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安徽省枞阳中学2015-2016学年第一学期第二次月考


安徽省枞阳中学 2015-2016 学年第一学期第二次月考

高二(上)数学试卷
命题人:

吴云天老师

2015.10.29

本试卷分第Ⅰ卷(选择题 60 分)和第Ⅱ卷(非选择题 90 分)两部分。 全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 60 分) 一、选择题

(本大题共有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中有且只有一个是正确的,请把正确的答案填在指定的位置. ) 1.已知点 M(a,b)在圆 O : x 2 ? y 2 ? 1内, 则直线 l:ax + by = 1 与圆 O 的位置关 系是( A. 相切 ) B. 相交 C. 相离 D. 不确定 )

2.已知圆 C : x2 ? y 2 ? 4x ? 0 ,直线 l:mx-y+2-m=0.则 l 与 C ( A.相交 B.相切 C.相离

D. 以上三个选项均有可能[来源:学

3. 半径为 6 的圆与 x 轴相切,且与圆 x2+y2-6y+8=0 内切,则此圆的方程是 ( ) B. (x±4)2+(y-6)2=6 D. (x±4)2+(y-6)2=36

A. (x-4)2+(y-6)2=6 C. (x-4)2+(y-6)2=36

4. 过定点(1, 3)可作两条直线与圆 x2+y2+2kx+2y+k2-24=0 相切,则 k 的取 值范围是( A. ?2,??? ) B. ?? ?,?4? C. ?? ?,?4? ? ?2,??? D. ?? 4,2?

5. 设 P 是棱长相等的四面体内任意一点, 则 P 到各个面的距离之和是一个定值, 这个定值等于( A.四面体的棱长 C.四面体的高 ) B.四面体的斜高

2 2 6.过点 P ?1,1? 的直线,将 圆形区域 ?x, y ? x ? y ? 4 分两部分,使得这两部分的

?

D.四面体两对棱间的距离

?

面积之差最大,则该直线的方程为( A. x ? y ? 2 ? 0 B. y ? 1 ? 0

) C. x ? y ? 0 D. x ? 3 y ? 4 ? 0

7. 一束光线从点 A(-1, 1)出发经 x 轴反射,到达圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 上
1

一点的最短路程是( A.4 B.5

) C.3 2 -1 D.2 6

8. 已知正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1中,AA1 ? 2 AB, 则CD与平面BDC1所成角的 正弦值等于( (A)
2 3

) (B)
3 3

(C)

2 3

(D)

1 3

9. 和空间不共面的四个点距离相等的平面的个数是( A.7 个 10. 若直线 l: A. a 2 ? b2 ≤1 B.6 个 C.4 个 D.3 个



x y ? ? 1 通过点 M (cos ?, sin ? ) ,则( a b

) D. ,且
1 1 ? 2 ≥1 2 a b

B. a 2 ? b2 ≥1

C.

1 1 ? 2 ≤1 2 a b

11.△ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 2, 则向量 A. 在 方向上的投影为( B. 3 C. )



D. ﹣3

12. 关于 x 的方程 1 ? x 2 =kx+2 有唯一实数解,则实数 k 的取值范围是 ( A. ? 3 )

? ?

B. ?? ?,?2? ? ?2,???

C. ?? 2,2?

D. ?? ?,?2? ? ? 3 ? ?2,???

? ?

2

第Ⅱ卷(非选择题 90 分)
二、填空题(本大题共有 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡 的相应位置上. ) 13. 若不等式 kx ? 4 ? 2 的解集为 ?x 1 ? x ? 3?,则实数 k = 14. 下图是一个算法的流程图,则输出 S 的值

15.某单位有工程师 6 人,技术员 12 人,技工 18 人,要从这些人中抽取一个容量为 n 的样本;如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取,不用剔除个体;如果样本容量 增加 1 个,在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除 1 个个体, 则得样本容量为
16. 已知函数 f(x)=ax +bx-1(a , b∈R 且 a>0 )有两个零点,其中一个零
2

点在区间(1,2)内,则

b 的取值范围是 a ?1

三、解答题(第 17 题 10 分,18-22 每小题 12 分,共 70 分解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) (1)在 ?ABC 中, sin2 A ? sin2 B ? sin2 C ? sin A sin C , 求角 B 的大小.网 (2)已知 OC ? a1008 OA ? a1009 OB ,且 A、B、C 三点共线,O、A、B 三点不共线, 求等差数列 ?a n ?的前 2016 项的和 S 2016 18.(本小题满分 12 分) (1)将三进制数 10221(3)化为二进制数; (2) 已知△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(2,3)、B(-2,0)、C(2,0), 求∠A 平分线所在直线 l 的方程. 19.(本小题满分 12 分) ⑴已知数列 ?a n ?: a1 ? 1 ,an+1+an=4,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求函数 f ?x? ? 1 ? x ? x 的值域.

3

20.(本小题满分 12 分) 如图,在△ABC 中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD 是 BC 上的高,沿 AD 把△ABD 折起,使∠BDC=90°.

(1)证明:平面 ADB⊥平面 BDC; (2)若 BD=1,求三棱锥 D-ABC 的表面积.

21.(本小题满分 12 分)已知圆 C : x2 ? ( y ?1)2 ? 5 ,直线 l 过定点 P(1,1) 。 (1)求圆心 C 到直线 l 距离最大时的直线 l 的方程; (2) 若 l 与圆 C 交与不同两点 A、B,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程; AP 1 ? , (3) 若 l 与圆 C 交与不同两点 A、B,点 P 分弦 AB 为 PB 2 求此时直线 l 的方程。 22.(本小题满分 12 分)在数 1 和 e2 之间插入 n 个实数 x1,x2,x3,…,xn, 使得这 n+2 个数构成递增的等比数列,将这插入的 n 个数的乘积记作 Tn, 再令 an=lnTn, n ? N*. ⑴求数列 ?a n ?的通项公式; (2)设 bn=
1 ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 S n ; a n ? ( a n ? 2)

(3)若对任意 n ? N * ,都有 S n ?

m 成立,求实数 m 的取值范围. 60

4

安徽省枞阳中学 2015-2016 学年第一学期第二次月考

高二(上)数学试题答案
提供者: 吴云天老师
一、选择题(60 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 D 4 C 5 C 6 A 7 A 8 A 9 A 10 D 11 B 12 D 2015.10.29

二、填空题(20 分) 13.K=2, 14.63, 15. 6, 16. ?? 2,1? .

解答题(70 分) 17. ( 10 分)解: (1) 由已知得: a1008 ? a1009 ? 1 ∴ a1 ? a2016 ? a1008 ? a1009 ? 1 ∴等差数列 ?a n ?的前 2016 项的和 S 2016 =1008………………………5 分

(2) 由正弦定理和余弦定理得: cosB=

1 a2 ? c2 ? b2 =? 2 2ac

∴ B = 120? .……………………………………………………………10 分

18. (12分)解:(1)S 1 :先把三进制数化为十进制数: 10221 ?3 ? =1?3 4 +0?3 3 +2?3 2 +2?3 1 +1?3 0 =81+18+6+1=106. S 2 :再把十进制数化为二进制数: 106=1101010 ? 2 ? . ∴10221 ?3 ? =106=1101010 ? 2 ? . …………6分

5

(2)设M(x, y)是l上任一点,又AB:3x-4y+6=0,AC:x=2, 则由点M(x,y)到两直线AB,AC的距离相等得:
| 3x ? 4 y ? 6 | 32 ? 4 2 ?| 2 ? x |

化简得:2x-y-1=0,或 x+2y-8=0(结合图象舍去斜率为负的), 故所求直线 l:2x-y-1=0。……………………………………………12 分

19.(12 分)解: (1) 由已知得,a1=1,an+1+an=4
n n ? an?1 ? 2 ? ??an ? 2? ? an ? 2 ? ?? 1? ? an ? 2 ? ?? 1? ……………………6 分

(2) 多种解法求函数 f ?x? ? 1 ? x ? x 的值域为 1, 2 .…………………12 分

? ?

20.(12 分)解:(1)证明

∵折起前 AD 是 BC 边上的高,

∴当△ABD 折起后,AD⊥DC,AD⊥BD,又 DB∩DC=D, ∴AD⊥平面 BDC,∵AD?平面 ABD, ∴平面 ABD⊥平面 BDC. ………………………………………………………………6 分

(2)解

由(1)知,DA⊥DB,DC⊥DA,

∵DB=DA=DC=1,DB⊥DC,∴AB=BC=CA= 2, 1 1 从而 S△DAB=S△DBC=S△DCA= ?1?1= , 2 2

S△ABC= ? 2? 2?sin 60°=

1 2

3 , 2

1 3 3+ 3 ∴三棱锥 D-ABC 的表面积 S= ?3+ = . ………………………………12 分 2 2 2
6

21.(12 分)解:(1)∵点 P(1,1) 在圆 C : x2 ? ( y ?1)2 ? 5 内 ∴直线 l 与圆 C 相交,即直线 l 与圆 C 总有两个不同交点; 当 CP ? l 时, 圆心 C 到直线 l 距离最大, 此时直线 l 的方程为 x=1.……4 分 (2)连结 CM、CP,则 CM ? PM ? 0 , 设 M ?x, y ? ,则 ?x, y ? 1? ? ?x ? 1, y ? 1? ? 0 , 化简得: x2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 , 故弦 AB 中点的轨迹方程是 x2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 。………………………8 分 (3)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由
? 1 ??? ? AP 1 ??? ? 得 AP ? PB , PB 2 2

1 ∴ 1 ? x1 ? ( x2 ? 1) ,化简的 x2 ? 3 ? 2 x1 …………………………① 2 ?mx ? y ? 1 ? m ? 0 又由 ? 2 消去 y 得 (1 ? m2 ) x2 ? 2m2 x ? m2 ? 5 ? 0 ……(*) 2 ? x ? ( y ? 1) ? 5

2m 2 ………………………………………………………② 1 ? m2 3 ? m2 由①②解得 x1 ? ,代入(*)式解得 m ? ?1 , 1 ? m2 ∴直线 l 的方程为 x ? y ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 。……………………………………12 分

∴ x1 ? x2 ?

22.(12 分)解:⑴ 又Tn=x1x2?…?xn=en

∵1,x1,x2, ?…?xn,e 构成等比数列 ∴an=lnTn=lnen=n…………………………………4分

2

(2)

bn ?

1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? . an ? ? an ? 2? n ? n ? 2? 2 ? n n ? 2 ? ? 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?1 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2 ?? 3 ? ? 2 4 ? ? n n ? 2 ??

? Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

? 1? 1 1 1 ? 1?3 1 1 ? 1 ?3 2n ? 3 ? ?1 ? ? ? ? ? . …8 分 ?? ? ? ?? ? ? 2 ? 2 n ?1 n ? 2 ? 2 ? 2 n ?1 n ? 2 ? 2 ? ? 2 ? n ? 1?? n ? 2 ? ? ?

(3)? Sn ?

3 2n ? 3 3 ? ? , 4 2 ? n ? 1?? n ? 2 ? 4
m m 3 ? ? m ? 45. 成立 ? 60 60 4

? ∴对 ?n ? N , 都有 S n ?

故 m ? 45, ??? . ……………………………………………………………12 分

?

7


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