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2013年高中数学竞赛辅导试题: 函数零点与一元二次方程根的分布


第5节
函数的零点:对于函数

函数零点与一元二次方程根的分布

y ? f (x) ,把使 f ( x) ? 0 的实数 x 叫做函数 y ? f (x) 的零点。
y ? f (x) 在 区 间 [a, b] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 , 并 且 有

零点存在性定理:如果函数

那么, 函数 y ? f (x) 在区间 (a, b) 内有零点, 即存在 c ? (a, b) , 使得 f (c) ? 0 , f (a) ? f (b) ? 0 , 这个 c 也就是方程

f ( x) ? 0 的根。

函数与方程思想:若

y = f ( x) 与 x 轴有交点 x0 ? f ( x0 )=0 若 y = f ( x )与 y = g ( x )有交点( x0 , y0 ) ? f ( x) = g ( x ) 有解 x0 。

一元二次方程根的分布 一、一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布, 指的是方程的根相对于零的关系。 比如二次方程有一正根, 有一负根, 其实就是指这个二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程 ax 【定理 1】 x1
2

? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两个实根为 x1 , x 2 ,且 x1 ? x2 。
? ? ? b 2 ? 4ac ? 0

? 0 , x2 ? 0 (两个正根) ? ? ?



b ? ? x1 ? x2 ? ? ? 0 a ? c ? ? x1 x2 ? a ? 0 ?

推论: x1

?b ? 0 , x 2 ? 0 ? ?? ? 0 a

?

2

? 4ac ? 0

? ? ? f ( 0) ? c ? 0 ?b ? 0 ?

?? ? b 2 ? 4ac ? 0 或 ?a ? 0 ? ? ? f ( 0) ? c ? 0 ?b ? 0 ?

【定理 2】 x1

? 0 , x2 ? 0 ? ? ?

?

? ? b 2 ? 4ac ? 0

推论: x1

? 0 , x2 ? 0 ?

b ? ? x1 ? x 2 ? ? ? 0 a ? c ? ? x1 x 2 ? a ? 0 ? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? 或? ?a ? 0 ?a ? 0 ? ? ? f ( 0) ? c ? 0 ? f ( 0) ? c ? 0 ?b ? 0 ?b ? 0 ? ?



【定理 3】 x1

? 0 ? x2 ?

c ?0 a
b b 2 ? 0 ;○ x1 ? 0 , x2 ? 0 ? c ? 0 且 ? 0 。 a a

1 【定理 4】○ x1

? 0 , x2 ? 0 ? c ? 0 且

二.一元二次方程的非零分布—— k 分布

? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两实根为 x1 , x 2 ,且 x1 ? x2 。 k 为常数。则一 元二次方程根的 k 分布(即 x1 , x 2 相对于 k 的位置)有以下若干定理。
设一元二次方程 ax
2

【定理 1】 k

? x1 ? x 2 ?

? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ?af (k ) ? 0 ? b ?? ?k ? 2a

【定理 2】 x1

? x2 ? k ?

? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 。 ? ?af (k ) ? 0 ? b ?? ?k ? 2a

【定理 3】 x1

? k ? x 2 ? af (k ) ? 0 。

? 0 ? x 2 ? ac ? 0 。 推论 2 x1 ? 1 ? x 2 ? a(a ? b ? c) ? 0 。 【定理 4】有且仅有 k1 ? x1 (或 x 2 ) ? k 2 ? f (k1 ) f (k 2 ) ? 0
推论 1 x1

?a ? 0 ? f ( k ) ? 0 ?a ? 0 ? f (k ) ? 0 1 ? 1 【定理 5】 k1 ? x1 ? k 2 ? p1 ? x2 ? p 2 ? ? f ( k ) ? 0 或 ? ? ? 2 ? f (k 2 ) ? 0 ?f (p ) ? 0 ? f ( p1 ) ? 0 1 ? ? ? f ( p2 ) ? 0 ? f ( p2 ) ? 0 ? ?

【定理 6】 k1

? x1 ? x2 ? k 2 ?

? ? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ? ?a ? 0 或 ?a ? 0 ? ? ? f ( k1 ) ? 0 ? f ( k1 ) ? 0 ? f (k ) ? 0 ? f (k ) ? 0 2 2 ? ? b b ? ? ?k1 ? ? 2 a ? k 2 ?k1 ? ? 2 a ? k 2 ? ?

三、例题

【例1】 若一元二次方程 kx2 ? 3kx ? k ? 3 ? 0 的两根都是负数,求 k 的取值范围。

【例2】
根?

k 在何范围内取值,一元二次方程 kx2 ? 3kx ? k ? 3 ? 0 有一个正根和一个负

【例3】 (1)已知方程 x 2 ? 11x ? m ? 2 ? 0 的两实根都大于 1,求 m 的取值范围。
(2)若一元二次方程 mx 范围。 (3) 若一元二次方程 mx
2 2

? (m ? 1) x ? 3 ? 0 的两个实根都大于-1,求 m 的取值

? (m ? 1) x ? 3 ? 0 的两实根都小于 2, m 的取值范围。 求

【例4】 (1)已知方程 x 2 ? 2mx ? 2m2 ? 3 ? 0 有一根大于 2,另一根比 2 小,求 m 的取
值范围。 的取值范围。 (2) 已知方程 x
2

? (m ? 2) x ? 2m ? 1 ? 0 有一实根在 0 和 1 之间, m 求

例 1、 k (

??

12 或 k>3)例 2、 (0< k <3) 5
129 4
)2、 m ? (

例 3、1、 12 ? m ? ( 例 4、1( ? 1 ?

?2或m ? 5 ? 2 6 )3、 m ? ? 1 或m ? 5 ? 2 6 ) (
2
2(

2 2 ) ? m ? ?1 ? 2 2

1 2 ?m? ) 2 3

函数零点与一元二次方程根的分布
一、选择题 1、已知

b , ? 、 ? 的大小关系是( ) A、 ? < a < b < ? B、 a < ? < ? < b C、 a < ? < b < ? <b 2 2、方程 f ( x) = ax ? bx ? c =0( a >0)的两个根都大于 1 的充要条件是 ( ) b b c A.△≥0 且 f (1)>0 B. f (1)>0 且- >2 C.△≥0 且- >2, >1 a a a b - >2。 a
3、函数 (A)没有零点 4、 已知 是 在 内 ( )

f ( x) =( x - a )( x - b )-2( a < b ),并且 ? , ?

是方程

f ( x) =0 的两根( ? < ?

),则实数 a ,

D、? < a < ?

D.△≥0 且

f

(1)>0,

(B)有且仅有一个零点(C)有且仅有两个零点 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 轴的交点的个数为( ) (D)9 的图象可能是()

(D)有无穷多个零点 时, ,则函数

的图象在区间[0,6]上与 (A)6 5、设 (B)7 ,二次函数 (C)8

6、设函数 值范围是( )

,若

时,有

,则实数

的取

A.

B.

C.

D.

7、 设二次函数

的值域为

的最大值为 (



A.

B.

C.

D.

8.函数

f ( x) ? e x ? x ? 2

的零点所在的区间是( (C) (0,1)

) (D) (1,2)

(A)(-2,-1) 9.若函数 A.若 B.若 C.若 D.若

(B) (-1,0)

y ? f (x) 在区间 ? a, b ? 上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是() f (a) f (b) ? 0 ,不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; f (a) f (b) ? 0 ,存在且只存在一个实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; f (a) f (b) ? 0 ,有可能存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; f (a) f (b) ? 0 ,有可能不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ;

10.如果二次函数

y ? x 2 ? mx ? (m ? 3) 有两个不同的零点,则 m 的取值范围是()
B.

A.

?? 2,6?

?? 2,6?

C.

?? 2,6?

D.

? ??, ?2 ? ? ? 6, ?? ?

11.直线

y ? 3 与函数 y ? x 2 ? 6 x
B. 3 个
3

的图象的交点个数为() D. 1 个

A. 4 个 12.若方程 x A. ?1 二、填空题 13、已知函数

C. 2 个

? x ? 1 ? 0 在区间 (a, b)(a, b ? Z , 且b ? a ? 1) 上有一根,则 a ? b 的值为()
B. ?2 C. ?3 D. ?4

,若关于 x 的方程

有两个不同的实根,则实数 k 的取值范

围是________. 14.函数

f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点个数为。

15.函数

1 1 f ( x) 对一切实数 x 都满足 f ( ? x) ? f ( ? x) ,并且方程 f ( x) ? 0 有三个实根,则这三个实 2 2
f ( x) ? 4 x ? x 2 ? a 的零点个数为 3 ,则 a ? ______。

根的和为。 16.若函数

三解答题 17、已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围.

18、若方程 x

2

? (k ? 2) x ? k ? 0 的两实根均在区间( ? 1 、1)内,求 k 的取值范围。

19、若方程 x 值范围。

2

? (k ? 2) x ? 2k ? 1 ? 0 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间,求 k 的取

20、若方程 4

x

? (m ? 3) ? 2 x ? m ? 0 有两个不相同的实根,求 m 的取值范围。

21、若关于 x 的方程 lg( x

2

? 20 x) ? lg(8 x ? 6a ? 3) ? 0 有唯一的实根,求实数 a 的取值范围。

参考答案: 一、选择题 ADBADC 二、填空题 13(0,1) CCCDAC

14、2
15、1.5 16、4 三解答题 17、(1) ?

1 5 1 ? m ? ? .(2) ? ? m ? 1 ? 2 6 2 2
3?k?? 1 ) 2

18、 ? 4 ? 2 ( 19、 (

1 2 ?k? ) 2 3

20、0< m <1

……① ? x 2 ? 20 x ? 0 ? x ? ?20或x ? 0 ? 21、提示:原方程等价于 ? 即? 2 2 ? x ? 20 x ? 8 x ? 6a ? 3 ? x ? 12 x ? 6a ? 3 ? 0……② ? 2 令 f ( x) = x +12 x +6 a +3 11 (1) 若抛物线 y = f ( x) 与 x 轴相切,有△=144-4(6 a +3)=0 即 a = 。 2

将a= (2)

11 11 代入式②有 x =-6 不满足式①,∴ a ≠ 。 2 2 若抛物线 y = f ( x) 与 x 轴相交, 注意到其对称轴为 x =-6, 故交点
的横坐标有且仅有一个满足式①的充要条件是

y

-6 ? f (?20) ? 0 163 1 -20 解得 ? ?a?? 。 ? 6 2 ? f (0) ? 0 163 1 ∴当 ? ? a ? ? 时原方程有唯一解。 6 2 2 另法:原方程等价于 x +20 x =8 x -6 a -3( x <-20 或 x >0)……③ 2 问题转化为:求实数 a 的取值范围,使直线 y =8 x -6 a -3 与抛物线 y = x +20 x ( x <-20 或 x >0)
有且只有一个公共点。 虽然两个函数图像都明确,但在什么条件下它们有且只有一个公共点却不明显,可将③变形为 x +12
2

O

x

x +3=-6 a ( x <-20

或 x >0),再在同一坐标系中分别也作出抛物线

y = x 2 +12 x +3

和直线

y =-6 a ,

如图,显然当 3<-6 a ≤163 即 ?

163 1 ? a ? ? 时直线 y =-6 a 与抛物线有且只有一个公共点。 6 2

y
163 3

-20

-6

O

x


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