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浙江省温州市2015届高三第一次适应性测试(一模)数学文试题 Word版含答案


2015 年温州市高三第一次适应性测试 数学(文科)试题(2015.2)
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部 分 2 至 4 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 参考公式:
柱体的体积公式:V=Sh 锥体的体积公式:V= Sh 台体的体积公式 V 高 球的表面积公式 S=4πR
2

其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的

1 3

? 1 (S1 ? S1S2 ? S2 )h 3

球的体积公式 V=

4 3 πR 3

其中 R 表示球的半径

选择题部分(共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.设集合 P={x|y= x +1},Q={y|y=x3},则 P∩ Q= ( A.? ) B.[0,+∞) C.(0,+∞) D.[1,+∞) ( B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )

2. 设 a,b∈R,则“lga>lgb”是“ 1 ? 1 ”的

a

b

A.充分而不必要条件 C.充要条件 3. 已知 sinx+ 3 cosx= 6 ,则 cos( ? -x)=

5

6

( A.- 3



5

B. 3

5

C.- 4 D. 4

5

5

4. 下列命题正确的是 ( )

A.垂直于同一直线的两条直线互相平行 B.平行四边形在一个平面上的平行投影一定是平行四边形 C.平面截正方体所得的截面图形可能是正立边形 D.锐角三角形在一个平面上的平行投影不可能是钝角三角形

-1-

2 y 5. 已知双曲线 x 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与圆 C: (x- 2 )2+y2=1 相切,则双曲线的离

2

a

b

心率是 ( A.2 ) B.3 C. 3 D. 2

6. 若函数 f(x)=sinωx(ω>0)在 [ ? , ? ] 上是单调函数,则 ω 应满足的条件是

6 2



) B. ω≥1 C. 0<ω≤1 或 ω=3 D. 0<ω≤3 )

A.0<ω≤1

7. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(2+x)=f(-x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x2,则 f(2015)= ( A.-1 B.1 C.0 D.20152 8. 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知二面角 A1-BD-A 的大小为 ? ,若空间有一条直线 l 与

6

直线 CC1 所成的角为 ? ,则直线 l 与平面 A1BD 所成角的取值范围是

4

( D. [0, ? ]



A. [ ? , 7? ]

12 12

B. [ ? , ? ]

12 2

C. [ ? , 5? ]

12 12

2

非选择题部分(共 110 分)
二、 填空题 :本大题共 7 小题,前 4 题每题两空,每空 3 分,后 3 题每空 4 分,共 36 分。 9. 设函数 f(x)= ? 2

? ?( 1 ) x , x ? 0 ,则 f(-2)= ? ?log 2 x, x ? 0
.



若 f(a)=1,则实数 a=

10. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n-a, 则实数 a= 公比 q= .



11. 某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,其中俯视图中的 曲线是四分之一的圆弧, 则该几何体的体积等于 表面积等于 cm2.
2

cm3, (第 11 题图)

2 y ? 1 的左右焦点,过右焦点 F2 的直线 l: y=kx+m 与椭圆 C 12. 已知 F1,F2 是椭圆 C: x ?

4

3

相交于 A,B 两点,M 是弦 AB 的中点,直线 OM(O 为原点)的斜率为 1 ,则△ ABF1

4

的周长等于

,斜率 k=

.

13. 已知 a,b∈R,若 a2+b2-ab=2,则 ab 的最小值是

-2-

14. 若直线 l: ax-by=1 与不等式组 ?3x ? y ? 2 ? 0 表示的平面区域无公共点,则 3a-2b 的

? ?y ?1

? ?3x ? y ? 2 ? 0
.

最小值与最大值的和等于

15. 已知 △ ABC , AB=7 , AC=8 , BC=9 , P 为平面 ABC 内一点,满足 PA ? PC ? ?7 ,则

| PB |
的取值范围是 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本题满分 15 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a-b=2, c=4, sinA=2sinB. (Ⅰ) 求△ABC 的面积; (Ⅱ) 求 sin(A-B).

17. (本题满分 15 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn,且满足:

1 ? 2 ? 3 ? a1 ?1 a2 ?1 a3 ?1
(Ⅰ) 求 an; (Ⅱ) 求证: 1 ? 1 ?

?

n ? n ,n∈N*. an ?1

S1

S2

? 1 ?3 Sn 2

18. (本题满分 15 分)如图,在四面休 ABCD 中, 已知∠ ABD=∠CBD=60°,AB=BC=2, (Ⅰ) 求证:AC⊥BD; (Ⅱ)若平面 ABD⊥平面 CBD,且 BD= 5 ,

2

求二面角 C-AD-B 的余弦值。

(第 18 题图)

-3-

19. (本题满分 15 分)已知抛物线 C: y2=4x 的焦点为 F,点 P(4,0). (Ⅰ)设 Q 是抛物线 C 上的动点,求|PQ|的最小值; (Ⅱ)过点 P 的直线 l 与抛物线 C 交于 M、 N 两点, 若△ FMN 的面积为 6 5 , 求直线 l 的方程。

20. (本题满分 14 分)已知函数 f(x)=

1 ?x | x?2|

(I)判断函数 f(x)在(-2,-1)上的单调性并加以证明; (II)若函数 g(x)=f(x)-2|x|-m 有四个不同的零点,求实数 m 的取值范围.

2015 年温州市高三第一次适应性测试

数学(文科)试题参考答案
-4-

2015.2

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 题号 1 答案 B 2 A 3 B 4 C 5 D 6 C 7 A 8 C

二、填空题:本大题共 7 小题,前 4 题每题 6 分,后 3 题每题 4 分,共 36 分. 9. 4,2或0 10. 1, 3 11. 3? , 6? ? 12 12. 8, ?3 13. ?

2 3

14. ?2

15. [4,10]

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 15 分) a b B (I)解:由 sin A = 2sin B 及正弦定理 得 = sin A sin B a = 2b …… …… ……2 分 a b = 2 a = 4, b = 2 所以 …… … ……3 分 又 4 4 c = 4 所以 D ABC 是等腰三角形 又 取底边 AC 的中点 D ,连 BD ,则高 BD = 15 ………5 分 所以 D ABC 的面积 S ?

1 ? AC ? BD ? 15; 2
1 4

………7 分

A 2

D

C

15 , cos A = (II)在 Rt D ABD 中, sin A = 4 B 1 B 15 sin = , cos = 2 4 2 4 B B 1 sin B = 2sin ?cos 2鬃 2 2 4 cos B = cos 2

…… …… ……10 分
15 = 4 15 8

B B 15 2 1 7 - sin 2 ? ( ) - ( ) 2 = ………… ……12 分 2 2 4 4 8

sin( A ? B) ? sin A ? cos B ? cos A ? sin B

…… …… ……13 分 …… …… ……15 分

?

15 7 1 15 3 15 ? ? ? ? 4 8 4 8 16
1 ? 1,即a1 ? 2 a1 ? 1

17. (本题满分 15 分) (I)解:当 n ? 1 时, ……………1 分

1 2 n ? ?L ? ? n ……………① a1 ? 1 a2 ? 1 an ? 1

当 n ? 2 时, 1 2 n ?1 ? ?L ? ? n ? 1 ……………② a1 ? 1 a2 ? 1 an ?1 ? 1 由① ? ②得
n ? 1 ,即 an ? n ? 1 (n ? 2) an ? 1

……………3 分 ……………5 分

……………………………………6 分 ? an ? n ? 1 (n ? N * ) (忘了求 a1 ? 2 扣 1 分,猜想 a n 而没证明扣 3 分) (II) (方法一)证明: Q an ? an?1 ? 1,所以数列 ?an ? 是等差数列。……7 分 (a ? a )n (n ? 3)n ……………8 分 ? Sn ? 1 n ? 2 2

-5-

1 2 2 1 1 ? ? ( ? ) Sn n(n ? 3) 3 n n ? 3 ? 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? S1 S2 S n ?1 S n

……………10 分

2 1 1 1 ? [( ? ? ) (? 3 1 4 2

1 1 1 1 ?) ? ( ? ??? ) ? ?( 5 3 6 n n?

1 )] 3

……………12 分 ……………13 分 ……………15 分 ………7 分 ……………8 分 ……………10 分 ……………11 分

2 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ? ) ? ( ? ? )] 3 2 3 n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1 1 11 3 ? (1 ? ? ) ? ? 3 2 3 9 2

(方法二)证明: Q an ? an?1 ? 1,所以数列 ?an ? 是等差数列。 (a ? a )n (n ? 3)n ? Sn ? 1 n ? 2 2 1 2 2 1 1 ? ? ? 2( ? ) (n ? 2) Sn n(n ? 3) n(n ? 1) n n ?1 当 n ? 1 时,

当 n ? 2 时, 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? S1 S2 S n ?1 S n
?

1 1 3 ? ? 成立 S1 2 2

1 1 1 1 1 1 1 ?2 [ ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ( ? ? )] a1 2 3 4 5 n n ? 1

……………12 分 ……………14 分 ……………15 分 ………7 分 ……………8 分 ……………10 分

?
?

1 1 1 ? 2( ? ) 2 2 n ?1
3 2

(方法三)证明: Q an ? an?1 ? 1,所以数列 ?an ? 是等差数列。 (a ? a )n (n ? 3)n ? Sn ? 1 n ? 2 2 1 2 2 1 1 ? ? ? ? Sn n(n ? 3) n(n ? 2) n n ? 2
? 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? S1 S2 S n ?1 S n

1 1 1 1 1 1 1 1 12 分 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? (? ? ) (? ? …………… ) 1 3 2 4 n ? 1 n ? 1 n n? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ??? ? ) ? ( ? ? ??? ? ? ) 1 2 3 n 3 4 n ?1 n ? 2 1 1 1 1 ?( ? )?( ? ) 1 2 n ?1 n ? 2
?

…………13 分 ……………14 分

3 ……………15 分 2 18. (本题满分 15 分) (I)证明(方法一) :∵ ?ABD ? ?CBD , AB ? BC , BD ? BD . ∴ ?ABD ? ?CBD . ∴ AD ? CD .………………2 分

-6-

取 AC 的中点 E ,连结 BE, DE ,则 BE ? AC , DE ? AC . ………………………………………………………………3 分 又∵ BE ? DE ? E , ……………………………………4 分 BE ? 平面 BED , BD ? 平面 BED , ∴ AC ? 平面 BED , ……………………………………5 分 ∴ AC ? BD ………………………………………………6 分 (方法二) :过 C 作 CH ⊥ BD 于点 H .连接 AH .…1 分 ∵ ?ABD ? ?CBD , AB ? BC , BD ? BD . B ∴ ?ABD ? ?CBD .∴ AH ⊥ BD .…………………3 分 又∵ AH ? CH ? H ,……………………………………4 分 AH ? 平面 ACH , CH ? 平面 ACH , ∴ BD ⊥平面 ACH .……………………………………5 分 又∵ AC ? 平面 ACH , ∴ AC ? BD .……………………………………………6 分 (方法三) : AC ? BD ? ( BC ? BA) ? BD ………………2 分

A

E D

C

? BC ? BD ? BA ? BD

………………………………3 分

? BC ? BD cos?CBD ? BA ? BD cos?ABD ………4 分
? 2 BD cos 60? ? 2 BD cos 60? ? 0 ,……………………5 分 ∴ AC ? BD .……………………………………………6 分
(II)解: 过 C 作 CH ⊥ BD 于点 H .则 CH ? 平面 BCD , 又∵平面 ABD ⊥平面 BCD ,平面 ABD ? 平面 BCD =BD , ∴ CH ⊥平面 ABD . ……………………………………8 分 过 H 做 HK ⊥ AD 于点 K ,连接 CK . ………………9 分 ∵ CH ⊥平面 ABD ,∴ CH ⊥ AD ,又 HK ? CH ? H , ∴ AD ⊥平面 CHK ,∴ CK ⊥ AD .…………………10 分 ∴ ?CKH 为二面角 C ? AD ? B 的平面角. …………11 分 连接 AH .∵ ?ABD ? ?CBD ,∴ AH ⊥ BD . ? ∵ ?ABD ? ?CBD ? 60 , AB ? BC ? 2 ,

5 3 ,∴ DH ? . ………12 分 2 2 21 AH ? DH 3 7 ∴ AD ? ∴ HK ? .…………………………13 分 ? 2 AD 7 CH 21 ∴ tan?CKH ? ,…………………………………………14 分 ? HK 3 30 ∴ cos ?CKH ? . 10 30 ∴二面角 C ? AD ? B 的余弦值为 .…………15 分 10
∴ AH ? CH ?

3 , BH ? 1 .∵ BD ?

19. (本题满分 15 分) (I)解:设 Q ( x, y ) ,则

y M
2

| P Q? |

( x? 4 ) ? y ?
2

(x ? 4 ) ? …… x 43 分
2

o

F

P

x

-7N

? ( x ? 2) 2 ? 12

……………5 分 ……………7 分

?当x ? 2时, |PQ |min ? 2 3

(II)解:设直线 l : x = my + 4 , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , 焦点 F (1, 0)

ì ? x = my + 4 由? 消去 x 得 y 2 - 4my - 16 = 0 í 2 ? ? ? y = 4x

………………………9 分

ì y1 + y2 = 4m ? 由韦达定理可得 ? í ? ? ? y1 y2 = - 16
所以 D FMN 的面积

…………… ……………11 分

SD FMN =

1 | PF | ?| y1 2

y2 | =

1 鬃 3 2

( y1 + y2 )2 - 4 y1 y2 ………………13 分

=

3 ? (4m)2 2

64 = 6 m2 + 4 = 6 5
……… ……………14 分 …………………………15 分

? m ? ?1
所以直线 l 的方程为: x ? y ? 4 ? 0

(方法二)解:若直线 l 的斜率不存在,则 l : x = 4 , M (4, 4), N (4, - 4) 所以 D FMN 的面积

SD FMN =

1 1 | CF | 8 = 鬃 3 8 = 12 2 2

6 5 ,不符合 …………………9 分

所以直线 l 的斜率必存在 设直线 l : y = k ( x - 4),(k 0) , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,焦点 F (1, 0) ì y = k ( x - 4) ? 由? 消去 y 得 k 2 x2 - 4(2k 2 + 1) x + 16k 2 = 0 ………10 分 í 2 ? y = 4 x ? ?
ì ? 4(2k 2 + 1) ? ? x1 + x2 = 由韦达定理可得 í k2 ? ? ? ? ? x1 x2 = 16

…… ……………11 分

弦长 | MN |=
=

(1 + k 2 )[( x1 + x2 )2 - 4x1x2 ]
(1 + k 2 )[(8 + 4 2 ) - 64] k2

=

16(1 + k 2 )(1 + 4k 2 ) k4

…… ……………12 分 …… ……………13 分

F 到 l 的距离 d ?
所以 D FMN 的面积

| 3k | 1? k 2



-8-

SD FMN =

1 + 4k 2 1 = 6 5 | MN | d = 6 k2 2
………… ……………14 分 …………………………15 分

? k ? ?1
所以直线 l 的方程为: x ? y ? 4 ? 0 20. (本题满分 14 分)

ì 1 ? ? + x, x > - 2 ? ? x+2 (I)解:函数 f ( x) = ? …………………………1 分 í ? 1 ? , + x, x < - 2 ? ? ? ? x+2

函数 f ( x ) 在在 (?2, ?1) 上递减,………………………………2 分 证明如下: 设 x1 , x2 ? (?2, ?1) ,且 x1 ? x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (

1 1 ? ) ? ( x1 ? x2 ) x1 ? 2 x2 ? 2 1 ] ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
……………4 分

? ( x1 ? x2 )[1 ?

Q ?2 ? x1 ? x2 ? ?1 ,? x1 ? x2 ? 0, 0 ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 1
?1 ? 1 ?0 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

……………………6 分 (II)解法一: 函数 g ( x) = f ( x) - 2 x - m 有四个零点 1 + x 图像与函数 y = 2 x + m 图像有四个交点 ……7 分 ? 函数 f ( x ) = | x+2 | 结合图像 (1) 当 x ? ?2 时, 函数 f ( x) = -

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以函数 f ( x ) 在 (?2, ?1) 上递减.

1 + x 图像与函数 y = 2 x + m 图像恰有一个交点,……9 分 x +2 1 + x( x > - 2) x +2

(2)当 x ? ?2 时,为满足 g ( x) 有 4 个不同的零点,则函数 f ( x) = 图像与函数 y = 2 x + m 图像恰有三个交点符合要求。 而 f ( x) =

1 1 + x( x > - 2) 过点 (0, ) , x +2 2

y

结合图像知则 m ?

1 …………………………10 分 2
1 +x(x > - 2) x +2
-2 1 x+2 -1 +x 1

y = 2? x + m

当直线 y = - 2 x + m 与 y =

相切时,在 ( ?2, ?) 内只有两个交点。
f(x) =

o

1

x

-9-

ì 1 ? ? +x 1 ? y= 消去 y 得 + 3x - m = 0 整理得 x +2 í ? x +2 ? ? y = - 2x + m ? 3x2 + (6 - m) x + 1- 2m = 0 \ D = (6 - m)2 - 4创 3 (1- 2m) = 0 m= 62- ( 3 舍 解 得 去 ) , m = - 6 + 2 3 …………………13 分 1 \ 当 m ? ( 6 + 2 3, ) 时 , 函 数 g ( x) 有 4 个 零 2 点……………….…14 分
解法二: 函数 g ( x) = f ( x) - 2 x - m 有四个零点 1 + x - 2 | x | - m = 0 有四个实根 ? 方程 | x+2 |
1 图像与函数 y = 2 x - x + m 图 ? 函数 h( x ) = | x+2 |

Y

E

D

4

2

C
-4 -2 O

B
2 X

-2

像有四个交点

? 函数 h( x ) =

1 图像与函数 y = | x+2 |

ì x + m, x 0, ? ? 图像有四个交点……8 分 í ? ? ? - 3x + m, x < 0,

(1)当 x ? 0 时, 若函数 h( x) =

1 图像与函数 y = x + m 图像有一 x+2

个交点,则 m ?

1 ……………………………10 分 2
1 ( x < 0) 图像 | x+2 |

(2) 当 x ? 0 时,若函数 h( x) = 与函数 y = - 3x + m 图

像恰好有 3 个交点符合要求, 则m ?

1 2

……………11 分

当直线 y = - 3x + m 与 y =

1 (x > - 2) 相切时, x +2

在 ( ??, 0) 内只有两个交点。

ì 1 ? ? (x > - 2) 1 ? y= 消去 y 得 = - 3x + m 整理得 3x2 + (6 - m) x + 1- 2m = 0 x+2 í ? x +2 ? ? ? y = - 3x + m \ D = (6 - m)2 - 4创 3 (1- 2m) = 0 解得 m = - 6 - 2 3 (舍去) , m = - 6 + 2 3 …………………13 分 1 \ 当 m ? ( 6 + 2 3, ) 时,函数 g ( x) 有 4 个零点……………….…14 分 2 解法三:

- 10 -

函数 g ( x) 有 4 个不同零点,即方程 方程化为:① ?

1 +x ? 2 | x | ? m ? 0 有 4 个不同的实根. x?2

? x?0 2 ? x ? (m ? 2) x ? (2m ? 1) ? 0 ? x ? ?2 ? ? 2 <x ? 0 与② ? 2 与③ ? ……7 分 2 ?3x ? (6 ? m) x ? (2m ? 1) ? 0 ? 3x ? (6 ? m) x ? (2m ? 1) ? 0 记 v( x) ? x2 ? (m ? 2) x ? (2m ?1) , u( x) ? 3x2 ? (6 ? m) x ? (2m ? 1) , w( x) ? 3x2 ? (6 ? m) x ? (2m ?1) u( x), v( x), w( x) 开口均向上. 对①:由 v(?2) ? ?1 ? 0 知 v( x) 在 [0, ??) 最多一个零点. 1 当 v(0) ? 2m ? 1 ? 0 ,即 m ? 时, v( x) 在 [0, ??) 上有一个零点 2 1 当 v(0) ? 2m ? 1 ? 0 ,即 m ? 时, v( x) 在 [0, ??) 没有零点。 ………………9 分 2 对②:由 u (?2) ? ?1 ? 0 知 u ( x) 在 (??, ?2) 有唯一零点.…………………10 分 对③:为满足 g ( x) 有 4 个零点, w( x) 在 (?2, 0) 应有两个不同零点. ? w(0) ? 1 ? 2m ? 0 ? w(?2) ? 1 ? 0 ? 1 ? 2 ∴ ? ? ? (6 ? m) ? 12(1 ? 2m) ? 0 ? ?6 ? 2 3 ? m ? .…………………13 分 2 ? 6?m ? ?2 ? ? ?0 6 ? ?
1 综上所述:当 m ? ( 6 + 2 3, ) 时,函数 g ( x) 有 4 个零点……………….…14 分 2 解法四:
函数 g ( x) 都有 4 个不同零点,即方程 m ?

1 ? x ? 2 | x | 有 4 个不同的实根. x?2

? 1 ? ? x ? 2 ? 3 x , x ? ?2 ? 1 1 令 h( x) ? ? x ? 2 | x | .则 h( x) ? ? ? 3 x, ?2 ? x ? 0 .………………7 分 ? x?2 x ? 2 ? ? 1 ? x, x ? 0 ? ? x?2 h( x) 在 (??,?2) 单调递增,且其值域为 R ,所以 h( x) ? m 在 (??,?2) 有一个实根……8


1 1 h( x) 在 [0, ??) 单调递减,且其值域为 ( ? ?, ] ,所以当 m ? 时,h( x) ? m 在 [0, ??) 2 2 1 上有一个实根,当 m ? 时, h( x) ? m 在 [0, ??) 上没有实根……………………10 分 2 (-2,0) 至少有两个实根. 为满足 g ( x) 都有 4 个不同零点, h( x) ? m 在 1 ? 3( x ? 2) ? 6 ? 2 3 ? 6 当 ?2 ? x ? 0 时, h( x) ? x?2 1 ? ? ? h( x) 在 ? ?2,-2 ? ? 单调递减,且此时值域为 ? 2 3 ? 6, ?? 3? ?

)

- 11 -

1? 1 ? ? ? h( x) 在 ??2 ? ,0 ? 单调递增,且此时值域均为 ? 2 3 ? 6, ? ……….…12 分. 2? 3 ? ? ?
1 ∴ m ? ( 6 + 2 3, ) 时,方程 h( x) ? m 在 (-2,0) 有两个实根 ……………13 分 2 1 综上所述:当 m ? ( 6 + 2 3, ) 时,函数 g ( x) 有 4 个零点 ……………….…14 分 2 命题教师:吴云浪 钱从新 戴海林 林 荣 邵 达 叶事一

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- 12 -


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