tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

山西省大同一中2015-2016学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)


2015-2016 学年山西省大同一中高二(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题 1.在空间直角坐标系 Oxyz 中,点 P(1,﹣2,3)关于 x 轴的对称点的坐标是( )

A.(﹣1,2,﹣3)

B.(1,﹣2,﹣3)

C.(1,2,﹣3)

D.(1,﹣2,﹣3) )


2.已知一个几何体的三视图及其大小如图,这个几何体的体积 V=(

A.12π

B.16π

C.18π

D.64π )

3.直线 l 过点 A(3,4),且与点 B(﹣3,2)的距离最远,则直线 l 的方程是(

A.3x﹣y﹣5=0

B.x﹣3y+9=0

C.3x+y﹣13=0

D.x+3y﹣15=0 )

4.已知不同的直线 m、n,不同的平面 α 、β ,下列四个命题中正确的是(

A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n C.若 m∥n,n? α ,则 m∥α 5.设双曲线 程为( A. ) B.y=±2x )

B.若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β D.若 m⊥α ,n⊥α ,则 m∥n ,则双曲线的渐近线方

(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为

C.

D.

6.下列说法中正确的是(

A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真 C.“a2+b2=0,则 a,b 全为 0”的逆否命题是“若 a,b 全不为 0,则 a2+b2≠0”

1

D.“a>b”与“a+c>b+c”不等价 7.已知直线 l 与平面 α 所成的角为 30°,在平面 α 内,到直线 l 的距离为 2 的点的轨迹 是( A.线段
2

) B.圆 ) C.x=﹣1 D.x=﹣2 ) C.椭圆 D.抛物线

8.抛物线 y= x 的准线方程是( A.y=﹣1 9.以椭圆 B.y=﹣2

的中心为顶点,左焦点为焦点的抛物线的标准方程是(

A.x =8y

2

B.y =16x

2

C.x =﹣8y

2

D.y =﹣16x

2

10. 已知命题 p: 若 x>y, 则﹣x<﹣y; 命题 q: 若 x>y, 则 x2>y2, 在命题①p∧q; ②p∨q; ③p∧(¬q);④(¬p)∨q 中,真命题是( A.①③ B.①④ ) C.②③ D.②④ )

11.如图所示,已知 PA⊥平面 ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则 PC 等于(

A.6 12.若 A(0,2, α 的法向量

B.4

C.12

D.144

),B(1,﹣1, ),C(﹣2,1, )是平面 α 内的三点,设平面 ) C.﹣ :1:1 D.3:2:4

=(x,y,z),则 x:y:z=( B.1:1:1

A.2:3:(﹣4)

二、填空题(4 分×4) 13.若“x >1”是“x<a”的必要不充分条件,则 a 的取值范围是
2



14.命题“对任意的 x∈R,x ﹣x +1≤0”的否定是

3

2



15.△ABC 的三个顶点分别是 A(1,﹣1,2),B(5,﹣6,2),C(1,3,﹣1),则 AC 边上的高 BD 长为 . ,则

16.设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若 = .

2

三、解答题 17.已知:平面 α ,β 和直线 l,m,且 l∥α ,l∥β ,α ∩β =m.求证:l∥m.

18.如图,M、N 分别是四面体 OABC 的棱 OA、BC 的中点,P、Q 是 MN 的三等分点.

(1)用向量





表示



. 的值.

(2)若四面体 OABC 的所有棱长都等于 1,求

19.在直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x ﹣6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)设过点 P(0,﹣2)的直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,求|PA||PB|的值. 20. 如图, 在四棱锥 A﹣BCDE 中, 平面 ABC⊥平面 BCDE, ∠CDE=∠BED=90°, AB=CD=2, DE=BE=1, AC= .

2

(Ⅰ)证明:DE⊥平面 ACD; (Ⅱ)求二面角 B﹣AD﹣E 的大小.

21.已知点 A(0,﹣2),椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,F 是椭圆的焦点,

直线 AF 的斜率为 (Ⅰ)求 E 的方程;

,O 为坐标原点.

3

(Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

2015-2016 学年山西省大同一中高二(上)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析

一、选择题 1.在空间直角坐标系 Oxyz 中,点 P(1,﹣2,3)关于 x 轴的对称点的坐标是( )

A.(﹣1,2,﹣3)

B.(1,﹣2,﹣3)

C.(1,2,﹣3)

D.(1,﹣2,﹣3)

【考点】空间中的点的坐标. 【专题】计算题;规律型;直线与圆. 【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征,点(x,y,z)关于 x 轴的对称点的坐标为 只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可,即可得对称点的坐标. 【解答】解:∵在空间直角坐标系中, 点(x,y,z)关于 x 轴的对称点的坐标为:(x,﹣y,﹣z), ∴点(1,﹣2,3)关于 x 轴的对称点的坐标为:(1,2,﹣3) 故选:C. 【点评】本题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识,考查 运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.

2.已知一个几何体的三视图及其大小如图,这个几何体的体积 V=(



A.12π

B.16π

C.18π

D.64π
4

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】图表型. 【分析】由几何体的三视图知这个几何体是一个下面是圆柱,底面直径为 4,高为 3,上面 是圆锥,高为 3 的简单组合体. 【解答】 解: 由几何体的三视图知这个几何体是一个下面是圆柱, 上面是圆锥的简单几何体.

圆柱底面直径为 4,高为 3,圆锥高为 3, 体积为:V= Sh+Sh= π 223+π 223=16π cm3. 故选 B. 【点评】本题考查三视图求几何体的表面积、体积,考查计算能力,空间想象能力,三视图 复原几何体是解题的关键.

3.直线 l 过点 A(3,4),且与点 B(﹣3,2)的距离最远,则直线 l 的方程是(



A.3x﹣y﹣5=0

B.x﹣3y+9=0

C.3x+y﹣13=0

D.x+3y﹣15=0

【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系;直线的一般式方程与直线的性质.

【专题】计算题. 【分析】由题意知,直线 l 应和线段 AB 垂直,直线 l 的斜率是线段 AB 斜率的负倒数,又线 l 过点 A(3,4),点斜式写出直线 l 的方程,并化为一般式. 【解答】解:∵线 l 过点 A(3,4)且与点 B(﹣3,2)的距离最远, ∴直线 l 的斜率为: = =﹣3,

∴直线 l 的方程为 y﹣4=﹣3(x﹣3),即 3x+y﹣13=0, 故选 C. 【点评】本题考查直线方程的求法,点到直线的距离,直线方程的一般式.

4.已知不同的直线 m、n,不同的平面 α 、β ,下列四个命题中正确的是(



5

A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n C.若 m∥n,n? α ,则 m∥α 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.

B.若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β D.若 m⊥α ,n⊥α ,则 m∥n

【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】在 A 中,m 与 n 相交、平行或异面;在 B 中,α 与 β 相交或平行;在 C 中,m∥α 或 m? α ;在 D 中,由直线与平面垂直的性质定理得 m∥n. 【解答】解:由不同的直线 m、n,不同的平面 α 、β ,知: 在 A 中:若 m∥α ,n∥α ,则 m 与 n 相交、平行或异面,故 A 错误; 在 B 中:若 m∥α ,m∥β ,则 α 与 β 相交或平行,故 B 错误; 在 C 中:若 m∥n,n? α ,则 m∥α 或 m? α ,故 C 错误; 在 D 中:若 m⊥α ,n⊥α ,则由直线与平面垂直的性质定理得 m∥n,故 D 正确.

故选:D. 【点评】本题考查命题真判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

5.设双曲线 程为( A. )

(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为

,则双曲线的渐近线方

B.y=±2x

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】依题意可求得 a,b,从而可求得该双曲线的渐近线方程. 【解答】解:∵双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 ,

∴b=1,c= ∴a=

, = ,

6

∴双曲线的渐近线方程为 y=± x=± 故选 C.

x=±

x,

【点评】本题考查双曲线的简单性质,求得 a,b 的值是关键,属于中档题.

6.下列说法中正确的是(



A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真 C.“a +b =0,则 a,b 全为 0”的逆否命题是“若 a,b 全不为 0,则 a +b ≠0”
2 2 2 2

D.“a>b”与“a+c>b+c”不等价 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】简易逻辑. 【分析】由四种命题的等价关系可判断 A,B;写出原命题的逆否命题,可判断 C;利用等价 命题的定义,可判断 D; 【解答】解:一个命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真,一个命题为真,则它的逆否 命题一定为真,但一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题不一定为真,故 A 错误,B 正确;

“a +b =0,则 a,b 全为 0”的逆否命题是“若 a,b 不全为 0,则 a +b ≠0”,故 C 错误;

2

2

2

2

“a>b”?“a+c>b+c”,故 D 错误; 故选:B 【点评】本题考查的知识点是四种命题,等价命题,熟练掌握四种命题的等价关系和定义是 解答的关键.

7.已知直线 l 与平面 α 所成的角为 30°,在平面 α 内,到直线 l 的距离为 2 的点的轨迹 是( A.线段 ) B.圆 C.椭圆 D.抛物线

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;轨迹方程. 【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离.

7

【分析】由已知点在以直线 l 为轴,半径为 2 的圆柱上,从而得到点的轨迹是圆柱被与轴成 30°的面 α 截得的椭圆. 【解答】解:∵平面 α 内的点 P 到直线 l 的距离为 2, ∴点 P 在以直线 l 为轴,半径为 2 的圆柱上, 又∵定直线 l 与平面 α 成 30°角,点 P 是面 α 内的一动点, ∴P 的轨迹是圆柱被与轴成 30°的面 α 截得的椭圆, 故选:C. 【点评】本题考查点的轨迹的求法,是中档题,是一道把空间几何与平面几何巧妙结合在一 起的好题.

8.抛物线 y= x 的准线方程是( A.y=﹣1 B.y=﹣2

2

) C.x=﹣1 D.x=﹣2

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先化为抛物线的标准方程得到焦点在 y 轴上以及 2p=4,再直接代入即可求出其准 线方程. 【解答】解:抛物线 y= x2 的标准方程为 x2=4y,焦点在 y 轴上,2p=4, ∴ =1, ∴准线方程 y=﹣ =﹣1. 故选:A. 【点评】本题主要考查抛物线的基本性质.解决抛物线的题目时,一定要先判断焦点所在位 置.

9.以椭圆

的中心为顶点,左焦点为焦点的抛物线的标准方程是(



A.x2=8y

B.y2=16x

C.x2=﹣8y

D.y2=﹣16x

【考点】椭圆的简单性质.

8

【专题】计算题;方程思想;分析法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】求出椭圆的 a,b,c,可得左焦点,即可得到开口向左的抛物线的方程.

【解答】解:椭圆

的 a=5,b=3,

c=

=4,

可得左焦点为(﹣4,0), 即有抛物线的方程为 y =﹣16x. 故选:D. 【点评】本题考查椭圆的方程和性质,以及抛物线的方程的求法,考查运算能力,属于基础 题.
2

10. 已知命题 p: 若 x>y, 则﹣x<﹣y; 命题 q: 若 x>y, 则 x >y , 在命题①p∧q; ②p∨q; ③p∧(¬q);④(¬p)∨q 中,真命题是( A.①③ B.①④ ) C.②③ D.②④

2

2

【考点】复合命题的真假. 【专题】简易逻辑. 【分析】根据不等式的性质分别判定命题 p,q 的真假,利用复合命题之间的关系即可得到 结论. 【解答】解:根据不等式的性质可知,若若 x>y,则﹣x<﹣y 成立,即 p 为真命题,

当 x=1,y=﹣1 时,满足 x>y,但 x2>y2 不成立,即命题 q 为假命题, 则①p∧q 为假命题;②p∨q 为真命题;③p∧(¬q)为真命题;④(¬p)∨q 为假命题,

故选:C. 【点评】本题主要考查复合命题之间的关系,根据不等式的性质分别判定命题 p,q 的真假 是解决本题的关键,比较基础.

9

11.如图所示,已知 PA⊥平面 ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则 PC 等于(



A.6

B.4

C.12

D.144

【考点】平面与平面垂直的性质. 【分析】连接 PB,PC,由余弦定理可得 AC 的值,由 PA⊥AC,故根据勾股定理可得 PC 的值.

【解答】解:连接 PB,PC, ∵PA=AB=BC=6, ∴由余弦定理可得 AC= ∵PA⊥平面 ABC, ∴PA⊥AC, ∴PC= 故选:C. =12. =6 ,

【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质,勾股定理的应用,属于基本知识的考查.

12.若 A(0,2, α 的法向量

),B(1,﹣1, ),C(﹣2,1, )是平面 α 内的三点,设平面 )

=(x,y,z),则 x:y:z=(

10

A.2:3:(﹣4)

B.1:1:1

C.﹣ :1:1

D.3:2:4

【考点】平面的法向量. 【专题】空间向量及应用. 【分析】利用平面法向量的性质即可得出. 【解答】解: ∵平面 α 的法向量为 , =(x,y,z), ,



,取 y=3,则 x=2,z=﹣4.

∴x:y:z=2:3:(﹣4). 故选 A. 【点评】熟练掌握平面的法向量的性质是解题的关键.

二、填空题(4 分×4) 13.若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,则 a 的取值范围是 (﹣∞,﹣1] .

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】转化思想;综合法;简易逻辑. 【分析】 由 x2>1 得 x<﹣1 或 x>1, 又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件, 知“x<a” 可以推出“x2>1”,反之不成立.由此可求出 a 的范围. 【解答】解:由 x >1 得 x<﹣1 或 x>1,又“x >1”是“x<a”的必要不充分条件,
2 2

知“x<a”可以推出“x2>1”, 反之不成立. 则 a 的最大值为﹣1. ∴a≤﹣1 故答案为:(﹣∞,﹣1]. 【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断,解题时要认真审题,仔细解答.

11

14.命题“对任意的 x∈R,x3﹣x2+1≤0”的否定是 存在 x∈R,x3﹣x2+1>0 .

【考点】命题的否定. 【专题】简易逻辑. 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题, 所以命题“对任意的 x∈R,x3﹣x2+1≤0”的否定是:存在 x∈R,x3﹣x2+1>0.

故答案为:存在 x∈R,x3﹣x2+1>0. 【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系.

15.△ABC 的三个顶点分别是 A(1,﹣1,2),B(5,﹣6,2),C(1,3,﹣1),则 AC 边上的高 BD 长为 5 .

【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系. 【专题】计算题;平面向量及应用. 【分析】根据 A、C、D 三点共线,设 程,解出 λ 的值.由此得到向量 高 BD 的长. 【解答】解:∵A(1,﹣1,2),B(5,﹣6,2),C(1,3,﹣1), ∴ =(4,﹣5,0), =(0,4,﹣3), =λ ,利用向量垂直的充要条件建立关于 λ 的方

的坐标,再利用向量模的坐标公式即可求出 AC 边上的

∵点 D 在直线 AC 上, ∴设 =λ = =(0,4λ ,﹣3λ ), =(0,4λ ,﹣3λ )﹣(4,﹣5,0)=(﹣4,4λ +5,﹣3λ ),

由此可得

又∵ ∴ 因此



, .

=﹣4×0+(4λ +5)×4+(﹣3λ )×(﹣3)=0,解得 λ = =(﹣4,4λ +5,﹣3λ )=(﹣4, , ),

12

可得|

|=

=5

故答案为:5 【点评】本题给出空间的点 A、B、C 的坐标,求点 B 到直线 AC 的垂线段的 BD 的长.着重考 查了向量的坐标运算、向量共线与垂直的充要条件、向量的模长公式等知识,属于中档题.

16.设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若 = 6 .

,则

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】根据 ,可判断点 F 是△ABC 重心,进而可求 x1+x2+x3 的值,再根据

抛物线的定义,即可求得答案. 【解答】解:抛物线焦点坐标 F(1,0),准线方程:x=﹣1 设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) ∵ = ,

∴点 F 是△ABC 重心, ∴x1+x2+x3=3, ∵|FA|=x1﹣(﹣1)=x1+1,|FB|=x2﹣(﹣1)=x2+1,|FC|=x3﹣(﹣1)=x3+1 ∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=(x1+x2+x3)+3=3+3=6 故答案为:6 【点评】本题重点考查抛物线的简单性质,考查向量知识的运用,解题的关键是判断出 F 点为三角形的重心.

三、解答题 17.已知:平面 α ,β 和直线 l,m,且 l∥α ,l∥β ,α ∩β =m.求证:l∥m.

【考点】直线与平面平行的判定. 【专题】证明题;数形结合;分析法;空间位置关系与距离.

13

【分析】分别过直线 l 作两个平面,分别和 α ,β 相交,得到两条交线,利用线面平行的 性质定理和直线平行的传递性证明 l∥a. 【解答】证明:设过 l 的平面与 α 交于 a,与 β 交于 b, ∵l∥α l∥β ,

∴l∥a l∥b, ∴a∥b,由线面平行的判定定理得 a∥β , ∵α ∩β =m,由线面平行的性质得 a∥m, ∴l∥m.

【点评】 本题主要考查了线面平行的判断和性质定理, 以及利用直线平行的平行公理证明直 线平行,作两个辅助平面,是解决本题的关键.

18.如图,M、N 分别是四面体 OABC 的棱 OA、BC 的中点,P、Q 是 MN 的三等分点.

(1)用向量





表示



. 的值.

(2)若四面体 OABC 的所有棱长都等于 1,求

【考点】平面向量数量积的运算;向量的线性运算性质及几何意义. 【专题】计算题;对应思想;数形结合法;平面向量及应用.
14

【分析】(1)用向量





表示出

,则

=





(2) 四面体 OABC 的所有棱长都等于 1 时, | = .将(1)中的结论进行数量积运算即可. 【解答】解:(1) ∴ = + + = = + + , = = +(

|=|

|=|

|=1,

=

=

, )+ ( )=﹣ + + ,

∴ =

= =

= + =(
2

+ = + +

=

﹣ ﹣ + + + )(

+ + + +

+ = +
2

= +

+ +

+

. .

(2) = +

) + + +
2

+

=

+

+

+

+

+

+

+

+

= , , 表示出 是

【点评】本题考查了向量的加减法的几何意义及数量积运算,向量 解题关键,属于中档题.

19.在直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x ﹣6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)设过点 P(0,﹣2)的直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,求|PA||PB|的值. 【考点】直线与圆的位置关系;二次函数的性质. 【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】 (1)设出圆心坐标,求出曲线 y=x2﹣6x+1 与坐标轴的交点,利用交点都在圆 C 上, 即可求得圆 C 的方程. (2)利用切割线定理,即可求|PA||PB|的值. 【解答】解:(1)由题意,设圆心坐标为(3,b) 令 x=0,则 y=1;令 y=0,则 x=3±2 ∴(3﹣0)2+(b﹣1)2=(±2 )2+b2,
15

2

∴b=1 ∴(3﹣0)2+(b﹣1)2=9 ∴圆 C 的方程为(x﹣3)2+(y﹣1)2=9; (2)由题意,圆与 y 轴切于点 D(0,1), ∴由切割线定理,可得|PA||PB|=|PD| =9. 【点评】本题考查圆的标准方程,考查待定系数法的运用,考查切割线定理,考查学生的计 算能力,属于中档题.
2

20. 如图, 在四棱锥 A﹣BCDE 中, 平面 ABC⊥平面 BCDE, ∠CDE=∠BED=90°, AB=CD=2, DE=BE=1, AC= .

(Ⅰ)证明:DE⊥平面 ACD; (Ⅱ)求二面角 B﹣AD﹣E 的大小.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 【专题】空间位置关系与距离;空间角;立体几何. 【分析】(Ⅰ)依题意,易证 AC⊥平面 BCDE,于是可得 AC⊥DE,又 DE⊥DC,从而 DE⊥平 面 ACD; (Ⅱ)作 BF⊥AD,与 AD 交于点 F,过点 F 作 FG∥DE,与 AE 交于点 G,连接 BG,由(Ⅰ) 知 DE⊥AD,则 FG⊥AD,所以∠BFG 就是二面角 B﹣AD﹣E 的平面角,利用题中的数据,解三 角形,可求得 BF= 得答案. 【解答】证明:(Ⅰ)在直角梯形 BCDE 中,由 DE=BE=1,CD=2,得 BD=BC= , ,AF= AD,从而 GF= ,cos∠BFG= = ,从而可求

由 AC=

,AB=2 得 AB2=AC2+BC2,即 AC⊥BC,

又平面 ABC⊥平面 BCDE,从而 AC⊥平面 BCDE,
16

所以 AC⊥DE,又 DE⊥DC,从而 DE⊥平面 ACD; (Ⅱ)作 BF⊥AD,与 AD 交于点 F,过点 F 作 FG∥DE,与 AE 交于点 G,连接 BG,由(Ⅰ) 知 DE⊥AD,则 FG⊥AD,所以∠BFG 就是二面角 B﹣AD﹣E 的平面角,在直角梯形 BCDE 中, 由 CD2=BC2+BD2,得 BD⊥BC, 又平面 ABC⊥平面 BCDE,得 BD⊥平面 ABC,从而 BD⊥AB, 由于 AC⊥平面 BCDE,得 AC⊥CD. 在 Rt△ACD 中,由 DC=2,AC= 在 Rt△AED 中,由 ED=1,AD= 在 Rt△ABD 中,由 BD= ,得 AD= 得 AE= ; ; 得 BF= ,AF= AD,从而 GF= , ,BG= .

,AB=2,AD=

在△ABE,△ABG 中,利用余弦定理分别可得 cos∠BAE=

在△BFG 中,cos∠BFG=

=



所以,∠BFG=

,二面角 B﹣AD﹣E 的大小为



【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,同时考查空间想象能 力,推理论证能力和运算求解能力.

21.已知点 A(0,﹣2),椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,F 是椭圆的焦点,

直线 AF 的斜率为 (Ⅰ)求 E 的方程;

,O 为坐标原点.

(Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
17

【分析】(Ⅰ)通过离心率得到 a、c 关系,通过 A 求出 a,即可求 E 的方程;

(Ⅱ)设直线 l:y=kx﹣2,设 P(x1,y1),Q(x2,y2)将 y=kx﹣2 代入

,利用

△>0,求出 k 的范围,利用弦长公式求出|PQ|,然后求出△OPQ 的面积表达式,利用换元 法以及基本不等式求出最值,然后求解直线方程. 【解答】解:(Ⅰ) 设 F(c,0),由条件知 ,得 ?又 ,

所以 a=2?,b =a ﹣c =1,故 E 的方程

2

2

2

.?.

(Ⅱ)依题意当 l⊥x 轴不合题意,故设直线 l:y=kx﹣2,设 P(x1,y1),Q(x2,y2)

将 y=kx﹣2 代入

,得(1+4k )x ﹣16kx+12=0,

2

2

当△=16(4k ﹣3)>0,即

2

时,

从而

??

又点 O 到直线 PQ 的距离

,所以△OPQ 的面积

=





,则 t>0,



当且仅当 t=2,k=±

等号成立,且满足△>0, x﹣2 或 y=﹣ x﹣2.?

所以当△OPQ 的面积最大时,l 的方程为:y=

【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,椭圆的求法,基本不等式的应用,考查转 化思想以及计算能力.

18


推荐相关:

山西省大同一中2015-2016学年高二数学上学期期末试卷 文(含解析)

求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 3 2015-2016 学年山西省大同一中高二(上)期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 12 小题,...


山西省大同一中2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 文(含解析)

=0,问这样的直 山西省大同一中 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一.选择题: (每小题 3 分,共 36 分) 2 1. (3 分)...


山西省大同市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理

山西省大同市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理_数学_高中教育_教育专区。2015~2016 学年度第一学期 期中试卷 高二数学(理) 第Ⅰ卷 客观卷(共 ...


山西省大同一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷

山西省大同一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷_高二数学_数学_高中教育_...() A.0 B. 1 C. 2 D.3 考点: 有理数指数幂的化简求值;命题的真假...


山西省大同市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文

山西省大同市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文_数学_高中教育_教育专区。2015~2016 学年度第一学期 期中试卷 高二数学(文) 第Ⅰ卷 客观卷(共 ...


2013-2014学年高一高二数学月考试题分类汇编:专题01 集合与常用逻辑用语 Word版含解析]

专题01 集合与常用逻辑用语 Word版含解析]_高中教育...学年河北邢台一中高二上学期第二次月考理数学试卷)...学年山西省大同一中高一上学期期中考试数学试卷 ) ...


2013-2014学年高一高二数学月考试题分类汇编:专题02:函数与导数 Word版无答案]

2013-2014学年高一高二数学月考试题分类汇编:专题02...(2013-2014 学年山西省大同一中高一上学期期中考试)...0 上的解析式为 f ( x) =三、解答题 50. (...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com