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2014世纪金榜课时提升作业(四十六) 第七章 第五节


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课时提升作业(四十六)
一、填空题 1.(2013·连云港模拟)设 a,b 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面, 下列命题中正确的是________. ①若α ⊥β ,a∥α ,则 a⊥β ; ②若α

⊥β ,a⊥β ,则 a∥α ; ③若 a⊥b,a⊥α ,b⊥β ,则α ⊥β . 2.已知直线 a 和两个平面α ,β ,给出下列四个命题: ①若 a∥α ,则α 内的任何直线都与 a 平行; ②若 a⊥α ,则α 内的任何直线都与 a 垂直; ③若α ∥β ,则β 内的任何直线都与α 平行; ④若α ⊥β ,则β 内的任何直线都与α 垂直. 则其中正确的是________(填序号). 3.对于直线 m,n 和平面α ,β ,α ⊥β 的一个充分条件是_______.(填序号) (1)m⊥n,m∥α ,n∥β (2)m⊥n,α ∩β =m,n?α (3)m∥n,n⊥β ,m?α (4)m∥n,m⊥α ,n⊥β 4.如图,在三棱锥 D-ABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中点,则下列命题
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中正确的有_______(填序号). ①平面 ABC⊥平面 ABD ②平面 ABD⊥平面 BCD ③平面 ABC⊥平面 BDE,且平面 ACD⊥平面 BDE ④平面 ABC⊥平面 ACD,且平面 ACD⊥平面 BDE 5.已知α ,β ,γ 是三个不同的平面,命题“α ∥β ,且α ⊥γ ?β ⊥γ ”是真 命题,如果把α ,β ,γ 中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的 所有新命题中,真命题的个数为_______. 6.已知直线 m,n 和平面α ,β 满足 m⊥n,m⊥α ,α ⊥β ,则 n 与α 的关系是 _________. 7.如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将 △ADB 沿 BD 折起, 使平面 ABD⊥平面 BCD, 构成三棱锥 A-BCD, 则在三棱锥 A-BCD 中,下列命题正确的是_______.

①平面 ABD⊥平面 ABC; ②平面 ADC⊥平面 BDC; ③平面 ABC⊥平面 BDC; ④平面 ADC⊥平面 ABC. 8.(2013·南京模拟)如图,已知三棱锥 P-ABC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 的中 点,D 为 PB 的中点,且△PMB 为正三角形,则平面 PAC 与平面 ABC 所成的角为 _________.
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9.(2013·徐州模拟)如图①,E,F 分别是直角三角形 ABC 边 AB 和 AC 的中点, ∠B=90°,沿 EF 将三角形 ABC 折成如图②所示的锐二面角 A1-EF-B,若 M 为线段 A1C 的中点,下列结论正确的是_______. (1)直线 FM∥平面 A1EB. (2)FM⊥平面 A1EB. (3)平面 A1FC⊥平面 A1BC. (4)平面 A1FC 与平面 A1BC 所成的角为 60°.

10.(能力挑战题)如图, 正方形 BCDE 的边长为 a,已知 AB ? 3BC, 将 直角△ABE 沿 BE 边折起,A 点在平面 BCDE 上的射影为 D 点,则对 翻折后的几何体有如下描述: (1)AB 与 DE 所成角的正切值是 2 . (2)三棱锥 B-ACE 的体积是 a 3 . (3)AB∥CD. (4)平面 EAB⊥平面 ADE.
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1 6

(5)直线 BA 与平面 ADE 所成角的正弦值为

3 . 3

其中正确的叙述有_______.(写出所有正确结论的编号) 二、解答题 11.(2013·南通模拟)如图,正方形 ABCD 所在的平面与三角 形 CDE 所在的平面交于 CD,AE⊥平面 CDE,且 AB=2AE. (1)求证:AB∥平面 CDE. (2)求证:平面 ABCD⊥平面 ADE. 12.(2013· 海门模拟)如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 四边形 ABCD 为矩形, AB⊥BP,M,N 分别为 AC,PD 的中点. 求证:(1)MN∥平面 ABP. (2)平面 ABP⊥平面 APC 的充要条件是 BP⊥PC.

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答案解析
1.【解析】①错误.α⊥β,a∥α,则 a 与β位置关系不定. ②错误.α⊥β,a⊥β,则 a∥α或 a?α. ③正确.过 P 作 PA⊥α于 A,则 PA∥a, 过 P 作 PB⊥β于 B,则 PB∥b, 因为 a⊥b,所以 PA⊥PB,又 PA⊥AO,PB⊥BO,故 PAOB 为矩形,故∠AOB=90°, 由于∠AOB 为二面角的平面角,所以α⊥β. 答案:③ 2.【解析】①错误.平行或异面. ②正确.由线面垂直的定义可知. ③正确.由面面平行的定义可知. ④错误.也可能在α内与α斜交或平行. 答案:②③ 3.【解析】对于(3),∵m∥n,n⊥β,∴m⊥β, 又 m?α,∴α⊥β. 答案:(3) 4.【解析】因为 AB=CB,且 E 是 AC 的中点,所以 BE⊥AC,同理有 DE⊥AC,于 是 AC⊥平面 BDE.因为 AC?平面 ABC, 所以平面 ABC⊥平面 BDE.又由于 AC?平面 ACD,所以平面 ACD⊥平面 BDE.故只有③正确. 答案:③ 5.【解析】若α,β换为直线 a,b,则命题化为“a∥b,且 a⊥γ?b⊥γ” ,此命 题为真命题;若α,γ换为直线 a,b,则命题化为“a∥β,且 a⊥b?b⊥β”,
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此命题为假命题; 若β,γ换为直线 a,b,则命题化为“a∥α,且 b⊥α?a⊥b” , 此命题为真命题. 答案:2 6.【解析】如图所示,

图①中 n 与β相交,n?α,②中 n?β,n∥α,③中 n∥β,n∥α. 答案:n∥α或 n?α 7.【解析】∵在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°, ∴BD⊥CD.又平面 ABD⊥平面 BCD, 且平面 ABD∩平面 BCD=BD, 故 CD⊥平面 ABD, 则 CD⊥AB. 又 AD⊥AB,故 AB⊥平面 ADC. ∴平面 ABC⊥平面 ADC. 答案:④ 8.【解析】∵△PMB 为正三角形,D 为 PB 的中点, ∴MD⊥PB,∴AP⊥PB, 又∵AP⊥PC,PB∩PC=P,∴AP⊥平面 PBC, ∵BC?平面 PBC,∴AP⊥BC, 又∵BC⊥AC,AC∩AP=A,∴BC⊥平面 APC, ∵BC?平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 APC, ∴平面 PAC 与平面 ABC 所成的角为 90°.
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答案:90° 9.【解析】(1)取 A1B 的中点 N,连结 NE,NM, 则 MN
1 BC,EF 2 1 BC,所以 MN 2

FE,

所以四边形 MNEF 为平行四边形,所以 FM∥EN, 又因为 FM? 平面 A1EB,EN?平面 A1EB, 所以直线 FM∥平面 A1EB. 故(2)不正确. (3)因为翻折前 E,F 分别为 AB 和 AC 的中点,所以可知 A1F=FC, 所以 FM⊥A1C,同理,EN⊥A1B, 由(1),知 FM∥EN,所以 FM⊥A1B, 又因为 A1C∩A1B=A1, 所以 FM⊥平面 A1BC, 又因为 FM?平面 A1FC, 所以平面 A1FC⊥平面 A1BC. 由(3)可知,(4)不正确. 答案:(1)(3) 10.【解析】翻折后得到的直观图如图所示. AB 与 DE 所成的角也就是 AB 与 BC 所成的角,即为∠ABC. 因为 AD⊥平面 BCDE,所以平面 ADC⊥平面 BCDE. 又因为四边形 BCDE 为正方形, 所以 BC⊥CD.可得 BC⊥平面 ACD. 所以 BC⊥AC.
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因为 BC ? a, AB ? 3BC ? 3a, 则 AC ? AB2 ? BC2 ? 2a. 在 Rt△ABC 中, tan?ABC ? 由 AD ? AC2 ? CD 2 ? a, 可得
1 1 a3 故(2)正确; VB?ACE ? VA ?BCE ? ? a 2 ? a? , 3 2 6

AC ? 2. 故(1)正确; BC

因为 AB 与 CD 异面,故(3)错; 因为 AD⊥平面 BCDE,所以平面 ADE⊥平面 BCDE. 又 BE⊥ED,所以 BE⊥平面 ADE,故平面 EAB⊥平面 ADE,故(4)正确; 由(4)可知,直线 BA 与平面 ADE 所成的角为∠BAE. 在 Rt△ABE 中, sin?BAE ? 答案:(1)(2)(4)(5) 11.【证明】(1)正方形 ABCD 中,AB∥CD,又 AB? 平面 CDE,CD?平面 CDE,所以 AB∥平面 CDE. (2)因为 AE⊥平面 CDE,且 CD?平面 CDE,所以 AE⊥CD,又正方形 ABCD 中,CD ⊥AD,且 AE∩AD=A,AE,AD?平面 ADE,所以 CD⊥平面 ADE,又 CD?平面 ABCD,所 以平面 ABCD⊥平面 ADE. 12.【证明】(1)连结 BD,由于四边形 ABCD 为矩形,则 BD 必过点 M,又点 N 是 PD 的中点,则 MN∥BP. ∵MN? 平面 ABP,BP?平面 ABP, ∴MN∥平面 ABP. (2)充分性:由“BP⊥PC”?“平面 ABP⊥平面 APC”.
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BE 3 ? , 故(5)正确. AB 3

∵AB⊥BP,AB⊥BC,BP?平面 PBC,BC?平面 PBC, BP∩BC=B, ∴AB⊥平面 PBC,又∵PC?平面 PBC,∴AB⊥PC, 又 PC⊥BP,AB,BP 是平面 ABP 内两条相交直线, ∴PC⊥平面 ABP,PC?平面 APC, ∴平面 ABP⊥平面 APC, 必要性:由“平面 ABP⊥平面 APC”?“BP⊥PC”. 过 B 作 BH⊥AP 于 H, ∵平面 ABP⊥平面 APC,平面 ABP∩平面 APC=AP, BH?平面 ABP,∴BH⊥平面 APC, ∵PC?平面 APC,∴BH⊥PC, 由上已证 AB⊥PC, 又 BH∩AB=B,BH,AB?平面 ABP. ∴PC⊥平面 ABP,又∵PB?平面 ABP,∴PB⊥PC.

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