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课时提升作业 八 2.1.2


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课时提升作业 八
空间中直线与直线之间的位置关系

一、选择题(每小题 4 分,共 12 分) 1.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是

( A.异面 C.平行 B.相交 D.异面或相交 )

【解析】 选 D.如图所示,a,b 是异面直线,AB,AC 都与 a,b 相交,AB,AC 相交;AB,DE 都与 a,b 相交,AB,DE 异面.

2.下列命题中: ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等; ②如果两条相交直线和另两条直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直 角)相等; ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补; ④如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行. 正确的有 ( )
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A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

【解析】选 B.对于①,这两个角也可能互补,故①错;对于②,正确;对于③,不正 确,举反例:如图所示,BC⊥PB,AC⊥PA,∠ACB 的两条边分别垂直于∠APB 的两条 边,但这两个角既不一定相等,也不一定互补;对于④,由公理 4 可知正确.故②④ 正确,所以正确的命题有 2 个.

3.空间四边形 ABCD 中,E,F 分别为 AC,BD 的中点,若 CD=2AB,EF⊥AB,则 EF 与 CD 所成的角为 ( A.30° B.45° ) C.60° D.90°

【解析】选 A.取 AD 的中点 H,连接 FH,EH,在△EFH 中∠EFH=90°,HE=2HF,从而 ∠FEH=30°.

二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 4.如图所示,在三棱锥 P-ABC 的六条棱所在的直线中,异面直线共有________对.

【解析】AP 与 BC 异面、BP 与 AC 异面、PC 与 AB 异面. 答案:3
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5.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=AB=AA1,且异面直线 AC1 与 A1B 所成的角为 60°,则 ∠CAB 等于________.

【解析】由已知条件,构造正方体 ABDC-A1B1D1C1,

满足条件 AC=AB=AA1,且异面直线 AC1 与 A1B 所成的角为 60°, 所以∠CAB=90°. 答案:90° 三、解答题 6.(10 分) 如图所示,OA,OB,OC 为不共面的三条射线,点 A1,B1,C1 分别是 OA,OB,OC 上的点, 且 = = 成立.

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求证:△A1B1C1∽△ABC. 【解题指南】由初中所学平面几何知识,可证明两内角对应相等,进而证明两个 三角形相似. 【证明】在△OAB 中, 因为 = ,所以 A1B1∥AB.

同理可证 A1C1∥AC,B1C1∥BC. 所以∠C1A1B1=∠CAB,∠A1B1C1=∠ABC. 所以△A1B1C1∽△ABC. 【误区警示】在立体几何中,常利用等角定理来证明两个角相等.此时要注意观 察这两个角的方向必须相同,且能证明它们的两边对应平行. 【补偿训练】已知三棱锥 A-BCD 中,AB=CD,且直线 AB 与 CD 成 60°角,点 M,N 分 别是 BC,AD 的中点,求直线 AB 和 MN 所成的角.

【解析】如图,取 AC 的中点 P,连接 PM,PN, 因为点 M,N 分别是 BC,AD 的中点, 所以 PM∥AB,且 PM= AB; PN∥CD,且 PN= CD, 所以∠MPN(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角. 所以∠PMN(或其补角)为 AB 与 MN 所成的角.
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因为直线 AB 与 CD 成 60°角, 所以∠MPN=60°或∠MPN=120°. 又因为 AB=CD,所以 PM=PN, 若∠MPN=60°,则△PMN 是等边三角形, 所以∠PMN=60°,即 AB 与 MN 所成的角为 60°. 若∠MPN=120°,则易知△PMN 是等腰三角形. 所以∠PMN=30°,即 AB 与 MN 所成的角为 30°. 综上可知:AB 与 MN 所成角为 60°或 30°.

一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2016·兰州高一检测)如图所示,已知在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, l? 平面 A1B1C1D1,且 l 与 B1C1 不平行,则下列一定不可能的是 ( )

A.l 与 AD 平行 C.l 与 CD 所成角为 30°

B.l 与 AB 异面 D.l 与 BD 垂直

【解析】选 A.假设 l∥AD,则由 AD∥BC∥B1C1,知 l∥B1C1,这与“l 与 B1C1 不平行” 矛盾,所以 l 与 AD 不平行. 【补偿训练】 如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中,AB 与 CD 的位置关
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系为 (

)

A.相交 C.异面而且垂直

B.平行 D.异面但不垂直

【解析】选 D.将展开图还原为正方体,如图所示.

AB 与 CD 所成的角为 60°. 2.空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边形一定 是 ( ) B.矩形 D.正方形

A.空间四边形 C.菱形

【解析】 选 B.易证四边形 EFGH 为平行四边形.又因为 E,F 分别为 AB,BC 的中点, 所以 EF∥AC,又 FG∥BD,所以∠EFG 或其补角为 AC 与 BD 所成的角.而 AC 与 BD 所 成的角为 90°,所以∠EFG=90°,故四边形 EFGH 为矩形.

【拓展延伸】作异面直线所成角的三种方法:①直接平移法(可利用图中已有的
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平行线);②中位线平移法;③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何 体,以便找到平行线). 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.如图,点 P,Q,R,S 分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线 PQ 与 RS 是异面直线的一个图是________.

【解析】①中 PQ∥RS,②中 RS∥PQ,④中 RS 和 PQ 相交. 答案:③ 4.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 A1B1 所成的角的 余弦值为________. 【解析】设棱长为 1,因为 A1B1∥C1D1,所以∠AED1 就是异面直线 AE 与 A1B1 所成的 角.在△AED1 中,AE= cos∠AED1= 答案: 三、解答题 5.(10 分)如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中的面 A1C1 内有一点 P,经过点 P 作棱 BC 的平行线,应该怎样画?并说明理由. = = . = ,

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【解题指南】由于 BC∥B1C1,所以平行于 BC 的直线只需要平行于 B1C1 即可. 【解析】如图所示,

在面 A1C1 内过 P 作直线 EF∥B1C1,交 A1B1 于点 E,交 C1D1 于点 F,则直线 EF 即为所求. 理由:因为 EF∥B1C1,BC∥B1C1,所以 EF∥BC. 【补偿训练】在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中 , 侧面都是矩形 , 底面 ABCD 是菱形且 AB=BC=2 ,∠ABC=120°,若异面直线 A1B 和 AD1 所成的角为 90°,试求 AA1.

【解析】连接 CD1,AC,

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由题意得四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中 A1D1∥BC,A1D1=BC, 所以四边形 A1BCD1 是平行四边形, 所以 A1B∥CD1, 所以∠AD1C(或其补角)为 A1B 和 AD1 所成的角, 因为异面直线 A1B 和 AD1 所成的角为 90°, 所以∠AD1C=90°, 因为四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中 AB=BC=2 所以△ACD1 是等腰直角三角形. 所以 AD1= AC, 因为底面 ABCD 是菱形且 AB=BC=2 所以 AC=2 ×sin 60°×2=6, , ,∠ABC=120°, ,

所以 AD1= AC=3 所以 AA1= =

=

.

【拓展延伸】求两异面直线所成角的技巧 求两异面直线所成角的关键在于作角,总结起来有如下“口诀”: 中点、端点定顶点,平移常用中位线; 平行四边形柱中见,指出成角很关键; 求角构造三角形,锐角、钝角要明辨; 平行线若在外,补上原体在外边.

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