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2007-2013浙江高考数学数列试题汇编


2007-2011 浙江高考数学数列试题汇编
1.(2013 理)7.设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列﹛an﹜的前 n 项和,则下列命题错 误的是(C) A.若 d<0,则列数﹛Sn﹜有最大项 B.若数列﹛Sn﹜有最大项,则 d<0 C.若数列﹛Sn﹜是递增数列,则对任意 n ? N * , 均有Sn ? 0 D. 若对任意 n ? N * , 均有Sn

? 0 ,则数列﹛Sn﹜是递增数列 2..设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn。若 S2=3a2+2,S4=3a4+2,则 q=_____3/2______。 解析: ?

?S2 =3a 2 +2 两式相减可得2a 4 +3a 2 =a 3,即2q2 ? q ? 3 ? 0 。 S =3a +2 ? 4 4

(2013 文)在公差为 d 的等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 10 ,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列. (Ⅰ)求 d, an ; (Ⅱ) 若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| .
2 3.(2012 文)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= 2n ? n ,n∈N﹡,数列{bn}满足

an=4log2bn+3,n∈N﹡. (1)求 an,bn; (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn. (1) 由 Sn= 2n2 ? n ,得当 n=1 时, a1 ? S1 ? 3 ;
2 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? n ? ? ? 2(n ? 1) ? (n ? 1) ? ? ? 4n ? 1 ,n∈N﹡.

由 an=4log2bn+3,得 bn ? 2n ? 1,n∈N﹡.

(2)由(1)知 anbn ? (4n ?1) ? 2n?1 ,n∈N﹡
所以 Tn ? 3 ? 7 ? 2 ?11? 2 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2
2 n?1



2Tn ? 3? 2 ? 7 ? 22 ?11? 23 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2n , 2Tn ? Tn ? ? 4n ?1? ? 2n ? [3 ? 4(2 ? 22 ? ... ? 2n?1 )]
? (4n ? 5)2n ? 5
Tn ? (4n ? 5)2n ? 5 ,n∈N﹡.
4. (2011 理 19)已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的首项 a1 为 a(a ? R) ,设数列的前 n 项

和为 Sn,且

1 1 1 , , 成等比数列。 a1 a2 a4

(1)求数列 {an } 的通项公式及 S n 。 (2)记 An ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ,Bn ? ? ? ? ?? ? , S1 S 2 S 3 Sn a1 a2 a22 a 2n

当 n ? 2 时,试比较 An 与 Bn 的大小. 5、 (2011 文 19) (本题满分 14 分)已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的首项为 a(a ? R) , 且

1 1 1 , , 成等比数列. a1 a 2 a 4

⑴求数列 {an } 的通项公式; ⑵对 n ? N * ,试比较

1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n 与 的大小. a2 a2 a2 a2 a1

答案:本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识,同时考查分类讨 论思想。

(I)解:设等差数列 得

{an } 的公差为 d,由

(

1 2 1 1 ) ? ? , a2 a1 a4

(a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d )
an ? na1 , S n ? an(n ? 1) . 2

因为 d ? 0 ,所以 d ? a 所以

(II)解:因为

1 2 1 1 ? ( ? ) Sn a n n ? 1

,所以

An ?

1 1 1 1 2 1 ? ? ??? ? (1 ? ) S1 S2 S3 Sn a n ?1
,所以

因为

a2n?1 ? 2n?1 a

1 1 ? ( )n 1 1 1 1 1 2 ? 2 (1 ? 1 ). Bn ? ? ? ??? ? ? a1 a2 a22 a2n?1 a 1 ? 1 a 2n 2

0 1 2 n n ? 2时, 2n ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? n ?1



1?


1 1 ? 1? n , n ?1 2

所以,当 当

a ? 0时, An ? Bn ;

a ? 0时, An ? Bn .

6. (2010 理 3 文 5)设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 (A)11 (B)5 (C) ?8 (D) ? 11

S5 ? S2

1 3 1 1 1 1 将 ak (0 ? k ? n) 的最小值记为 Tn ,则 T2 ? 0, T3 ? 3 ? 3 , T4 ? 0, T5 ? 5 ? 5 , ???, Tn , ??? 2 3 2 3
n n 7.(2010 理 14)设 n ? 2, n ? N , (2 x ? ) ? (3 x ? ) ? a0 ? a1x ? a2 x2 ????? an xn ,

1 2

其中 Tn =__________________ . 8.(2010 理 15)

设a1 , d为实数,首项为 a1,公差为d的等差数列 {an }的前n项和为S n,满足 S 5 S 6 ? 15 ? 0,则d的取值范围是
9.(2010 文 14)在如下数表中,已知每行、每列中的树都成等差数列,那么,位于下表中 的第 n 行第 n+1 列的数是 第一列 第一行 第二行 第三行 …… 1 2 3 …… 第二列 2 4 6 …… 第三列 3 6 9 …… …… …… …… …… ……

10.(2010 文 19) (本题满分 14 分)

设a1,d为实数,首项为 a1,公差为d的等差数列 {an }的前n项和为S n,满足S5 S6 ? 15 ? 0.
(Ⅰ)若 S5 =5,求 S6 及 a1 ; (Ⅱ)求 d 的取值范围。

11.(2009 理 11 文 11)设等比数列 {an } 的公比 q ?

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? . 2 a4

12.(2009 文 16)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S4 , S8 ? S4 , S12 ? S8 , S16 ? S12 成等差数列.类比以上结论有:设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 , , , 列. 13. (2009 文 20) (本题满分 14 分) 设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,Sn ? kn ? n ,n ? N ,
2
*

T16 成等比数 T12

其中 k 是常数. (I)求 a1 及 an ; (II)若对于任意的 m ? N , am , a2 m , a4 m 成等比数列,求 k 的值.
*

14.(08 理 6)已知 ?an ? 是等比数列, a 2 ? 2,a 5 ? (A)16( 1 ? 4 (C)
?n

1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 = 4

) (B)16( 1 ? 2

?n



32 32 ?n ?n (1 ? 4 ) (D) (1 ? 2 ) 3 3

a1 ? 0 , 15. (08 理 22) (本题 14 分) 已知数列 ?an ? , an ? 0 , an?1 ? an?1 ? 1 ? an (n ? N ? ) .
2 2

记 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an .Tn ?

1 1 1 . ? ??? 1 ? a1 (1 ? a1 )(1 ? a2 ) (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ?(1 ? a n )

求证:当 n ? N ? 时, (Ⅰ) an ? a n ?1 ; (Ⅱ) S n ? n ? 2 ; (Ⅲ) Tn ? 3 。 16.(08 文 4)已知{an}是等比数列,a1=2,a4= (A) ?

1 ,则公比 q= 4
(D)

1 2

(B)-2

(C)2

1 2
n *

17.(08 文 18) (本题 14 分)已知数列{xn}的首项 x1=3,通项 xn=2 p - nq(n∈N ,p,q 为常数),且 x1,x4,x5 成等差数列,求: (Ⅰ)p,q 的值; (Ⅱ)数列{xn}前 n 项和 Sn 的公式。 18. ( 07 理 21 ) (本题 15 分)已知数列 ?an ? 中的相邻两项 a2k ?1,a2k 是关于 x 的方程

, 2, 3, ?) . x2 ? (3k ? 2k ) x ? 3k ? 2k ? 0 的两个根,且 a2k ?1 ≤ a2k (k ? 1

(I)求 a1 , a2 , a3 , a7 ; (II)求数列 ?an ? 的前 2 n 项和 S 2 n ; (Ⅲ)记 f (n) ?

? 1 ? sin n (?1) f (2) (?1) f (3) (?1) f (4) (?1) f ( n?1) , ? 3 ? , Tn ? ? ? ? …? ? a1a2 a3a4 a5a6 a2 n?1a2 n 2 ? sin n ?

求证:

1 5 ≤ Tn ≤ (n ? N* ) . 6 24

18.(07文19)(本题14分)已知数列{ an }中的相邻两项 a2 k ?1 、 a2 k 是关于x的方程

x 2 ? ? 3k ? 2k ? x ? 3k ? 2k ? 0 的两个根,且 a2k ?1 ≤ a2 k
(I)求 a1 , a3 , a5 , a7 及 a2 n (n≥4)(不必证明); (Ⅱ)求数列{ an }的前2n项和S2n.

(k =1,2,3,…).

参考答案
1.本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识,同时考查分类讨论思 想。满分 14 分。

(I)解:设等差数列 得

{an } 的公差为 d,由

(

1 2 1 1 ) ? ? , a2 a1 a4

(a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d )
an ? na1 , S n ? an(n ? 1) . 2

因为 d ? 0 ,所以 d ? a 所以

(II)解:因为

1 2 1 1 ? ( ? ) Sn a n n ? 1

,所以

An ?

1 1 1 1 2 1 ? ? ??? ? (1 ? ) S1 S2 S3 Sn a n ?1
,所以

因为

a2n?1 ? 2n?1 a

1 1 ? ( )n 1 1 1 1 1 2 ? 2 (1 ? 1 ). Bn ? ? ? ??? ? ? a1 a2 a22 a2n?1 a 1 ? 1 a 2n 2

0 1 2 n n ? 2时, 2n ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? n ?1



1?


1 1 ? 1? n , n ?1 2

所以,当 当

a ? 0时, An ? Bn ;

a ? 0时, An ? Bn .

2.本题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式,等比数列的求和公式等基础知识,同 时考查运算求解能力及推理论证能力。满分 14 分。 ⑴解:设等差数列 {an } 的公差为 d ,由题意可知 ( 即 (a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d ) ,从而 a1d ? d 2 因为 d ? 0, 所以d ? a1 ? a. 故通项公式 an ? na. ⑵解:记 Tn ?

1 2 1 1 ) ? ? a2 a1 a4

1 1 1 ? ??? ,因为a2n ? 2n a a2 a22 a2n

1 1 (1 ? ( )n ) 1 1 1 1 1 1 1 2 所以 Tn ? ( ? 2 ? ? ? n ) ? ? 2 ? [1 ? ( )n ] 1 a 2 2 a a 2 2 1? 2
从而,当 a ? 0 时, Tn ?

1 1 ;当 a ? 0时, Tn ? . a1 a1

3.解析:通过 8a2 ? a5 ? 0 ,设公比为 q ,将该式转化为 8a2 ? a2 q ? 0 ,解得 q =-2,
3

带入所求式可知答案选 D。 本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和 公式,属中档题。 4.解析:本题主要考察了合情推理,利用归纳和类比进行简单的推理,属容易题。 答案: Tn ?

1 ? (?1) n ?1 1 1 ?( n ? n ) 2 2 3

5.答案: d ? ?2 2或d ? 2 2 6.答案:n +n 7. 解:
2

( Ⅰ )由题意知S 6 ?

? 15 ? ?3, S5

a 6 ? S 6 ? S 5 ? ?8 ?5a ? 10d ? 5 ?? 1 解得a1 ? 7. ? a1 ? 5d ? ?8 (Ⅱ) ? S 5 S 6 ? 15 ? 0 ? (5a1 ? 10d )(6a1 ? 15d ) ? 15 ? 0 即2a1 ? 9da1 ? 10d 2 ? 1 ? 0 ? ? (9d ) 2 ? 4 ? 2 ? (10d 2 ? 1) ? d2 ?8 ? 0 解得d ? ?2 2或d ? 2 2
2

8.【解析】对于 s4 ?

a1 (1 ? q 4 ) s 1 ? q4 , a4 ? a1q3 ,? 4 ? 3 ? 15 1? q a4 q (1 ? q)

【命题意图】 此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式, 通过对数列知识点的考 查充分体现了通项公式和前 n 项和的知识联系.

9.答案:

T8 T12 , T4 T8

【命题意图】 此题是一个数列与类比推理结合的问题, 既考查了数列中等差数列和等比数列 的知识,也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力
w.w.w.k.s.5.u.c .o.m

【解析】 对于等比数列, 通过类比, 有等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn , 则 T4 , 成等比数列.

T8 T12 T16 , , T4 T8 T12

10.解析: (Ⅰ)当 n ? 1, a1 ? S1 ? k ? 1 ,

n ? 2, an ? S n ? S n?1 ? kn2 ? n ? [k (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? 2kn ? k ? 1( ? )
经验, n ? 1, ( ? )式成立,? an ? 2kn ? k ? 1 (Ⅱ)? am , a2m , a4m 成等比数列,? a2m ? am .a4m , 即 (4km ? k ? 1) 2 ? (2km ? k ? 1)(8km ? k ? 1) ,整理得: mk(k ? 1) ? 0 , 对任意的 m ? N ? 成立,? k ? 0或k ? 1 11.答案:C
2

12.本题主要考查数列的递推关系,数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能,同时 考查逻辑推理能力.满分 14 分. (Ⅰ)证明:用数学归纳法证明. ①当 n ? 1 时,因为 a2 是方程 x2 ? x ? 1 ? 0 的正根,所以 a1 ? a2 . ②假设当 n ? k (k ? N ) 时, ak ? ak ?1 ,
*

2 因为 ak ?12 ? ak ? (ak ?22 ? ak ?2 ?1) ? (ak ?12 ? ak ?1 ?1)

? (ak ?2 ? ak ?1 )(ak ?2 ? ak ?1 ?1) ,
所以 ak ?1 ? ak ?2 . 即当 n ? k ? 1 时, an ? an?1 也成立. 根据①和②,可知 an ? an?1 对任何 n ? N* 都成立.

, 2, ?, n ?1 ( n ≥ 2 ) (Ⅱ)证明:由 ak ?12 ? ak ?1 ?1 ? ak 2 , k ? 1 ,
2 得 an ? (a2 ? a3 ? ?? an ) ? (n ?1) ? a12 .

2 因为 a1 ? 0 ,所以 Sn ? n ?1 ? an .
2 由 an ? an?1 及 an?1 ? 1 ? an ? 2an?12 ? 1得 an ? 1 ,

所以 Sn ? n ? 2 . (Ⅲ)证明:由 ak ?12 ? ak ?1 ? 1 ? ak 2 ≥ 2ak ,得

a 1 ≤ k ?1 (k ? 2, 3, ?, n ? 1 ,n ≥ 3) 1 ? ak ?1 2ak
所以

a 1 ≤ n?2n (a ≥ 3) , (1 ? a3 )(1 ? a4 )?(1 ? an ) 2 a2 an a 1 1 ≤ n?2 2 ? nn ? n?2 (n ≥ 3) , ?2 (1 ? a2 )(1 ? a3 )?(1 ? an ) 2 (a2 ? a2 ) 2 2
1 1 ? ? ? n?2 ? 3 , 2 2

于是

故当 n ≥ 3 时, Tn ? 1 ? 1 ? 又因为 T1 ? T2 ? T3 , 所以 Tn ? 3 .

13.答案:D 14.本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识,考查运算及推理能力。满分 14 分。 (Ⅰ)解:由 x1 ? 3, 得

2 p ? q ? 3, 又x4 ? 24 p ? 4q, x5 ? 25 p ? 5q, 且x1 ? x5 ? 2 x4 , 得 3 ? 2 5 p ? 5q ? 2 5 p ? 8 q , 解得
p=1,q=1 (Ⅱ)解:

S n ? (2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ) ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? 2 n ?1 ? 2 ? n(n ? 1) . 2

15.本题主要考查等差、等比数列的基本知识,考查运算及推理能力.满分 15 分. (I)解:方程 x ? (3k ? 2 ) x ? 3k ? 2 ? 0 的两个根为 x1 ? 3k , x2 ? 2k ,
2 k k

当k

? 1 时, x1 ? 3,x2 ? 2 ,

所以 a1 ? 2 ; 当 k ? 2 时, x1 ? 6 , x2 ? 4 , 所以 a3 ? 4 ;

当 k ? 3 时, x1 ? 9 , x2 ? 8 , 所以 a5 ? 8 时; 当 k ? 4 时, x1 ? 12 , x2 ? 16 , 所以 a7 ? 12 . (II)解: S2 n ? a1 ? a2 ? ? ? a2 n

? (3 ? 6 ? ?? 3n) ? (2 ? 22 ? ?? 2n )
? 3n2 ? 3n n?1 ?2 ?2. 2

1 1 1 (?1) f ( n?1) (III)证明: Tn ? , ? ? ??? a1a2 a3a4 a5a6 a2 n?1a2 n
所以 T1 ?

1 1 ? , a1a2 6

T2 ?

1 1 5 . ? ? a1a2 a3a4 24

当 n ≥ 3 时,

1 1 1 (?1) f ( n?1) , Tn ? ? ? ??? 6 a3a4 a5a6 a2n?1a2 n

1 1 ≥ ? 6 a3a4

? 1 1 ? ?? ??? ? a2n?1a2n ? ? a5a6

1 1 1? 1 1 ? ≥ ? ? ? 3 ??? n ? 2 6 6?2 6 ? 2 2 ?
? 1 1 1 ? ? , n 6 6?2 6

5 1 1 (?1) f ( n?1) 同时, Tn ? ? ? ??? 24 a5a6 a7 a8 a2 n?1a2 n



? 1 5 1 1 ? ? ?? ??? ? 24 a5a6 ? a1a2 a2 n?1a2 n ?
5 1 1? 1 1 ? ? ? ? 1 ?? ? n ? 3 24 9?2 9 ? 2 2 ?



?

5 1 5 ? ? . n 24 9?2 24

综上,当 n ? N * 时,

1 5 ≤ Tn ≤ . 6 24

2 k k 16.(I)解:易求得方程 x ? 3k ? 2 x ? 3k ? 2 ? 0 的两个根为 x1 ? 3k , x2 ? 2k .

?

?

当k=1时 x1 ? 3, x2 ? 2 ,所以 a1 ? 2 ; 当k=2时, x1 ? 6, x2 ? 4 ,所以 a3 ? 4 ; 当k=3时, x1 ? 9, x2 ? 8 ,所以 a5 ? 8 ; 当k=4时, x1 ? 12, x2 ? 16 ,所以 a7 ? 12 ;
n a ?2 因为n≥4时, 2 ? 3n ,所以 2n

n

(n ? 4)

2 n (Ⅱ) S 2 n ? a1 ? a2 ? ? ? a2 n ? ? 3 ? 6 ? ? ? 3n ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2

?

?

=

3n2 ? 3n n?1 ?2 ?2 2


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