 1 C. b- c 3 3 1 2 D. b+ c 3 3

-1-

解析

→ → → 如图,AD=AB+BD

→ → 2 =AB+ BC 3 → → → 2 =AB+ (AC-AB) 3 → → 1 2 = AB+ AC 3 3 1 2 = c+ b. 3 3 答案 A

6.已知 a,b,c 是空间的一个基底,设 p=a+b,q=a-b,则下列向量中可以与 p,q 一起构成空间 的另一个基底的是( A.a 解析 B.b ) C.c D.以上都不对

∵ a,b,c 不共面,

∴ a+b,a-b,c 不共面,∴ p,q,c 可构成空间的一个基底. 答案 C )

7.已知△ ABC 的三个顶点 A (3,3,2) ,B (4,-3,7),C(0,5,1),则 BC 边上的中线长为( A.2 解析 B.3 C. 64 7 D. 65 7

BC 的中点 D 的坐标为(2,1,4),

→ ∴ AD=(-1,-2,2). → ∴ |AD|= 1+4+4=3. 答案 B ) 2 3 6 B.(- ,- ,- ) 7 7 7 2 3 6 2 3 6 D.( , , )和(- ,- ,- ) 7 7 7 7 7 7
-2-

8.与向量 a=(2,3,6) 共线的单位向量是( 2 3 6 A.( , , ) 7 7 7 2 3 6 2 3 6 C.( ,- ,- )和(- , , ) 7 7 7 7 7 7

解析 答案

1 |a|= 22 +32 +62=7,∴ 与 a 共线的单位向量是± (2,3,6),故应选 D. 7 D )

9.已知向量 a=(2,4,x),b=(2,y, 2),若|a|=6 且 a⊥ b,则 x+y 为( A.-3 或 1 解析 B.3 或-1 C.-3 D.1

由|a|=6,a⊥ b,
2

? ? ? ?4+16+x =36, ?x=4, ?x=-4, 得? 解得? 或? ?4+4y+2x=0, ? ?y=1. ? ?y=-3, ?

∴ x+y=1,或-3. 答案 A
2

10.已知 a=(x, 2,0),b=(3,2-x,x ),且 a 与 b 的夹角为钝角,则实数 x 的取值范围是( A.x>4 解析 答案 B. x<-4 C.0<x<4 D.-4<x<0.

)

∵ 〈a,b〉为钝角,∴ a· b=|a||b|cos 〈a,b〉<0,即 3x+2(2-x)<0,∴ x<-4. B

11.已知空间四个点 A (1,1,1) ,B (-4,0,2),C(-3,-1,0),D(-1,0,4),则直线 AD 与平面 ABC 所成 的角为( ) B.45° C.60° D.90°

A.30° 解析

设平面 ABC 的一个法向量为 n=(x,y,z),

→ → ∵ AB=(-5,-1,1),AC=(-4,-2,-1), → → 由 n· AB=0 及 n· AC=0,得
?-5x-y+z=0, ? ? 令 z=1, ? ?-4x-2y-z=0,

1 3 1 3 得 x= ,y=- ,∴ n=( ,- ,1). 2 2 2 2 → 又AD=(-2,-1,3),设 AD 与平面 ABC 所成的角为 θ,则 → 3 -1+ +3 |AD· n| 2 1 sinθ= = = , → 14 2 14× |AD||n| 2 ∴ θ=30° . 答案 A

12.已知二面角 α-l-β 的大小为 50° ,P 为空间中任意一点,则过点 P 且与平面 α 和平面 β 所成的 角都是 25° 的直线的条数为( A.2 解析 B.3 ) D.5

C.4

过点 P 分别作平面 α, β 的垂线 l1 和 l2 ,则 l1 与 l2 所成的角为 130° 或 50° ,问题转化为过点 P
-3-

与直线 l1 ,l2 成 65° 角的直线有几条,与 l1 ,l2 共面的有一条,不共面的有 2 条.因此,共有 3 条. 答案 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.把答案填在题中横线上) 13.已知{i,j,k}为单位正交基底,且 a=-i+j+3k,b=2i-3j-2k,则向量 a+b 与向量 a-2b 的 坐标分别是________;________. 解析 依题意知,a=(-1,1,3),b=(2,-3,-2),则 a+b=(1,-2,1),

a-2b=(-1,1,3)-2(2,-3,-2)=(-5,7,7). 答案 (1,-2,1) (-5,7,7)

→ → 14.在△ ABC 中,已知AB=(2,4,0) ,BC=(-1,3,0) ,则∠ ABC=________. → → → → AB· BC 10 2 cos 〈AB,BC〉= = = , → → 10 2 2 |AB||BC|

解析

→ → π π 3π ∴ 〈AB,BC〉= ,∴ ∠ ABC=π- = . 4 4 4 答案 3π 4

15.正方体 ABCD-A1 B 1 C1 D1 中,面 ABD1 与面 B1 BD1 所夹角的大小为________. 解析

建立空间直角坐标系 D-xyz,如图. 设正方体的棱长为 1,则 A(1,0,0) ,B(1,1,0) ,B 1 (1,1,1),D1 (0,0,1) . → → → ∴ D1 A=(1,0,-1),D1 B=(1,1,-1),D1 B 1=(1,1,0) . → 设平面 ABD1 的法向量为 m =(x1 ,y1 ,z1 ),平面 B1 BD1 的法向量为 n=(x2 ,y2 ,z2 ),则由 m· D1 A=0,
-4-

→ → m· n 1 m· D1 B=0,可得 m =(1,0,1),由 n· D1 B=0,n· D1 B 1 =0,得 n=(1,-1,0),∴ cos 〈m ,n〉= = .∴ 所 |m ||n| 2 求二平面的大小为 60° . 答案 60°

16.在下列命题中:① 若 a,b 共线,则 a,b 所在的直线平行;② 若 a,b 所在的直线是异面直线,则 a,b 一定不共面;③ 若 a,b,c 三向量两两共面,则 a,b,c 三向量一定也共面;④ 已知三向量 a,b,c, 则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p=xa+yb+zc,其中不正确的命题为________. 解析 ① a,b 共线,包括 a 与 b 重合,所以① 错.

② 空间任意两个向量均共面,所以② 错. ③ 以空间向量的一组基底{a,b,c}为例,知它们两两共面,但它们三个不共面,所以③ 错. ④ 当与 a,b,c 共面时,不成立,所以④ 错. 答案 ① ② ③ ④

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10 分)如图,空间四边形 OABC 中,E ,F 分别为 OA ,BC 的中点, → → → → 设OA =a,OB =b,OC=c,试用 a,b,c 表示EF.



→ → → → → → 1 1 1 1 1 EF=EO+OF =- OA + (OB +OC)=- a+ b+ c. 2 2 2 2 2

18.(12 分)设 a1 =2i-j+k,a2 =i+3j-2k,a3 =-2i+j-3k,a4 =3i+2j+5k,试问是否存在实数 a, b,c 使 a4 =aa1 +ba2 +ca3 成立?如果存在,求出 a,b,c 的值;如果不存在,请说明理由. 解 假设 a4 =aa1 +ba2 +ca3 成立.

由已知 a1 =(2,-1,1),a2 =(1,3,-2), a3 =(-2,1,-3),a4 =(3,2,5) ,可得 (2a+b-2c,-a+3b+c,a-2b-3c)=(3,2,5) . 2a+b-2c=3, ? ? ∴ ?-a+3b+c=2, ? ? a-2b-3c=5, 解得:a=-2,b=1,c=-3. 故有 a4 =-2a1 +a2 -3a3 . 综上知,满足题意的实数存在, 且 a=-2,b=1,c=-3.
-5-

19.(12 分)四棱柱 ABCD-A ′B ′C′D′中,AB =5,AD=3,AA ′=7,∠ BAD=60° ,∠ BAA ′=∠ DAA ′=45° , 求 AC′的长. 解 → → → → → → → AC′=AB+BC+CC′ =AB+AD+AA ′,

→ → → → 2 2 ∴ (AC′) =(AB+AD+AA ′) → → → → → → → → → 2 2 2 =AB +AD +AA ′ +2(AB· AD+AB· AA ′+AD· AA ′) =25+9+49+2(5× 3cos60° +5× 7cos45° +3× 7cos45° ) =98+56 2. → ∴ |AC′|= 98+56 2 , 即 AC′的长为 98+56 2. 20.(12 分)如图所示,PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面, AB =2,PC 与平面 ABCD 所成角是 45° ,F 是 AD 的中点,M 是 PC 的中点. 求证:DM∥ 平面 PFB. 证明 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,由 PC

与平面 ABCD 所成的角为 45° ,即∠ PCD =45° ,得 PD=2,则 P (0,0,2) ,C(0,2,0),B (2,2,0),F (1,0,0),D(0,0,0) ,M(0,1,1), → → → ∴ FB=(1,2,0),FP=(-1,0,2),DM=(0,1,1) . 设平面 PFB 的法向量为 n=(x,y,z),则 → ?FB · n=0, ∴ ?→ ?FP· n=0,
?x+2y=0, ? ? ? -x+2z=0.

即?

令 y=1,则 x=-2,z=-1. 故平面 PFB 的一个法向量为 n=(-2,1,-1). → → ∵ DM· n=0,∴ DM⊥ n. 又 DM? 平面 PFB ,则 DM∥ 平面 PFB.

-6-

21.(12 分)如图,正四棱柱 ABCD—A 1B 1 C1 D1 中,AA 1 =2AB =4,点 E 在 C1 C 上,且 C1E =3EC. (1)证明 A 1 C⊥ 平面 BED; (2)求二面角 A 1 -DE -B 的余弦值.



以 D 为坐标原点,射线 DA 为 x 轴的正半轴,建立

如图所示的空间直角坐标系 D-xyz.

依题设 B (2,2,0),C(0,2,0) ,E(0,2,1),A1 (2,0,4). → → DE =(0,2,1) ,DB =(2,2,0) , → → A 1 C=(-2,2,-4),DA 1=(2,0,4) . → → → → (1)∵ A 1 C· DB =0,A 1 C· DE =0, ∴ A 1 C⊥ BD,A1 C⊥ DE . 又 DB ∩DE =D, ∴ A 1 C⊥ 平面 DBE . → (2)设向量 n=(x, y, z)是平面 DA 1 E 的法向量, 则 n⊥ DE 、 → n⊥ DA 1. ∴ 2y+z=0,2x+4z=0. 令 y=1,则 z=-2,x=4, ∴ n=(4,1,-2). → → n· A1C 14 ∴ cos 〈n,A 1 C〉= = . → 42 |n||A 1 C| → ∵ 〈n,A 1 C〉等于二面角 A1 -DE -B 的平面角, ∴ 二面角 A 1 -DE -B 的余弦值为 14 . 42

-7-

22.(12 分)正方体 ABCD-A 1B 1 C1 D1 中,E , F 分别 是 BB1 ,CD 的中点. (1)证明:平面 AED⊥ 平面 A 1FD1 ; (2)在 AE 上求一点 M,使得 A1 M⊥ 平面 DAE. 解 (1)证明:建立如图所示的空间直角坐标系 D-

xyz,不妨设正方体的棱长为 2,则 A (2,0,0) ,E(2,2,1), F (0,1,0) ,A 1 (2,0,2),D1 (0,0,2) .

设平面 AED 的法向量为 n1 =(x1 ,y1 ,z1),则 → ?n · DA=x ,y ,z ? → ?n · DE=x ,y ,z
1 1 1 1 1 1

1

,0, =0, ,2, =0.

1

? ∴

? ?2x1 =0, ?2x1 +2y1 +z1 =0. ?

令 y1 =1,得 n1 =(0,1,-2). 同理可得平面 A 1FD1 的法向量 n2 =(0,2,1). ∵ n1 · n2 =0,∴ 平面 AED⊥ 平面 A 1FD1. (2)由于点 M 在 AE 上, → → ∴ 可设AM=λAE=λ(0,2,1) =(0,2λ,λ), → 可得 M(2,2λ,λ),于是A 1 M=(0,2λ,λ-2). 要使 A 1M⊥ 平面 DAE ,需 A 1M⊥ AE , → → 2 ∴ A 1 M· AE=(0,2λ,λ-2)· (0,2,1) =5λ-2=0,得 λ= . 5 2 4 2 故当 AM= AE 时,即点 M 坐标为(2, , )时,A 1M⊥ 平面 DAE. 5 5 5

-8-


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